Олимпиадные задания

7 класс

с. Первомайское, 14 марта 2013г

Равенства

№1

Заполни пропущенные места одночленами так, что бы равенство стало верным: (…х3 + …)2 = … + 12х3у + 9…

№ 2

В старинном задачнике предложено уравнение

3(2у + …)(3у + 2) – 2(3у + 1)2 = 43

Причем второе слагаемое в первой скобке стерлось. Найдите недостающее число, если в ответе указано, что у = 1

№ 3

На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, за которого просят 100 дукатов?

№ 4

Поставь в выражении скобки так, чтобы получилось верное равенство:

270+ 120 + 390 : 3 · 5 = 1120

Переливания

№ 1

Имеются два сосуда вместимостью 8 ли 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?

№ 2

В одном королевстве был родник с живой водой. Брать воду и наливать ее можно было только с помощью серебряных королевских ведер объемом 5 л и 8 л и большой королевской бочки, стоящей у родника. Выливали излишки воды или обратно в родник, или в эту бочку, в которой можно было накапливать нужное количество воды. Однажды король разрешил посетителям взять 1 л воды. Как они могли набрать это количество живой воды, используя наименьшее количество переливаний

№ 3

Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 минут, а другие 11 минут. Как с их помощью отмерить 15 минут, необходимых чтобы сварить вкрутую яйцо

№ 4

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов? 

№ 5

Используя 2 ведра вместимостью 9 и 11 л, наберите из пруда 4 л воды.

Части, проценты

№ 1

Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%. За осень опять похудел на 20%, и за зиму прибавил в весе на10%. Остался ли за этот год его вес прежним, уменьшился или увеличился?

№ 2

На одну чашу весов положили кусок сыра, а на другую такого куска и еще кг. Установилось равновесие. Какова масса куска сыра?

№ 3

На вопрос о том, сколько у него учеников, Пифагор ответил так: « Половина моих учеников изучают математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы» Сколько учеников было у Пифагора

№ 4

Среди мальчиков, учащихся в школе, 70% предпочитают писать шариковыми ручками, а 30% – гелевыми. Среди девочек 91% предпочитают писать шариковыми ручками, а 9% – гелевыми. Сколько процентов учащихся этой школы предпочитают писать шариковыми ручками, если известно, что мальчиков на 10% больше, чем девочек?

№ 5

На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину – на 10%.

Логические задачи

№ 1

В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: первое место занял заяц, а второй была лиса. Другая белка возразила: заяц занял второе место, а лось был первым, на что филин заметил, что в высказывание каждой белки одна часть верная, а другая - нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

№ 2

В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав!» - сказал Белов. Какой цвет волос у художника

№ 3

Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

№ 4

Дениска, Мишка, Костик, Аленка и Денискины папа с мамой придумывали задачи. Папа придумал задач больше, чем Костик, а Дениска больше, чем Мишка. Мама придумала задач больше, чем папа, но меньше, чем Мишка. Аленка придумала задач меньше, чем Костик. Кто из них придумал больше всего задач?

№ 5

Из четырех учеников Антона, Бори, Васи и Гали – один отличник. Кто отличник, если:

1) в тройке Антон, Боря, Вася есть отличник;

2) в тройке Антон, Вася, Галя есть отличник;

3) Антон не отличник.

Треугольники

№ 1

Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5, 7 и 13 см?

№ 2

В равнобедренном треугольнике угол А = 40°, угол В = 70°. Какой из углов треугольника располагается при вершине?

№ 3

Определите угол В треугольника АВС, по данным чертежа:

 

№ 4

Разрежьте треугольник на 4 части, из которых можно сложить прямоугольник

№ 5

Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.