История одной задачи…

История одной задачи…

Людмила Анатольевна Ященко, учитель математики

МБОУ СОШ №2 сельского поселения «Село Хурба»

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт.

Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи.
Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач.

Теорема Чевы в школь­ном курсе математики изучается лишь в классах с углубленным изучением ма­тематики. Между тем, эта теорема по­зволяет легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этой теоремы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки А1, В1, С1. При каком расположении этих точек прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекутся в одной точке?
Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.).

Теорема Чевы. Если через вершины проведены прямые , , , пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках , , , то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. рис.1):

Для примера рассмотрим решение задачи С-4 из тренировочной работы № 10 (Сборник «ЕГЭ, 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С)/ под редакцией , .- М.: Издательство «Экзамен», 2014.-215»).

Задача. Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ1:В1С=АС1:С1В. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. (рис 2)

 

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника АВ1ОС1 к площади треугольника АВС, если известно, что АВ1:В1С=АС1:С1В=1:2

Доказательство:

Значительно упрощает доказательство применение теоремы Чевы. Итак, если все три прямые пересекаются в одной точке, то по теореме выполняется равенство:

.

Так как по условию , то получим . Откуда или , что и требовалось доказать.

Для того, чтобы найти при условии будем рассуждать следующим образом (рис 3).

1.  Пусть , , , . ( по второму признаку). Следовательно, .

2.  ( по двум углам). .

3.  ( как площади треугольников, имеющих общий угол). Значит,

4.  ( как площади треугольников, имеющих общую высоту). Значит, .

5.  . Тогда .