Урок 3
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Пусть задана комплексная плоскость и комплексное число z = x + iy ¹ 0.
Определение 5. Аргументом комплексного числа z = x + iy ¹ 0 называется угол j,
на который надо повернуть положительную часть действительной оси, чтобы
она совпала с лучом Оz, причем угол j считают положительным, если поворот
совершается против часовой стрелки и отрицательным в противном случае.
Итак из определения аргумента следует, во-первых, что не всякое комплексное число имеет аргумент: число ноль аргумента не имеет, а во-вторых, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: каждое комплексное число (не равное нулю) имеет бесконечно много аргументов и все они отличаются на число, кратное 2p (см. рис. 4а). Обозначают аргумент комплексного числа z = x + iy символом argz или arg(x + iy).
|
a) b) c) x =½z½cos j ; y =½z½sin j
Рис. 4.
Так, например, argi = p/2, arg(–5) = p (см. рис. 4b). При этом в обоих случаях мы могли взять и другие значения аргумента, например, argi = –3p/2 и arg(–5) = 3p.
Теперь действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy можно выразить через его модуль и аргумент j ( см. рис. 4с ):
Rez = x = ½z½cosj и Imz = y =½z½sinj. (3) |
z=½z½(cosj +isinj) |
Используя формулы (3), получим тригонометрическую форму комплексного числа z = x + iy:
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2. Записать i в тригонометрической форме.
Решение. Находим: ½i½= 1, argi = p/2, следовательно, i = cos(p/2) + isin(p/2).
Ответ: i = cos(p/2) + isin(p/2) – тригонометрическая форма данного числа.
Пример 3. Записать в тригонометрической форме число z = 2(cos(p/3) – sin(p/3) ).
Решение. Прежде всего заметим, что число z записано не в тригонометрической форме, так как перед синусом стоит знак –, а не +. Чтобы получилась тригонометрическая форма, надо угол p/3 заменить на угол (–p/3), тогда сos(p/3) = cos(–p/3) и –sin(p/3) = sin(–p/3). Следовательно, z = 2( cos(p/3) – isin(p/3) ) = 2( cos(–p/3) + isin(–p/3) ).
Ответ: z = 2(cos(–p/3) + isin(–p/3)) – тригонометрическая форма данного комплексного числа z =2(cos(p/3) – isin(p/3)).
Пример 4. Записать комплексное число –1 + i в тригонометрической форме.
Решение. Сначала найдем модуль: ½–1 + i½=
. Чтобы найти аргумент j этого числа, выразим его действительную и мнимую части через cosj и sinj: –1=cosj и 1=sinj, следовательно, tgj = –1 и, так как точка, соответствующая этому числу (ее координаты (–1, 1) ), лежит во второй четверти, то j = 3p/4. Следовательно, –1 + i =(cos3p/4 + isin3p/4 ).
Ответ: –1 + i =(cos3p/4 + isin3p/4) – тригонометрическая форма данного комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет дать геометрическую интерпретацию операций умножения и деления.
Пусть даны комплексные числа z1 и z2, модули и аргументы которых соответственно равны r1 и r2, j1 и j2, то есть z1 = r1(cosj1 + isinj1) и z2 = r2(cosj2 + isinj2). Перемножим эти числа:
z1z2 = r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(sinj1cosj2 + cosj1sinj2)).
Теперь видно, что первая скобка
(cosj1cosj2 – sinj1sinj2) = cos(j1 + j2),
а вторая скобка
(sinj1cosj2 + cosj1sinj2) = sin(j1 + j2),
то есть
z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + isin(j1 + j2)).
Но это есть тригонометрическая форма комплексного числа! Значит, модуль z1z2 равен r1r2 и аргумент z1z2 равен j1 + j2. Таким образом мы получили следующий важный результат: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Отсюда следует, что с геометрической точки зрения при умножении комплексного числа z1 на комплексное число z2 происходит следующее: вектор z1 поворачивается на угол, равный аргументу z2, а его длина увеличивается в ½z2½ раз, если ½z2½>1 и уменьшается в ½z2½ раз, если ½z2½<1, если же½z2½=1, то длина остается прежней (см. рис. 5).
|
Рис. 5.
Полученные результаты позволяют сформулировать правило возведения комплексного числа в натуральную степень: при возведении комплексного числа z = r(cosj + isinj) в степень n Î N, его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n:
zn = rn (cos(nj) + isin(nj)).
