Программа дисциплины Спецкурс «Representations of GL(2) over finite and local fields II»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Representations of GL(2) over finite and local fields II»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Michael Finkelberg, PhD, *****@***com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2013

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2013 г.

2  The goals of mastering the subject

The goals of mastering the subject «Representations of GL(2) over finite and local fields II» are: mastering geometric methods of modern representation theory, learning how techniques of modern algebraic geometry can be applied to representation theoretic problems.

3  Competencies of a student which are formed by mastering the subject

As a result of mastering the subject the student should:

·  Learn the basic notions of the representation theory of GL(2) over local fields (such as the quasi-regular representation, cuspidal representations, continuous series, discrete series), and some representation theory of adele groups.

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5  Thematic plan of the subject

1 курс магистратуры

№	Title of the section	Total hours	Class hours	Self-guided study
Lectures	Seminars	Practical classes
1	Locally compact fields	20	8			12
2	Homogeneous spaces with a discrete stability group	23	10			13
3	GL(2) over a locally compact field	29	14			15
		72	32			40

2 курс магистратуры

№	Title of the section	Total hours	Class hours	Self-guided study
Lectures	Seminars	Practical classes
1	Locally compact fields	40	8			32
2	Homogeneous spaces with a discrete stability group	41	10			31
3	GL(2) over a locally compact field	45	14			31
		126	32			94

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	2 год	Параметры **
1	2	3	4	1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*	8							письменная работа, 80 мин.
Итоговый	Зачет		v							письменная работа, 240 мин

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории автоморфных форм, геометрии и арифметики адельных групп и связанным с этими разделами задачам из теории представлений.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7  Content of the subject

1.  Section 1. Locally compact fields

№	Topic	Total hours	Lectures	Seminars	Self-guided study
1.	Classification of locally compact fields. The norm in K. Additive and multiplicative characters of K.	7	3		4
2.	Quadratic extensions of a disconnected field. Invariant measures on K and its quadratic extension.	13	5		8
	Total:	120	18	3	212

Suggested bibliography:

I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W. B.Saunders, 1969

H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970

2.  Section 2. Homogeneous spaces with a discrete stability group

№	Topic	Total hours	Lectures	Seminars	Self-guided study
3.	Homogeneous spaces and their stability groups. The connection with Riemann surfaces. Discrete groups with a compact fundamental domain.	4	1		3
4.	Representations of a group G induced by a discrete subgroup. The discreteness of the spectrum of induced representation.	4	1		3
5.	The principal series of irreducible unitary representations. The supplementary series of representations.	6	4		2
6.	Automorphic forms. Statement of the duality theorem. The Laplace operator.	4	2		2
7.	Proof of the duality theorem for representations of the continuous series. Duality theorem for representations of discrete series.	5	2		3
	Total:	123	110	3	213

Suggested bibliography:

I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W. B.Saunders, 1969

H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970

3.  Section 3. GL(2) over a locally compact field

№	Topic	Total hours	Lectures	Seminars	Self-guided study
8.	The irreducibility of the representations of the continuous series. The quasi-regular representation of G and its decomposition.	8	4		4
9.	The singular representation of G. Representations in the spaces D_x.	4	1		3
10.	Spherical functions. The operator of the horospherical automorphism.	7	4		3
11.	Description of the representations of discrete series. Continuous dependence of the operators T_x(g) on g.	6	3		3
12.	Equivalence of representations of the discrete series. Discrete series for the field of 2-adic numbers.	4	2		2
	Total:	129	114	3	215

Suggested bibliography:

I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W. B.Saunders, 1969

H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970

8  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1  Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы для контрольной работы

1.  How can one find the number of elements of the cycle type p in the symmetric group?

2.  Calculate the character table of SL_2(F_q).

3.  Prove that Schur functions form a basis of Lambda.

8.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. What is a homogeneous space? What is a stability group?

2. Desribe the fundamental domain in the Lobachevskii plane.

3. State the theorem on continuous deformations of discrete subgroup.

4. What is the principal series? What is the supplementary series?

5. What is the horospherical subgroup? What is a horosphere? State the criterion for compactness of a horosphere.

6. Write down formulae for the multiplicities of the representations of the discrete series.

7. State the classification theorem on locally compact fields.

8. State the duality theorem. Give a sketch of its proof for representations of the continuous series.

9. Describe the decomposition of the quasi-regular representation of G.

10. What is a spherical function? Define the operator of the horospherical automorphism.

9  Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.

Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

10  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1  Базовый учебник

Нет. Должны быть обеспечены ридеры.

10.2  Основная литература

I. Gelfand, M. Graev, I. Piatetsky-Schapiro, Representation theory and automorphic functions, W. B.Saunders, 1969.

H. Jacquet, R. Langlands, Automorphic forms on GL(2), LNM 114, Springer, 1970.

10.3  Дополнительная литература

C. Bonnafe, Representations of SL_2(F_q), Algebra and Applications, 13, Springer, 2011.