Центральное растяжение-сжатие

ЗАДАЧА 1. Центральное растяжение-сжатие

Для заданного многоступенчатого бруса требуется:

1.  построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений;

2.  скорректировать, если потребуется, площади поперечных сечений участков бруса, приняв коэффициент запаса прочности К (в случае изменения площадей сечения бруса построить скорректированную эпюру нормальных напряжений);

3.  определить критическую температуру равномерного нагрева бруса при пожаре.

Допускаемое напряжение на растяжение для материала бруса [σр]=180 (МПа); а модуль упругости Е=2·105 (МПа).

Выбор расчетной схемы и данных для расчета

Вари-ант	№ схем	Р1, кН	Р2, кН	P3, кН	S1, cм2	S2 cм2	S3, cм2	a, м	b, м	с, м	d, м	e, м	f, м	К, %
38	4	100	170	60	3	10	8	0.3	0.6	0.4	0.2	0.6	0.4	10

Решение:

При действии на систему заданных сил возникают опорные реакции в точке А и в точке В. Из условия равновесия бруса имеем одно уравнение, содержащее две неизвестные величины:

Система один раз статически неопределима.

Перемещение сечений А и В бруса равны нулю, так как они жестко закреплены:

Отбросим нижнее закрепление и заменим его действие на брус реакцией

Применяя принцип независимости действия сил найдем перемещение сечения В

+=0

Находим

=

=86 кН

Тогда кН

Определяем значение продольной силы и нормальных напряжений на участках бруса

кН

кН

кН

кН

кН

кН

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

На 6 и 2 участках бруса условие прочности не выполняется

МПа

МПа

Из условия прочности определяем требуемые площади сечений

мм2

мм2

Тогда напряжения на участках бруса

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

3 Определить критическую температуру равномерного нагрева бруса при пожаре.

Согласно графика критическая температура t=4250С

ЗАДАЧА 2. Кручение бруса

Для заданного двухступенчатого бруса круглого поперечного сечения требуется:

1)  построить эпюру крутящих моментов;

2)  определить из условия прочности размеры поперечного сечения бруса;

3)  построить эпюру касательных напряжений;

4)  построить эпюру углов закручивания;

5)  определить критическую температуру равномерного нагрева бруса при пожаре, если допускаемое напряжение на кручение для материала бруса [τ] = 100 МПа.

Выбор расчетной схемы и данных для расчета

Вариант	№ схем	М1, кН·м	М2, кН·м	М3, кН·м	l1, м	l2, м	l3, м	Кпр, %
38	4	17	13	3	0,5	0,4	0,4	15

Решение:

1 Определяем крутящие моменты на участках бруса

1 участок

кН∙м

2 участок

кН∙м

3 участок

кН∙м

2  Определяем из условия прочности размеры поперечного сечения бруса.

м

где МПа

м

3  Определяем касательные напряжения на участках бруса

Па =84 МПа

Па =19,8 МПа

Па =84,5 МПа

4  Построим эпюру углов закручивания

В сечении А

В сечении В рад

где м4

В сечении С рад

где м4

В сечении Д рад

где м4

Определение критической температуры равномерного нагрева бруса при пожаре

Согласно графика критическая температура t=3500С

ЗАДАЧА 3. Изгиб балки

Для заданной балки, нагруженной внешними силами, требуется:

1.  построить эпюры поперечных сил и нормальных напряжений;

2.  учитывая заданный коэффициент запаса прочности, определить размер сечения балки (круглого и квадратного) и ее профиль (швеллер, двутавр);

3.  показать наиболее эффективную форму поперечного сечения балки по показателю материалоемкости;

4.  [σи]=180 (МПа).

Выбор расчетной схемы и данных для расчета

Вариант	№ схем	М кН·м	Р, кН	q, кН/м	a, м	b, м	с, м	К, %
38	4	48	40	47	1,5	5,7	1,6	10

Решение

1 Определяем опорные реакции балки

(1)

(2)

Из уравнения (1) определяем

кН

Из уравнения (2) определяем

кН

Проверка:

2 Определяем поперечную силу и изгибающий момент на участках балки.

