Работа должна состоять из задачи, ее описания (задания) и ее решения, в конце делается вывод по результатам

Работа должна состоять из задачи, ее описания (задания) и ее решения, в конце делается вывод по результатам.

задачи для решения

Вариант 3

3.1. Найдите оптимальное решение задачи распределения капиталовложений при условии, что суммарный объем инвестиций равен 9 млн. руб.

Проект	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
C1	R1	C2	R2	C3	R3
1 2 3 4	2 4 - -	4 6 - -	3 3 5 -	4 5 8 -	0 2 3 6	0 3 5 9

3.2. Решите задачу календарного планирования трудовых ресурсов при следующих данных:

3.3. Решите задачу о замене оборудования при следующих данных

Показатель	Время, в течение которого используется оборудование
0	1	2	3	4
Годовой выпуск продукции , млн. руб.	70	85	90	65	60
Ежегодные затраты на ремонт и содержание оборудования , млн. руб.	25	30	35	40	45

Примеры для решения.

Задача распределения капиталовложений

Совет директоров фирмы изучает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет средства в объеме 5 млн. руб. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные приведены в табл.1, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет предусмотреть возможность отказаться от расширения какого-либо предприятия.

Таблица 1

Проект	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
C1	R1	C2	R2	C3	R3
1 2 3 4	0 1 2 -	0 5 6 -	0 2 3 4	0 8 9 12	0 1 - -	0 3 - -

Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций.

В рассмотренном примере каждому из предприятий ставится в соответствие некоторый этап, поскольку требуется выбрать оптимальный проект для каждого предприятия. Известно, что этапы связаны между собой посредством ограничения на суммарный объем капиталовложений. При построении модели необходимо учесть эту связь таким образом, чтобы получить возможность по отдельности решать подзадачи, соответствующие каждому этапу, не нарушая при этом условия допустимости.

Введем следующие обозначения:

X1 – объем капиталовложений, распределенных на этапе 1.

X2 – объем капиталовложений, распределенных на этапах 1 и 2.

X3 – объем капиталовложений, распределенных на этапе 1,2,3.

Заметим, что конкретные значения X1 и X2 заранее не известны, однако эти значения лежат в интервале между 0 и 5. Так как затраты на реализацию каждого из проектов выражаются целыми числами, значения X1 и X2 могут быть равны 0,1,2,3,4,5. с другой стороны значение переменной X3 равно 5.

Пусть

·  f1*(X1) – максимальный доход, полученный на этапе 1, при заданном значении X1.

·  f1*(X2) – максимальный доход, полученный на этапах 1 и 2, при заданном значении X2.

·  f1*(X3) – максимальный доход, полученный на этапах 1,2,3, при заданном значении X3.

Тогда рекуррентное соотношение динамического программирования будет иметь следующий вид:

, , где максимум берется по допустимым проектам kj.

Так как , следовательно, , .

Откуда .

Приведем результаты поэтапных расчетов на основе рекуррентного соотношения для рассматриваемой задачи.

Этап 1. , , .

		Оптимальное решение
0 1 2 3 4 5	0 0 0 0 0 0	- 5 5 5 5 5	- - 6 6 6 6	0 5 6 6 6 6	1 2 3 3 3 3

Этап 2. , , .

		Оптимальное решение
0 1 2 3 4 5	0+0=0 0+5=5 0+6=6 0+6=6 0+6=6 0+6=6	- - 8+0=8 8+5=13 8+6=14 8+6=14	- - - 9+0=9 9+5=14 9+6=15	- - - - 12+0=12 12+5=17	0 5 8 13 14 17	1 1 2 2 2,3 4

Этап 3. , , .

		Оптимальное решение
5	0+17=17	3+14=17	17	1,2

Максимальный доход от инвестиций в объеме 5 млн. руб. составит 17 млн. руб. Оптимальное решение можно найти непосредственно из приведенных таблиц, используя соотношение . Причем сначала рассматривается таблица, полученная на этапе 3, затем на этапах 2 и 1. В результате получим следующие оптимальные наборы проектов для этапов 1,2 и 3 – [{2,4,1}, {3,2,2}, {2,3,2}].

Задача календарного планирования трудовых ресурсов

Предприниматель составляет план регулирования численности рабочих на каждую из пяти следующих недель. Он располагает сведениями о минимальном количестве рабочих, которое требуется для проведения работ на каждой неделе . Наем или увольнение, а также простой рабочих связаны с накладными расходами, величины которых известны.

