Круговые процессы. Тепловые двигатели
2.4. Круговые процессы. Тепловые двигатели
2.4.1. Когда газ в цилиндре двигателя внутреннего сгорания обладает большим запасом внутренней энергии: в момент проскакивания электрической искры или в конце рабочего хода поршня?
Решение
1. Двигатель внутреннего сгорания представляет собой циклическую тепловую машину, которая периодически совершает работу и возвращается после этого в исходное состояние. Периодически работающая тепловая машина должна иметь «рабочее тело» термодинамическое состояние, которого меняется циклически, нагреватель от которого «рабочее тело» забирает тепло и холодильник, которому тепло отдаётся.
2. Механическая работа совершается за счёт изменения внутренней энергии «рабочего тела». В соответствии с первым началом термодинамики для круговых процессов должно выполняться равенство
, (1)
где dQ1 - количество тепла, забираемое у нагревателя «рабочим телом»,
dQ2 - количество тепла, получаемое холодильником от «рабочего тела».
3. Производство работы осуществляется за счёт изменения внутренней энергии газообразного «рабочего тела». Максимальной внутренняя энергия будет в момент воспламенения топливно-воздушной смеси, которая в ДВС и является «рабочим телом». В конце рабочего хода поршня запас внутренней энергии «рабочего тела» уменьшается.
2.4.2. В результате кругового процесса газ совершил работу dА = 1 Дж и передал холодильнику dQ2 = 4,2 Дж. Определить термодинамический коэффициент полезного действия цикла h.
Решение
1. Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла равен
. (1)
2. Определим количество тепла, получаемого «рабочим телом» от нагревателя
5,2 Дж. (2)
3. Подставим значение dQ1 в уравнение (1)
. (3)
2.4.3. Совершая замкнутый круговой процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты dQ1 = 4 кДж. Определить работу газа при протекании цикла, если его термический КПД h = 0,1.
Решение
1. Запишем уравнение термического КПД и определим количество тепла dQ2, отдаваемое газом холодильнику
. (1)
2. Воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, определим работу цикла
. (2)
2.4.4. Идеальный двухатомный газ, содержащий n = 1 моль вещества, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объём Vmin = 10 л, наибольший - Vmax = 20 л, наименьшее давление, при этом, составляет рmin = 246 кПа, наибольшее - р max = 410 кПа. Построить график цикла. Определить температуру Т для характерных точек процесса и совершаемую за цикл работу.
|
Решение
1. Определим, используя уравнение Клапейрона Менделеева, температуру характерных точек процесса
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
2. Определим количество тепла, отдаваемое газом охладителю на изохорном участке 1®2
. (5)
3. Определим совершаемую за цикл работу, которая численно будет равна площади прямоугольника 1,2,3,4
. (6)
|
2.4.5. Идеальный двухатомный газ в количестве n = 1 кмоль, совершает замкнутый цикл в соответствии с приведённым графиком. Определить количество теплоты dQ1`, получаемое от нагревателя, количество тепла, отдаваемое охладителю dQ2, совершаемую за цикл работу dA и термический КПД процесса h.
Решение
1. Определим количество теплоты, получаемое газом от нагревателя, которое будет складываться из количества тепла dQ1,2 на первом изобарном участке цикла 1 - 2 и количества тепла dQ2,3 на первом изохорном участке 2 - 3
, (1)
. (2)
. (3)
2. Найдём количество тепла dQ2, отдаваемое охладителю на участках цикла 3,4,1
, (4)
, (5)
. (6)
3. Работа, совершаемая за один цикл
. (7)
4. Термический КПД процесса
. (8)
2.4.6. Идеальный двухатомный газ, содержащий n = 1 моль вещества, находится под давлением р1 = 0,1 МПа при температуре Т1 = 300 К, нагревают при постоянном объёме до давления р2 = 0,2 МПа. После этого газ расширился до начального давления, а затем изобарно сжат до начального объёма V1. Построить график цикла, определить характерные температуры и термический КПД h.
Решение
|
1. Определим, используя уравнение Клапейрона - Менделеева, начальный объём газа
, (1)
.(2)
2. Определим температуру газа в точке цикла 2
3. Поскольку участок цикла 2 - 3 является изохорой, то Т2 = Т3
4. Определим конечный объём газа при окончании изотермического расширения
. (3)
5. Работа при изотермическом расширении определится уравнением
. (4)
6. Количество тепла dQ1, получаемое от нагревателя на участках цикла 1®2®3
, (5)
, (6)
. (7)
7. Количество тепла, отдаваемое охладителю на участке 3®1
. (8)
8. Определим термический КПД цикла
(13%). (9)
2.4.7. Одноатомный газ, содержащий количество вещества n = 100 моль, под давлением р1 = 0,1 МПа занимал объём V1 = 5 м3. Газ сжимался изобарно до объёма V2 = 1 м3, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной температуре до начального объёма и начальной температуры. Построить график процесса. Найти температуры Т1, Т2, объёмы V2, V3 и давление р3, соответствующие характерным точкам цикла. Определить количество тепла dQ1, получаемое от нагревателя и количество тепла d Q2, отдаваемое охладителю. Вычислить работу, производимую за весь цикл и термический КПД h.