1 участок м

2 участок м

3 участок м

Пределы изменения xi на учаске	Выражения для Qi и Mi	Граничные значения
Qi, кН	Mi, кН м
в начале участка	в конце учаска	в начале участка	в конце учаска
м		40	40	0	60
м		169,9	-98	60	264,9
м		-173,2	-98	0	216,9

На втором участке поперечная сила на концах участка имеет разные знаки. Определим положение сечения, где поперечная сила равна нулю.

откуда м

Величина изгибающего момента в этом сечении:

кН∙м

Из условия прочности на изгиб:

имеем м3 =2265,4 см3

где МПа

Сечение балки квадрат

откуда см

площадь сечения А=242=576 см2

Сечение балки круг

откуда см

площадь сечения А==628,7 см2

По таблицам сортамента принимаем двутавр № 60 см3

площадь сечения А=132 см2

По таблицам сортамента принимаем 4 швеллера № 36 см3

площадь сечения А=53,4 см2

3 Определяем наиболее рациональное сечение.

Расход материала пропорционален площади сечения. Примем площадь сечения квадрат за единицу

Наиболее эффективная форма поперечного сечения балки по показателю материалоемкости – двутавр.

ЗАДАЧА 4. Расчет балки на прочность и жесткость

Для заданной балки, нагруженной внешними силами, требуется:

1.  построить эпюры поперечных сил и нормальных напряжений;

2.  учитывая заданный коэффициент запаса прочности, определить размеры сечения балки (круглого и квадратного).

3.  определить прогиб балок (круглой и квадратной) в ее центре, учитывая, что материалом балок является сталь Ст3 с Е=2·105 (МПа), а допускаемое нормальное напряжение на изгиб для ее материала [σи]=180 (МПа).

Выбор расчетной схемы и данных для расчета

Вариант	№ схем	М кН·м	Р, кН	q, кН/м	a, м	b, м	с, м	К, %
38	7	48	40	47	1,5	5,7	1,6	10

Решение

1 Определяем опорные реакции балки

(1)

(2)

Из уравнения (1) определяем

кН

Из уравнения (2) определяем

кН

Проверка:

2 Определяем поперечную силу и изгибающий момент на участках балки.

1 участок м

2 участок м

3 участок м

Пределы изменения xi на учаске	Выражения для Qi и Mi	Граничные значения
Qi, кН	Mi, кН м
в начале участка	в конце учаска	в начале участка	в конце учаска
м		-20,9	-20,9	0	-31,35
м		19,1	19,1	-31,35	77,52
м		-56,1	19,1	0	29,52

На третьем участке поперечная сила на концах участка имеет разные знаки. Определим положение сечения, где поперечная сила равна нулю.

откуда м

Величина изгибающего момента в этом сечении:

кН∙м

Из условия прочности на изгиб:

имеем м3 =47852 см3

где МПа

Сечение балки - квадрат

откуда см

м4

Сечение балки - круг

откуда см

м4

3 Определяем прогиб балок (круглой и квадратной) в ее центре.

Начало координат помещаем на левой опоре. Определяем изгибающие моменты на участках.

Каждое уравнение дважды интегрируем, тогда

Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления бруса и условий непрерывности при переходе с участка на участок.

при х=0 у1=0

при х=1,5 м у1=у2

при х=7,2 м у2=у3

при х=8,8 м у3=0

Из этих условий находим:

С2=0

145,37+8,8С5+С6=0

1,5С1=1,5С3+С4

С1=С3

С3=С5

7,2С3+С4=7,2С5+С6

Решая полученную систему уравнений получим:

С1=-16,5

С2=0

С3=-16,5

С4=0

С5=-16,5

С6=0

Для второго участка балки окончательно имеем:

В сечении х=4,4 м прогиб будет:

=

= =

Сечение квадрат

м

Сечение круг

м

Список литературы.

1. . Сопротивление материалов. – М.: издательство МГТУ им. Баумана, 2001.