Пусть

1. Xj – количество рабочих имеющихся в наличии на j-й неделе;

2. – величина убытков, связанных с тем, что Xj превышает заданное значение bj, ;

3. – величина накладных расходов по найму новых рабочих.

Необходимо определить, сколько рабочих следует нанимать или увольнять еженедельно, чтобы обеспечить минимум суммарных затрат для планируемого периода. Исходное количество рабочих к началу первой недели составляет .

Обозначим через минимальную величину расходов, осуществленных в течение недель 1,2,..., j при заданном значении Xj.

Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде:

.

Определим границы для значений переменных Xj. Так как в нашей задаче уравнение не требует накладных расходов, то достаточно рассмотреть следующие ситуации:

X1 = {5,6,7,8}, X2 = {7,8}, X3 = {8}, X4 = {4,5,6}, X5 = {6}.

Пусть .

Этап 1. ().

		Оптимальное решение
5 6 7 8	0+0=0	0 9 14 19	0 1 2 3

Этап 2. ().

		Оптимальное решение
7 8	0+4+2·2+0=8 3·1+4+2·3+0=13	0+4+2·1+9=15 3·1+4+2·2+9=20	0+0+14=14 3·1+4+2·1+14=23	0+0+19=19 3·1+0+19=22	8 13	2 3

Этап 3. ().

		Оптимальное решение
8	0+4+2·1+8=14	0+0+13=13	13	0

Этап 4. ().

		Оптимальное решение
4 5 6	0+0+13=13	13 16 19	-4 -3 -2

Этап 5. ().

		Оптимальное решение
6	0+4+2·2+13=21	0+4+2·1+16=22	0+0+19=19	19	0

Так как , то

Неделя	bj	Xj	Решение
1 2 3 4 5	5 7 8 4 6	5 8 8 6 6	Никого не нанимать и не увольнять Нанять трех рабочих Никого не нанимать и не увольнять Уволить двух рабочих Никого не нанимать и не увольнять

Задача о замене оборудования

Одной из важных задач менеджмента машиностроительного предприятия является определение оптимальной стратегии в замене старого оборудования на новое. В процессе эксплуатации оборудования наступает момент, когда старое оборудование выгоднее заменить новым, чем эксплуатировать дальше. Критерием оптимальности может служить прибыль от эксплуатации оборудования. Будем считать, что решения о замене оборудования принимаются периодически в начале каждого промежутка времени, на которые разбит планируемый период. Основной характеристикой оборудования будем считать его возраст, так как от возраста зависит производительность, затраты на эксплуатацию и т. д.

В начале каждого промежутка времени принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, поэтому управление на j-м шаге:

где – решение о сохранении оборудования;

– решение о замене оборудования.

Пример. Предположим, что на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности оборудования от времени его использования, а также зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования от времени приведены в табл. 2.

Таблица 2

Показатель	Время, в течение которого используется оборудование
0	1	2	3	4
Годовой выпуск продукции , млн. руб.	80	75	65	60	60
Ежегодные затраты на ремонт и содержание оборудования , млн. руб.	20	25	30	35	45

Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, составляют С = 40 млн. руб., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования, при котором общая прибыль за рассматриваемый период (5 лет) – максимальная.

Обозначим через – возраст оборудования в начале j-го года.

Тогда

Обозначим через – максимальную прибыль, полученную предприятием в течение j, j+1,…, 5 лет при заданном значении .

Тогда рекуррентном соотношение для обратной вычислительной системы запишется в следующем виде:

1.

для j = 1,2,3,4.

2.

Этап 5.

1) ,

,

следовательно, .

2) ,

,

следовательно, .

3) ,

,

следовательно, .

4) ,

,

следовательно, .

Возраст оборудования
1	50
2	35
3	25
4	20

Этап 4.

1) ,

следовательно, .

2) ,

следовательно, .

3) ,

следовательно, .

Возраст оборудования
1	85
2	70
3	70

Этап 3.

1) ,

следовательно, .

2) ,

,

следовательно, .

Возраст оборудования
1	120
2	105

Этап 2.

,

следовательно, .

Возраст оборудования
1	155

Этап 1.

,

следовательно, . Таким образом, максимальная прибыль предприятия составит 215 млн. руб. В задаче возможны два решения.

1) .

2) .