Учебно-методический комплекс по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный университет»

Рубцовский институт (филиал)

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Специальность - 080801.65 Прикладная информатика (в экономике)

Форма обучения – очная, заочная, заочная (сокращенная) на базе среднего профессионального образования

Кафедра – Математики и прикладной информатики

Рубцовск - 2011

При разработке учебно-методического комплекса в основу положены:

1) ГОС ВПО по специальности 080801.65 Прикладная информатика (в экономике), утвержденный Министерством образования РФ «14» марта 2000 г., 52 МЖД/СП

2) Учебный план по специальности 080801.65 Прикладная информатика (в экономике), утвержденный Ученым советом РИ (филиал) АлтГУ от «23» мая 2011г., протокол

Учебно-методический комплекс одобрен на заседании кафедры математики и прикладной информатики от «27» июня 2011 г., протокол №15

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.. 4

2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 6

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.. 7

4. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ.. 18

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс дифференциальные уравнения являются основой для математической подготовки студентов специальности «Прикладная информатика» с учетом специальных требований к их профессиональной подготовке. Раздел математики дифференциальные уравнения обеспечивает подготовку студентов по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным аппаратом исследования многих задач естествознания, техники, экономики. Содержание дисциплины имеет многочисленные приложения и является одним из фундаментов будущей практической и научной деятельности специалиста. Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач.

Цели освоения дисциплины:

Основной целью преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» является формирование у будущих специалистов современных теоретических знаний в области обыкновенных дифференциальных уравнений и практических навыков в решении и исследовании основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования.

Задачи дисциплины:

–  формирование понимания значимости математической составляющей в естественнонаучном образовании специалиста;

–  ознакомление с основными понятиями теории дифференциальных уравнений, методами качественного исследования и решения уравнений, систем уравнений;

–  ознакомление студентов с навыками математического моделирования прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений и содержательно интерпретировать полученные количественные результаты их решений.

Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к циклу ЕН. Ф.1 Цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Федеральный компонент.

Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для изучения данного курса: Для изучения курса математика необходимо твердое знание студентами базового курса математики средней школы, курсов линейной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа.

Программа предусматривает различные формы работы со студентами: проведение лекционных и семинарских занятий, контрольных работ по решению задач на практических занятиях, выполнение индивидуальных заданий, зачета по теоретическому материалу и задачам. Итоговая оценка знаний проводится на экзамене, в качестве промежуточного контроля знаний проводится тестирование.

2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

(распределение часов курса по разделам и видам работ)

Очная форма обучения

Дидактические единицы (ДЕ)	Наименование тем	Максимальная нагрузка студентов, час.	Количество аудиторных часов при очной форме обучения	Самостоятельная работа студентов, час.
Лекции	Семинары	Лабораторные работы
1	2	3	4	5	6	7
ДЕ 11 Дифференциальные уравнения первого порядка (50 баллов)	1.Введение. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.	20	2	2		16
2.Дифференциальные уравнения первого порядка.	32	8	8		16
Промежуточный контроль	Контрольная работа (20 баллов) ИДЗ (20 баллов)
ДЕ 12 Дифференциальные уравнения второго порядка (50баллов)	3..Дифференциальные уравнения высших порядков.	36	10	10		16
4.Системы дифференциальных уравнений.	28	6	6		16
5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. (Более подробно данный вопрос рассматривается в курсе «Численные методы»).	24	4	4		16
Промежуточный контроль	ИДЗ (40 баллов)
Итоговый контроль	Экзамен – 40 баллов
Итого часов	140	30	30		80

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Обязательный минимум содержания образовательной программы

Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисления; экстремумы функций; последовательности и ряды; векторный анализ и элементы теории поля; дифференциальные уравнения; численные методы.

(дидактические единицы)

ДЕ 1

Тема 1. Введение. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка

Аудиторное изучение: Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений: порядок уравнения, общее и частное решение, произвольные постоянные, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений, изоклины.