Решение
1. Определим начальную температуру газа Т1
|
. (1)
2. Температура Т2 в конце процесса изобарного сжатия газа
. (2)
3. Показатель адиабаты на участке процесса 2®3
. (3)
4. Определим объём V3, с учётом того, что переход газа из состояния 2 в состояние 3 происходит по адиабатной схеме
. (4)
Давление в точке 3 выразим из уравнения изотермы 3®4
. (5)
5. Подставим значение р3 из уравнения (5) в уравнение (4), которое разрешим относительно V3
, 
, Þ 
. (6)
6. Определим далее давление р3, воспользовавшись уравнением (5)
. (7)
7. Определим количество тепла dQ2, отдаваемое газом охладителю
. (8)
8. Определим количество тепла dQ1 получаемое газом
. (13)
9. Определим термический КПД процесса
. (14)
10. Работа, совершаемая за один цикл
. (15)
2.4.8. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причём наибольшее давление в два раза превосходило наименьшее давление, а наибольший объём в четыре раза превосходил наименьший объём. Определить термический КПД цикла.
|
Решение
1. Определим, используя уравнение Клапейрона Менделеева, характерные температуры процесса
, (1)
, (2)
2. Количество тепла dQ1, получаемое многоатомным газом на участках 1®2®3
, (3)
, (4)
. (5)
3. Количество тепла dQ2, отдаваемое газом охладителю на участках процесса 3®4®1
, (6)
, (7)
. (8)
4. Определим термический коэффициент процесса
. (9)
2.4.9. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества тепла dQ1, получаемого от нагревателя, отдаёт охладителю, температура которого составляет Т2 = 280 К. Определить температуру Т1 нагревателя.
Решение
1. Определим термический КПД процесса
. (1)
2. Запишем далее уравнение для КПД цикла Карно
. (2)
2.4.10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура охладителя равна Т2 = 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла если температура нагревателя повышается с Т1(min) = 400 К до Т1(max) = 600 К?
Решение
1. Определим КПД цикла для заданных температур нагревателя
, (1)
. (2)
2. Определим отношение коэффициентов полезного действия цикла
. (3)
2.4.10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в три раза выше температуры охладителя Т2. В течение цикла нагреватель передаёт газу количество теплоты dQ1 = 42 кДж. Какую работу А совершил газ?
Решение
1. Определим КПД заданного цикла
. (1)
2. Работа, совершаемая газом за один цикл, определится уравнением
. (2)
2.4.11. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя равна Т1 = 470 К, температура охладителя - Т2 = 280 К. В течение цикла газ совершает работу А = 100 Дж Определить термический КПД цикла h и количество теплоты, отдаваемое газом при его изотермическом сжатии.
Решение
1. Термический КПД цикла
. (1)
2. Определим количество тепла dQ1, получаемое газом от нагревателя
, (2)
с другой стороны, для цикла Карно можно записать для работы следующее соотношение
. (3)
2.4.12. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1 в четыре раза выше температуры охладителя Т2. Какую долю z количества тепла, получаемого за один цикл, газ отдаёт охладителю?
Решение
1. Определим термический КПД процесса
. (1)
2. Запишем значение термического КПД через количество теплоты
. (2)
2.4.13. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя dQ1 = 4,2 кДж теплоты, совершил работу А = 590 Дж. Определить величину термического КПД цикла и отношение температур нагревателя Т1 и охладителя Т2.
Решение
1. Определим термический КПД
. (1)
2. Запишем уравнение термического КПД следующим образом
. (2)
3. Определим из уравнения (2) отношение dQ1/dQ2
, (3)
откуда видно, что dQ1/dQ2 @ 1,16.
2.4.14. Идеальный газ совершает цикл Карно, совершая на стадии изотермического расширения работу А = 5 Дж. Определить работу изотермического сжатия, если термический КПД цикла h = 0,2.
Решение
1. Количество тепла dQ1, получаемое газом от нагревателя
. (1)
2. Количество теплаdQ2, отдаваемое газом охладителю
. (2)
3. Работа изотермического сжатия газа
. (3)
2.4.15. Наименьший объём газа участвующего в цикле Карно V1 = 0,153 м3. Определить наибольший объём этого газа V3, если в конце изотермического расширения объём газа составляет V2 = 0,6 м3, а в конце изотермического сжатия V4 = 0, 189 м3.
|
Решение
1. Количество тепла, получаемое газом от нагревателя и отдаваемое охладителю, определяются как
. (1)
. (2)
2. Составим очевидную пропорцию
.
|
2.4.16. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график которого приведен на рисунке. Объёмы газа в точках В и С соответственно равны V1 = 0,012 м3 и V2 = 0,016 м3. Определить термический КПД цикла.
