предел последовательности

Рассмотрим последовательность .

Определение. Число называется пределом последовательности , если

для , что выполняется неравенство :

.

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу (или стремится к ). Говорят также, что последовательность сходится к .

Если обозначить , то тогда и только тогда, когда –б. м.п.

Таким образом , если – б. м.п. Следовательно, бесконечно малые последовательности – это те последовательности, которые стремятся к нулю.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство равносильно неравенствам или , которые показывают, что элемент находится в -окрестности точки .

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется натуральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки . Вне окрестности могут оказаться лишь конечные члены данной последовательности.

Определение. Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Определение. Число не является пределом последовательности , если для . В этом случае пишут .

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: допустим обратное, например что и .

означает, что , что , а

означает, что , что .

Пусть и . Тогда оба неравенства выполняются одновременно: , т. е. пришли к противоречию.

2. Любая сходящаяся последовательность ограничена, т. е. если последовательность имеет предел, то данная последовательность обязательно должна быть ограниченной.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Доказательство: пусть имеем последовательность , имеющую предел , т. е. . Доказать, что она ограниченна. Рассмотрим бесконечно малую последовательность . Пусть , т. к. ( – ограниченная последовательность). Пусть , тогда . Следовательно, последовательность – ограниченная.

Ограниченность последовательности – необходимое но недостаточное условие для сходимости. означает, что , что выполняется неравенство: . Если , что для , что , тогда не стремится к числу .

Например: последовательность ограниченная, но не имеет предела (доказательство привести самостоятельно).

Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Рассмотрим последовательности и .

1)если , а любое постоянное число, то .

Доказательство: (б. м.п.); т. е доказать, что , означает, доказать что – б. м.п.: – б. м.п.

2)если , а , то .

Доказательство: (б. м.п.) и (б. м.п.) и пусть ; т. е доказать, что , означает, доказать что – б. м.п.: – б. м.п.

3)если , а , то .

Доказательство: (б. м.п.) и (б. м.п.) и пусть ; т. е доказать, что , означает, доказать что– б. м.п.: – б. м.п.

б. м.п. б. м.п. б. м.п.

4) если , а и , тогда что и .

Доказательство: пусть . Обозначим , тогда что . Рассмотрим и докажем, что – б. м.п.:

– б. м.п.

огр. п. б. м.п.

свойства последовательностей, выраженных неравенствами

Рассмотрим последовательности , и .

1.Если , и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .

Доказательство: допустим, что . Из равенств и следует, что для что при всех будут выполняться неравенства и т. е. и . Возьмем Тогда: т. е. и т. е. Отсюда следует, что . Это противоречит условию . Следовательно, .

2.Если , и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

Доказательство: возьмем произвольный .

что при всех будут выполняться неравенства ; (1)

что при всех будут выполняться неравенства ; (2)

Если обозначить через , то (1) и (2) выполняются одновременно и можно написать следующие неравенства: , следовательно, имеет предел и .