КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ»
(лектор – доцент, к. ф.-м. н. )
В контрольные задания включены параметры (N1,N2,N3), которые предназначены для формирования индивидуальных вариантов. А именно, эти три цифры таковы: N1-количество десятков в порядковом номере ФИО в журнале группы; N2-количество единиц в номере журнала (например, если порядковый номер ФИО является 3, то количество десятков N1 = 0, а количество единиц это – N2=3; аналогично, если порядковый номер 21, то N1 = 2, N2=1 и т. д.); N3 – определяется последней цифрой номера группы (экономисты – со знаком плюс, финансисты – с минусом). Далее, при разборе решений аналогичных примеров упражнений (контрольных заданий) взяты N1=N2=N3=0. Все промежуточные результаты вычислять с точностью до 5 знаков после точки (запятой) в числах!
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1. Накануне нового периода следует определить цену, прогнозируемый при ней объем сбыта, максимизирующие ожидаемую выручку (доход). Данные двух предшествующих периодов таковы:
№ п/п | Цена | Объём сбыта |
1 | 300 | 40+N2 |
2 | 400+10×N1 | 30-N3 |
РЕШЕНИЕ (при N1=N2=N3=0):
- предположим, что данные двух предшествующих периодов соответствуют линейной зависимости спроса от цены. Будем полагать, что та же зависимость будет проявляться и в следующем периоде. Согласно сделанному предположению из соответствующей системы линейных уравнений a×c1+b=k1, a×c2+b=k2, следует, что a = (k2 - k1)/(c2 - c1) = /(= -10/100 = -0,1; b = (k1×c2 - k2×c1)/(c2 - c1) = (40××300)/(= (16/100 = 7000/100 = 70
- выручка (доход) для конкретного вида продукции составит D = (a×c+b)×c, тогда из необходимого условия экстремума d[(a×c+b)×c]/dc = 2a×c+b = 0 получим, что оптимальная для максисмизации ожидаемой выручки (дохода) цена составит c*д = - b/(2 × a) = -70/(2 × (-0,1)) = 350;
- ожидаемый сбыт при цене c* д составит k* д = a×c* д + b = -0,1×350 + 70 = 35;
- наибольший ожидаемый доход составит D* = k* д ×c* д = 35×350 = 12250.
Оптимальный ожидаемый доход превосходит доход 1-го (D1 = k1×c1 = 40×300 = 12000) и 2-го (12000) предыдущих периодов более, чем на 2% ((V * - V1)/ V1=(V * - V2)/ V2=0,0208(3)).
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2. В условиях контрольного задания №1 при известных переменных (p = 100) и постоянных издержках (P = 1000) требуется выявить цену, максимизирующую ожидаемую прибыль.
РЕШЕНИЕ (при N1=N2=N3=0):
- при рассмотренных выше условиях прибыль для конкретного вида продукции является разностью доходов и затрат D - Z = (a×c+b)×c-(P+(a×c+b)×p), и оптимальная цена для рассматриваемой задачи будет получена из необходимого условия экстремума d[D-Z]/dc = d[(a×c+b)×(c-p)-P]/dc = 2a×c+b-a×p = 0 следующим образом c*п = (p - b/a)/2 = (/(-0,1))/2 = 400;
- ожидаемый сбыт при цене c* п составит k* п = a×c* п + b = -0,1×400 + 70 = 30;
- наибольшая ожидаемая прибыль составит k* п × (c* п - p) - P= 30 × ( = 8000.
Оптимальная ожидаемая прибыль равна прибыли 2-го предыдущего периода и превосходит прибыль 1-го (k1 × (c1 - p) - P = 40×( = 7000) более, чем на 14%.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №3. В условиях контрольного задание №2 требуется выявить цену, обеспечивающую наибольшее увеличение объема продаж согласно модели «безубыточного демпинга» (в форме задачи математического программирования следующего вида: max{(f1(c) - f2(c)): c>p, f1(c)≥0 }, где f1(c) = a×c + b, f2(c) = P/(c-p)).
РЕШЕНИЕ (при N1=N2=N3=0):
- при указанных условиях оптимальная цена будет получена из необходимого условия экстремума d[(f1(c)- f2(c))]/dc = a + P/((c-p)^2)= 0, осуществим элементарные преобразования и получим удовлетворяющую условию c>p цену c*о=p+(- P /a)^(1/2) =100+(- 1000/(-0,1))^(1/2) = 200 (^-возведение в степень);
- ожидаемый сбыт при цене c* о составит k* о = a × c* о +b = -0,1× 200+70 = 50.
Прирост ожидаемого сбыта по сравнению со сбытом в предшествующие периоды составит: для 1-го предыдущего периода 25 %, для 2-го – 66,6(6)%.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №4. В условиях контрольного задание №3(2) требуется выявить цену, максимизирующую ожидаемую рентабельность, и другие показатели такого оптимального решения для задачи математического программирования следующего вида max{ (D – Z)/ Z: c>p, a×c+b>0 } или, что то же самое, max{(a×c+b)×c /(P+(a×c+b)×p)– 1: c>p, a×c+b≥0 }.
РЕШЕНИЕ (при N1=N2=N3=0):
- при указанных условиях оптимальная цена может быть получена из необходимого условия экстремума d[(a×c+b)×c/(P+(a×c+b)×p)–1]/dc=0, после осуществления элементарных преобразований можно проверить, что будет получена удовлетворяющая условиям c>p, a×c+b≥0 цена, вычисляемая по формуле = (-70 × + (1000 × 1000 + 70 × 100 × 1000)^(1/2)) /(-0,1 × 100) = 517,16;
- ожидаемый сбыт при цене c*р составит k*р = a × c* о +b = -0,1× 517,16+70 = 18,284.
- наибольшая ожидаемая в следующем периоде рентабельность составит k*р × c*р /(P + k*р × p) – 1 = 18,284 × 517,16/(1000 + 18,284 × 100) – 1 = 2,343146.
Прирост ожидаемой рентабельности по сравнению с рентабельностью в предшествующие периоды составит: по сравнению с 1-м предыдущим периодом 67,3676 %, по сравнению со 2-м – 17,1573 %.
Рекомендуемая литература:
1. Исследование операций в экономике / Под ред. . – М.: МаркетДС, 2007. – 408 с.
2. Мазуров Вл. Д., , Попов экономика. – Ек-бург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. – 166 с.
3. , Бережной методы моделирования экономических систем. – М.: «ФиС», 2005. – 432 с.