Решение
1. Определим показатель адиабаты идеального двухатомного газа
. (1)
2. Поскольку точки В и С лежат на адиабате, то справедливы соотношения следующие соотношения между начальными и конечными параметрами процесса
. (2)
3. Определим далее КПД цикла, из условия что точка В соответствует температуре нагревателя Т1, а точка С температуре охладителя Т2
. (3)
2.4.17. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически до V2 = V1/6. Начальное давление в цилиндре равно р1 = 90 кПа, начальная температура - Т1 = 400 К. Определить давление р2 и температуру Т2 в конце процесса сжатия газа. Показатель политропы равен n = 1,3.
Решение
1. Запишем уравнение политропического процесса
. (1)
2. Выразим в уравнении (1) величину V2 через V1
. (2)
3. Запишем уравнение политропического процесса через его начальную и конечную температуру
, (3)
или, после замены V2, получим
, (4)
откуда
. (5)
2.5. Второе начало термодинамики
2.5.1. К воде с массой m1 = 5 кг с температурой Т1 = 280 К добавили m2 = 8 кг воды с температурой Т2 = 350 К. Определить температуру смеси и изменение энтропии, при смешивании воды
Решение
1. Установившуюся после перемешивания температуру определим из уравнения теплового баланса
. (1)
2. Определим энтропии масс m1 и m2 воды
, (2)
. (3)
3. Определим изменение энтропии при смешивании воды массами m1 и m2
. (4)
2.5.2. В результате изохорного нагревания водорода давление увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии водорода DS, если масса газа равна m = 1×10 - 3 кг.
Решение
1. Изменение энтропии в общем виде записывается следующим образом
. (1)
2. Для изохорного процесса первое начало термодинамики имеет вид
, (2)
, (3)
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
. (4)
4. Определим отношение температур, рассмотрев систему уравнений Клапейрона - Менделеева для заданных состояний водорода
. (5)
5. Вычислим изменение энтропии с учётом уравнения (5)
. (6)
2.5.3. Найти изменение энтропии DS при изобарном расширении азота массой 4×10 - 3 кг от объёма V1 = 5×10 - 3 м3 до V2 = 9×10 - 3 м3.
Решение
1. Изменение энтропии при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 в общем случае определяется уравнением
, (1)
где dQ в соответствии с первым началом термодинамики для изобарного процесса определится как
. (2)
2. Совместим уравнения (2) и (1)
. (3)
3. Определим отношение температур по аналогии с уравнением (5) предыдущей задачи
. (4)
4. Вычислим изменение энтропии, подставив отношение температур из уравнения (5) в уравнение (3)
. (5)
2.5.4. Лёд массой m = 0,2 кг, взятый при температуре Т1 = 263 К был нагрет до температуры Т2 = 273 К и расплавлен. Образовавшуюся воду нагрели до температуры Т3 = 283 К. Определить изменение энтропии указанных процессов.
Решение
1. Изменение энтропии при нагревании льда от температуры Т1 до температуры Т2
. (1)
2. Изменение энтропии при плавлении льда
, (2)
где l - удельная теплота плавления льда, Т0 = 273 К - температура плавления льда.
3. Изменение энтропии при нагревании воды от Т0 = 273 К до Т3 = 283 К
. (3)
4. Общее изменение энтропии
. (4)
2.5.5. Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.
Решение:
1 При теплообмене справедливо уравнение теплового баланса
, (1)
с учётом того, что массы m1, m2 и теплоёмкости с1,с2 – соответственно одинаковы, то
. (2)
2 Изменение энтропии тел в процессе теплообмена составит:
, (3)
или
. (4)
2.5.6. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.
Решение:
1. Процесс перехода вещества из одного состояния в другое происходит в данном случае без изменения температуры, поэтому изменение энтропии будет вызвано только плавлением, т. е.
. (1)
2.5.7. На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при температуре 293 К, при превращении ее в пар?
Решение:
1 Изменение энтропии при нагревании данной массы воды до температуры кипения Т2 составит:
, (1)
. (2)
2 Изменение энтропии в процессе фазового перехода воды из жидкого состояния в газообразное
. (3)
3 Суммируя уравнения (1) и (2), получим возрастание энтропии при нагревании и испарении 1 кг воды
. (4)
2.5.8. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от объема V1 до 2 V1: а) в вакууме; б) при изотермическом процессе. Масса водорода составляет величину m.