Пример 5. Найти (1 + i)12.
Решение. Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль: ½1 + i½= и аргумент: arg(1 + i) = p/4. Тогда 1+ i =(cosp/4 + isinp/4) и
(1 + i)12 = ()12(cos(12p/4) + isin(12p/4)) = 64(cos3p + isin3p) = – 64.
Ответ: (1 + i)12 = – 64.
Рассмотрим теперь комплексное число, не равное нулю,
z = r(cosj + isinj),
где r – модуль этого числа, j – аргумент. Если это число умножить на обратное ему, то есть на 1/z, то получим 1 = 1(cos0 + isin0). Следовательно, модуль 1/z равен 1/r, так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются: r½1/z½= 1, а аргумент равен –j, так как при умножении комплексных чисел их аргументы складываются: j + arg(1/z) = 0. Таким образом,
1/z = (1/r)(cos(–j) + isin(–j)).
Теперь несложно понять, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. В самом деле, если
z1 = r1(cosj1 + isinj1) и z2 = r2(cosj2 + isinj2) (z2 ¹ 0),
то
z1/z2 = z1×(1/z2) = 2(r1/r2)(cos(j1–j2) + isin(j1 – j2)).
Следовательно, при возведении комплексного числа в целую отрицательную степень – n его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на – n.
Таким образом получаем следующее общее правило: при возведении комплексного числа в целую степень q его модуль возводится в степень q, а аргумент умножается на q:
zq = rq(cos(qj) + isin(qj)), где q Î Z.
Пример 6. Найти (1 + i)–10.
Решение. Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль: ½1 + i½= и аргумент: arg(1 + i) = p/4. Тогда 1 + I =(cosp/4 + isinp/4) и
(1+ i)-10 = ()10( cos(–10p/4) + isin (–10p/4)) = (1/32)(cos(–5p/2 + isin(–5p/2)) = – i/32.
Ответ: (1+ i)10 = – i/32.
Рассмотрим теперь комплексное число, модуль которого равен единице: z = cosj + isinj, и обозначим его символом еij, то есть положим по определению для любого jÎR:
еij = (cosj + isinj). (4) |
Формула (4) носит название формулы Эйлера. Она находит полное обоснование, если показательную функцию действительного переменного естественным образом с действительной оси продолжить на всю комплексную плоскость. Механизм этого продолжения подробно рассматривается в теории функций комплексного переменного и базируется на представлении показательной функции в виде суммы некоторого степенного ряда. Для нас же пока оправданием такого обозначения служит тот факт, что остается справедливым основное свойство показательной функции:
.
Используя формулу Эйлера, можно вместо тригонометрической ввести более компактную запись числа z ¹ 0, которая называется показательной формой записи комплексного числа:
z = rеij, где r =½z½ и argz = j. (5) |
Например,
i = еip/2 ; –1 = еip.
Теперь произведение и частное комплексных чисел z1 и z2 запишется в виде:
(6)
Формулы (5) и (6) позволяют получить формулу для возведения комплексного числа z = rеij в целую степень q:
zq = rqеiqj, где qÎZ. (7)
Используя формулу Эйлера (4) и правило возведения комплексного числа в целую степень (7), получим формулу Муавра:
еinj = z = (cosj + isinj)n = (cos(nj) + isin(nj)) (8) |
Эту формулу можно использовать для того, чтобы получить выражения для синусов и косинусов кратных углов. Например, положим в (8) n = 2:
(cosj + isinj)2 = (cosj)2 + (isinj)2 + 2isinjcosj = (cosj)2 – (sinj)2 + 2isinjcosj = (cos2j+isin2j),
но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда равны их действительные и мнимые части. Следовательно,
cos2j = (cosj)2 – (sinj)2 и sin2j = 2sinjcosj.
Аналогично при n = 3 получим:
(cosj + isinj)3 = (соsj)3 + 3isinj(cosj)2 + 3cosj(isinj)2 + (isinj)3 =
(cosj)3 –3cosj(sinj)2 + i( 3sinj(cosj)2 – (sinj)3 ) = ( cos3j + isin3j ),
следовательно,
cos3j = (cosj)3 – 3cosj(sinj)2 и sin3j = 3sinj(cosj)2 – (sinj)3.