Самостоятельное изучение: Условие Липшица. Доказательство теоремы существования решения (в рамках теоремы Коши) для дифференциального уравнения вида .

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Аудиторное изучение: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения первого порядка вида . Уравнения в полных дифференциалах. Решение обыкновенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение обыкновенных неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, вида . Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной, вида .

Самостоятельное изучение: Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.

ДЕ 2

Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Аудиторное изучение: Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения высокого порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения степени. Линейные дифференциальные уравнения n порядка. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений системы линейных дифференциальных уравнений. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Уравнения Эйлера. Линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа. Фундаментальная система решений линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с переменными коэффициентами. Формула Лиувилля для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с переменными коэффициентами. Моделирование посредством ОДУ.

Самостоятельное изучение: Качественные вопросы дифференциальных уравнений (зависимость решений от параметров и начальных данных).

Тема 4. Системы дифференциальных уравнений

Аудиторное изучение:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Нахождение интегрируемых комбинаций.

Самостоятельное изучение: Системы линейных однородных уравнений.

Тема 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Аудиторное изучение: Общие сведения. Постановка задачи. Задача Коши. Метод Эйлера. Исправленный и модифицированный методы Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Метод Адамса. Оценка погрешностей и выбор шага.

Самостоятельное изучение: Методы Эйлера и Руте-Кутта для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Содержание семинарских занятий

Тема 1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Семинарское занятие –2 часа.

План

1.  Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений: порядок уравнения, общее и частное решение, произвольные постоянные, интегральные кривые.

2.  Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений, изоклины.

3.  Условие Липшица.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Семинарское занятие –4 часа.

План.

1.  Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы.

2.  Уравнения с разделяющимися переменными.

3.  Задача Коши.

4.  Однородные дифференциальные уравнения

5.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Семинарское занятие –4 часа.

План.

Семинарское занятие –4 часа.

План.

1.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

2.  Метод Бернулли, Лагранжа.

3.  Лагранжа и Клеро.

4.  Решение задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Семинарское занятия – 2 часа.

План.

1.  Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования и единственности.

2.  Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Семинарские занятия – 8 часов.

План.

1.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3.  Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения.

4.  Уравнения Эйлера.

5.  Контрольная работа.

Тема 4. Системы дифференциальных уравнений.

Семинарское занятие - 6 часов.

План.

1.  Нормальная система дифференциальных уравнений.

2.  Решение линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Тема 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Семинарское занятие - 2 часа.

План.

1.  Постановка задачи. Задача Коши.

2.  Метод Эйлера.

3.  Метод Рунге-Кутта.

МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ

Дифференциальные уравнения первого порядка

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1).

4). 5).

6). 7). 8)..

2. Найти общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

1). ; 2). ;

3).

4). 5) ;

6). 7).

8). .

3. Найти решение задачи Коши для дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
10).
11).
12).
13).
14).
15).
16).
17). ;
18).

4. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1). ; 2). 3).

4). 5).6).

7). 8).

5. Решить линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8)

Дифференциальные уравнения второго порядка

1.  Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1). ; 2).

3). 4). 5). ;

6). 7).

8).

2.  Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

1).
2).
3).
4).
6).
7).
8).
9).

10). .

3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка [a, b] один раз с шагом h=0.2, другой – с шагом 0.1 методами Эйлера, Эйлера–Коши и методом Рунге-Кутта. Оценить погрешность численного решения. Сравнить численное решение с точным. , , , .

Примерный вариант контрольной работы №1

Решить задачу Коши и дифференциальные уравнения:

Примерный вариант контрольной работы №2

Решить задачу Коши и дифференциальные уравнения:

Вопросы к экзамену

1.  Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения.

2.  Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

3.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

4.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной. Метод Бернулли.

5.  Уравнения Бернулли и Риккати.

6.  Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

7.  Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

8.  Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

9.  Уравнения Лагранжа и Клеро.

10. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения.

11. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Простейшие случаи понижения порядка.

12. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка, основные понятия.

13. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка и основные свойства его решений.

14. Определитель Вронского линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка и его основные свойства.

15. Формула Остроградского-Лиувилля.

16. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Общее решение.

17. Дифференциальных уравнениях n-го порядка. Понижение порядка в дифференциальных уравнениях n-го порядка.

18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

19. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Принцип суперпозиции.

20. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации постоянных.

21. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.

22. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера.

23. Системы дифференциальных уравнений (общие понятия).

24.  Системы дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации.

25.  Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению высокого порядка.

26.  Графическая интерпретация численного решения дифференциального уравнения.

27.  Метод ломанных Эйлера.

28.  Графическая интерпретация метода Эйлера и усовершенствованного метода Эйлера.

29.  Метод Рунге — Кутта.

Методические рекомендации преподавателю:

При проведении практических занятий по математическому анализу рекомендуется:

§  уделять внимание разбору теоретических задач, предлагаемых на лекциях и на семинарских занятиях;

§  уделять внимание краткому повторению теоретического материала, который используется при решении упражнений и задач;

§  осуществлять регулярную проверку домашних заданий;

§  ставить проблемные вопросы, по возможности использовать примеры и задачи с практическим содержанием;

§  использовать при проведении практических занятий активные методы обучения;

§  развивать математическую интуицию у студентов.

Методические указания студентам:

Учиться преодолевать самый высокий уровень непонимания материала («непонятно, что непонятно»).

При разборе примеров в аудитории или при выполнении домашних заданий целесообразно каждый шаг обосновывать теми или иными теоретическими положениями.

При изучении теоретического материала не задерживать внимание на трудных и непонятных местах, смело их пропускать и двигаться дальше, а затем возвращаться к тому, что было пропущено (часто последующее проясняет предыдущее).

При чтении учебников и лекционных материалов активно отмечать карандашом непонятные места. Карандаш легко стирается, когда вопрос можно снять.

С первых студенческих дней конструировать собственный стиль понимания сути изучаемого материала. Математические дисциплины в этой ситуации являются наиболее успешным полигоном.

Самостоятельная работа студентов. Аудиторная самостоятельная работа студентов по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Она включает: текущие консультации; коллоквиум как форма контроля освоения теоретического содержания дисциплины (в часы консультаций); прием и разбор домашних заданий (в часы практических занятий).

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Она включает: формирование и усвоение содержания конспекта лекций, а также самостоятельное изучение отдельных вопросов на базе рекомендованной преподавателем учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки); написание рефератов; подготовка к выступлению на конференции; подготовка к семинарам, их оформление; выполнение микроисследований; выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач, проведения типовых расчетов, расчетно-компьютерных и индивидуальных работ по отдельным разделам содержания дисциплины; компьютерный текущий самоконтроль и контроль успеваемости.

Для того, чтобы заработать то количество баллов, которое вы видите в тематическом плане дисциплины «Дифференциальные уравнения» по каждой теме, вам необходимо сделать задание по данной теме на оценку «отлично». В противном случае преподаватель имеет право снять несколько баллов. Снять баллы преподаватель может и за пропущенные семинарские или лекционные занятия.

Баллы, характеризующие успеваемость студента по дисциплине, набираются им в течение всего периода обучения за изучение дидактических единиц.

При выборе критериев оценки освоения студентом программы дисциплины в обязательном порядке учитывается: выполнение программы в части лекционных, практических занятий; выполнение предусмотренных программой аудиторных и внеаудиторных контрольных и иных письменных работ. Преподаватель осуществляет текущий контроль и выставляет рейтинговый балл по каждой контрольной точке модуля.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине (за один семестр), равна 100. Студент, набравший менее 60 баллов получает итоговую оценку – неудовлетворительно, от 61 до 75 – удовлетворительно, от 76 до 90 - хорошо, 91 и выше баллов - отлично.