Решение:
1. Изменение энтропии при переходе водорода из состояния 1 в состояние 2 определяется уравнением
. (1)
В соответствии с первым началом термодинамики
. (2)
Второе слагаемое уравнения (2) содержит две переменных величины P и V, поэтому необходимо сделать замену на основе уравнения Клапейрона – Менделеева
, (3)
тогда
. (4)
2. Запишем уравнение (1) с учётом значения изменения количества тепла (4)
, (5)
интегрируя которое, получим
. (6)
3. Поскольку процесс изменения состояния происходит при постоянной температуре, то в обоих случаях увеличение энтропии составит
. (7)
2.5.9. Вычислите приращение энтропии водорода массы m при переходе его от объема V1 и температуры T1 к объему V2 и температуре Т2, если газ: а) нагревается при постоянном объеме V1, а затем изотермически расширяется; б) расширяется при постоянной температуре T1 до объема V2, затем нагревается при постоянном объеме; в) адиабатически расширяется до объема V2, а затем нагревается при постоянном объеме.
Решение:
1. Изменение энтропии во всех трёх заданных случаях будет одинаковым, потому что
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
2.5.10. Кусок льда массы 0,1 кг при температуре 0° С бросают в теплоизолированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при 50° С. Найдите приращение энтропии системы после установления равновесия. Удельная теплоемкость бензола 1,75 кДж/(кг×К).
Решение:
1. Определим установившуюся температуру, используя уравнение теплового баланса
, (1)
. (2)
2. Изменение энтропии при плавлении льда
. (3)
3. Изменение энтропии при нагревании образовавшейся изо льда воды
. (4)
4. Изменение энтропии при охлаждении бензола
. (5)
5. Общее изменение энтропии
. (6)
2.5.11. Водород массой m = 6×10 - 3 кг расширяется изотермически, давление изменяется от р1 = 0,1 МПа до р2 = 0,05 МПа. Определите изменение энтропии процесса DS.
Решение
1. Изменение энтропии при изменении состояния газа определяется уравнением
. (1)
2. В соответствии с первым началом термодинамики
. (2)
3. Запишем уравнение (2) выразив величину давления из уравнения Клапейрона - Менделеева
, (3)
и подставим его в уравнение (2)
. (4)
4. Подставим значение dQ из уравнения (4) в уравнение (1)
. (5)
5. Для изотермического процесса можно записать следующие очевидные соотношения
, 
. (6)
6. Таким уравнение (5) с учётом соотношений (6) можно переписать следующим образом
. (7)
2.5.12. Изменение энтропии между адиабатами в цикле Карно составляет DS = 4,2 кДж/К, изотермы процесса соответствуют разности температур DТ = 100 К. Найдите количество теплоты трансформирующееся в работу в этом цикле.
Решение
1. Запишем уравнение изменения энтропии
, (1)
и выразим из него температуру нагревателя
. (2)
2. Запишем уравнение КПД цикла
. (2)
3. На основании уравнения (2) величину работы, можно определить следующим образом
. (3)
2.5.13. Лёд массой m1 = 2 кг при температуре Т1 = 273 К был превращён в воду той же температуры с помощью пара, имеющего температуру Т2 = 373 К. Найдите массу израсходованного пара и изменение энтропии термодинамической системе вода пар.
Решение
1. Обозначим массу израсходованного пара через m2, удельную теплоёмкость пара с2, удельную теплоту плавления льда l, удельную теплоту парообразования r. В этом случае уравнение теплового баланса, с учётом того, что пар при контакте со льдом превращается при конденсации в воду, запишется следующим образом
. (1)
2. Выразим из уравнения (1) искомую массу пара
. (2)
3. Определим изменение энтропии системы лёд пар с учётом того, что пар конденсируется, а образовавшаяся при этом вода охлаждается, отдавая тепло льду
, (3)
. (4)
. (5)
2.5.14. Кислород массой m = 2 кг увеличил свой объём в z = 5 раз один раз изотермически, другой - адиабатно. Определите изменение энтропии в каждом из указанных процессов.
Решение
1. Найдём изменение энтропии при изменении состояния газа по изотермической схеме
, (2)
где количество тепла dQ = pdV.
2. Выразим давление из уравнения Клапейрона - Менделеева
. (3)
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
. (4)
4. Изменение энтропии при адиабатном расширении газа будет равно нулю, потому что dQ = 0, т. е. теплообмена с внешней средой не происходит.
2.5.15. Водород массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет при увеличении его объёма в z = 5 раз, а затем водород изохорно охладили, так что давление уменьшилось в x = 3 раза. Определите изменение энтропии при осуществлении этих процессов.
Решение
1. Определим изменение энтропии при изобарном расширении газа
, где , (1)
. (2)
2. Изменение энтропии при изохорном охлаждении водорода
. (3)
3. Определим изменение энтропии при осуществлении изобарного расширения и изохорного охлаждения
. (4)
