Три группы формул Максвелла

13.2.11. Три группы формул Максвелла

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого из них определяется не только зарядом данного тела, но и зарядами всех остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал оказывается линейной функцией зарядов.

В матричной форме система уравнений с потенциальными коэффициентами для n заряженных тел имеет вид:

j = a×q. (13.37а)

Здесь j и q – матрицы-столбцы, a – квадратная матрица. Каждая матрица имеет n строк.

Эта система и представляет собой первую группу формул Максвелла для электростатики. Она позволяет вычислить потенциалы тел по заданным зарядам.

В частности, для тела с номером k можно записать

и сами коэффициенты определить с помощью эксперимента (или рассчитать) при следующих условиях.

Если все заряды, кроме  положить равными нулю, то собственный потенциальный коэффициент, как следует из (13.37б), будет равен В свою очередь, взаимный потенциальный коэффициент можно найти через потенциал того же тела, но при равенстве нулю всех зарядов, кроме

Вторую группу формул Максвелла – уравнения с емкостными коэффициентами (коэффициентами электростатической индукции)– нетрудно получить, разрешив систему уравнений (13.37а) относительно зарядов тел. В матричной форме:

q = b×j. (13.38а)

Эта группа позволяет вычислить заряды тел по заданным потенциалам.

Из уравнения для k-го тела

следует способ определения коэффициентов. Если принять равными нулю потенциалы всех тел, кроме то собственный емкостный коэффициент равен Взаимный емкостный коэффициент выражается через заряд того же тела и не равный нулю потенциал тела с номером m, причем потенциалы остальных тел равны нулю: Очевидно, квадратные матрицы коэффициентов в уравнениях (13.37а) и (13.38а) взаимно обратны:

b = a-1. (13.38в)

Третья группа формул Максвелла – уравнения с частичными емкостями – связывает заряды тел с разностями потенциалов между телами (в том числе и с землей, чей потенциал считается равным нулю). Эти уравнения можно получить из второй группы формул перегруппировкой слагаемых. Матричная запись системы уравнений имеет вид:

q = CU. (13.39а)

В уравнении для k-го тела

переменные равны:

Для определения собственной частичной емкости следует принять потенциалы всех тел одинаковыми и определить заряд тела с номером k. Тогда Если этот результат сравнить с записью в тех же условиях уравнения с емкостными коэффициентами, то легко убедиться, что

Чтобы найти взаимную частичную емкость, нужно принять потенциалы всех тел, кроме m‑го, равными нулю, иными словами, заземлить и определить заряд k-го тела. Тогда . Очевидно, При этом, поскольку на заземленном теле наводится заряд  противоположного знака по сравнению с который определяется потенциалом  то все частичные емкости и собственный емкостный коэффициент положительны, а взаимные емкостные коэффициенты отрицательны. Разумеется, положительны и все потенциальные коэффициенты. Кроме того, в соответствии с принципом взаимности

Пример 13.11. Двухпроводная линия над землей (рис. 13.11,а).

Известны расстояние между проводами d, высота подвеса над землей h, радиус  и длина l каждого из них.

Определить потенциальные коэффициенты и емкость единицы длины линии с учетом влияния земли.

Решение

Длину проводов будем полагать достаточно большой, чтобы поле можно было считать плоскопараллельным. А радиус провода по сравнению с высотой подвеса и расстоянием между проводами достаточно малым, чтобы не учитывать смещения электрических осей проводов относительно геометрических.

Для определения потенциальных коэффициентов воспользуемся методом зеркальных изображений (рис. 13.11,б). Пусть известен заряд первого провода q, а заряд второго провода равен нулю. Тогда зеркальное изображение первого провода имеет заряд – q. Найдем потенциалы проводов, используя формулу (13.26), в которой заменим .

Очевидно,

Отсюда легко находятся потенциальные коэффициенты:

Уравнения для двух заряженных проводов имеют вид:

Чтобы определить емкость линии с учетом влияния земли, следует принять (при этом, очевидно, и Тогда

Подставляя значения коэффициентов, найдем и емкость единицы длины линии

Если высота подвеса гораздо больше расстояния между провода ми, то полученное выражение приводится к формуле (13.36).