Функции нескольких переменных

Контрольная работа 2

“ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ”

ЗАДАНИЕ 1а. Найти частные производные и функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти и функции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ 2. Показать, что

1.	для функции .
2.	для функции
3.	для функции .
4.	для функции .
5.	для функции .
6.	для функции
7.	для функции .
8.	для функции .
9.	для функции .
10.	для функции .
11.	для функции .
12.	для функции .
13.	для функции .
14.	для функции .
15.	для функции .
16.	для функции .
17.	для функции .
18.	для функции
19.	для функции .
20.	для функции .
21.	для функции .
22.	для функции
23.	для функции .
24.	для функции .
25.	для функции .
26.	для функции .
27.	для функции .
28.	для функции .
29.	для функции .
30.	для функции .

ЗАДАНИЕ 4. Исследовать на экстремум:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.	в треугольнике со сторонами .
2.	в треугольнике со сторонами .
3.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
4.	в треугольнике со сторонами .
5.	в треугольнике со сторонами
6.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
7.	в квадрате
8.	в квадрате
9.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
10.	в области, ограниченной прямыми
11.	в области, ограниченной прямыми
12.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
13.	в треугольнике со сторонами
14.	в треугольнике со сторонами
15.	в треугольнике со сторонами
16.	в квадрате, ограниченном прямыми
17.	в треугольнике со сторонами .
18.	в треугольнике со сторонами .
19.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
20.	в треугольнике со сторонами .
21.	в треугольнике со сторонами
22.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
23.	в квадрате
24.	в квадрате
25.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
26.	в области, ограниченной прямыми
27.	в области, ограниченной прямыми
28.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
29.	в треугольнике со сторонами
30.	в треугольнике со сторонами

ЗАДАНИЕ 6. Найти производную функции:

1.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
2.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
3.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
4.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ.
5.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX.
6.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
7.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о.
8.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о.
9.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
10.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
11.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
12.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
13.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
14.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).
15.	в точке (1; 1) по направлению вектора .
16.	в точке (1; 1) в направлении от этой точки к точке (2; 2).
17.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
18.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
19.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
20.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ.
21.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX.
22.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
23.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о.
24.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о.
25.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
26.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
27.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
28.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
29.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
30.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).

Образец выполнения контрольной работы

“ Функции нескольких переменных ”

1) Найти и функции .

Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.

Считаем переменную “х” постоянной величиной.

Ответ:

2) Показать, что при .

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.

3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .

Так как ,

отсюда следует, что .

Заменим приращение функции ее дифференциалом ,

где .

Тогда ,

т. е. в данном случае .

Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.

.

Теперь найдем

;

.

Находим искомое значение корня

.

Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.

Ответ: .

4) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .

Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, какой.

Составляем определитель .

Так как , экстремум существует. Так как , в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.

.

Ответ: .

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами .

Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.

 

Рисунок 7

Рассмотрим границу : Подставляя в выражение функции, получим

Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Находим при , а это значение не входит в рассматриваемый отрезок . На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, это и .

Переходим к границе : . Подставляя в выражение функции, получим .

Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при . Эта точка входит в отрезок . Поэтому вычислим значение функции в этой точке.

.

На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и .

Рассматриваем третью границу : . Выразим и подставим в выражение функции:

.

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при , а это значение не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции наибольшее. Это значение равно 6 в точке . А наименьшее значение принимается в двух точках: и .

Ответ: , .

6) Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .

,

где – орт направления вектора .

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. . Найдем длину . . Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому .

Теперь найдем частные производные функции .

Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению:

Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.

Ответ: