Занятие 4

Неравенства с модулем

В материале этого занятия рассмотрим неравенства, содержащие переменную под знаком модуля (под знаком абсолютной величины). Для решения таких неравенств нужно уметь «раскрывать» знак модуля («избавляться» от этого знака, «снимать» его). Конечно же, нужно отчётливо понимать определение модуля числа.

Определение (математика, 6 класс). Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках на координатной прямой) от начала отсчёта до точки с координатой а.

Из определения модуля следует, что модуль положительного числа и нуля равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному.

Во многих случаях для решения неравенств, содержащих модули, целесообразно поступать так (стандартный способ решения): найти нули модулей; этими нулями разбить числовую прямую на промежутки; на каждом из образовавшихся промежутков раскрыть модули и решить исходное неравенство. То есть исходное неравенство будет равносильно совокупности систем уже без модулей. Каждую систему нужно решить и объединить полученные решения.

Пример. Решить неравенство

Решение.

Нули модулей: 2-x=0, x=2; x-3=0, x=3.

Числовая прямая разбивается на 3 промежутка: x<2; 2 x>3.

Исходное неравенство равносильно совокупности трёх систем.

1)

2)

3)

Объединим решения систем.

Ответ: (-

Другой подход к решению неравенств, содержащих модули.

Рассмотрим равносильные переходы.

1)

2)

(В простых случаях можно решать двойное неравенство, в сложных – систему).

Эти два равносильных перехода следуют из определения модуля.

3) Рассмотрим разность Она может быть любого знака, но сумма модулей всегда неотрицательна. И умножение разности на такую сумму не изменит знака разности, то есть

знак разности совпадает со знаком произведения

(Значит, при решении неравенств одно из выражений можно заменить другим).

4)

Пример. Решить неравенство

Это неравенство не так просто решить стандартным путём. Применяя равносильные переходы, решить его можно без особого труда.

Данное неравенство равносильно системе неравенств.

Решим первое неравенство системы. Оно равносильно совокупности двух неравенств.

любое действительное число.

Решим второе неравенство системы. Оно равносильно системе неравенств.

Найдем общее решение: -

Ответ: -

ЗАДАНИЕ.

Постарайтесь усвоить способы решения неравенств, содержащих абсолютные величины (модули).

Тщательно разберите примеры с готовыми решениями.

Решите самостоятельно неравенства:

№1. (5 баллов).

№2. (5 баллов).

(Нужно привести обоснованные решения неравенств).