Методические указания студентам-заочникам:

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институт организует чтение лекций, практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации.

Во время сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала.

В процессе изучения дисциплины математика студент должен выполнить контрольную работу. Рецензия на работу позволяет студенту судить о степени усвоения им соответствующих разделов математики, указывает на имеющиеся пробелы, помогает сформулировать вопросы для консультации. Зачет по контрольной работе выставляется по результатам рецензирования и собеседования. Перед собеседованием студент обязан исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом. Зачет по контрольной работе является обязательным для допуска к сдаче экзамена, который предусмотрен учебным планом.

Завершающим этапом изучения курса является сдача экзамена в соответствии с учебным планом. На экзамене выясняется усвоение основных теоретических и прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. При подготовке к зачету учебный материал рекомендуется повторять по учебнику и конспекту.

4. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ дисциплины

В учебном процессе используются стандартно оборудованные лекционные аудитории для проведения лекций и семинарских занятий, компьютерный класс, мобильный класс на ноутбуках. Совместно с данным оборудованием используются мультимедийный видеопроектор, интерактивная доска и интерактивная панель. В компьютерном классе должны быть установлены средства MS Office: Word, Excel и др.

Мобильные классы на ноутбуках используется в учебно-образовательной деятельности, как для учебных занятий, так и для организации доступа к ресурсам корпоративной сети и Internet на всей территории РИ АлтГУ. Все компьютеры объединены в единую локальную вычислительную сеть и имеет доступ в Интернет.

5. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

Основная литература

1.  Бибиков, обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб. пособие, 2-е изд. / . – Спб.: Лань, 2011. – 304 с. (Учебник для вузов. Специальная литература)

2.  Демидович, уравнения: учеб. пособие /, . – Спб.: Лань, 2008. – 288с.

3.  Треногин, дифференциальные уравнения : учебник для вузов по физико-математическим, техническим, естественным и экономическим специальностям / . – М. : Физматлит, 2009 . – 312 с.

Дополнительная литература

7.  Виноградова, и упражнения по математическому анализу: Ч.2.Дифференциальное и интегральное исчисление / . - М.: Дрофа, 2c

8.  Данко, математика в упражнениях и задачах В 2ч.: Ч.2: учебное пособие для вузов / , , Т. Я Кожевников. -7-е изд. испр.- М.: Оникс; Мир и Образование, 20с.

9.  Егоров, дифференциальные уравнения с приложениями. / .- М.: ФИЗМАТЛИТ, 200с.

10. Лаврентьев, уравнения: учеб. пособие / . - Барнаул: АГУ, 1c.

11. Лунгу, К. Н., Сборник задач по высшей математике 2 курс / - , , Д. Т Письменный, Ю. А Шевченко. - М.: Айрис-пресс, 20с.

12. Матвеев, уравнения : учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / . - М.: Просвещение, 1c.

13. Пискунов, Н. С Дифференциальное и интегральное исчисление. Т1 / . - изд.,стереотип.- М.: Интеграл-Пресс, 2c.

14. Пискунов, и интегральное исчисления. Т2 / . - М.: Интеграл-Пресс, 2c.

15. Подольский, задач по математике : учеб. пособие / , . - М.: Высш. шк., 1c.

16. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : учеб. пособие / . - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1c.

Базы данных, Интернет-ресурсы,

информационно-справочные и поисковые системы

17.  Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ "Математика", . – Режим доступа: //www. http://window. *****, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)

18.  Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс] Университетская библиотека on-line. Режим доступа:// http://www. *****/collection. phpid=24– Загл. с экрана (дата обращения 11.10.2012).

7.  Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс] Издательство Лань. Режим доступа:// http://e. /– Загл. с экрана (дата обращения 15.10.2012).

8.  Поисковые системы: Google, Yandex, Rambler.