Введение (стр. 8 )

и называется двусторонним.

Функция f(t) в соответствии с формулой (8.7) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических составляющих. У этих составляющих в отли­чие от гармоник периодических функций амплитуды бесконечно малы, а частоты принимают все значения в диапазоне 0—. Непериодическая функция имеет непрерывный (сплошной) спектр, тогда как спектр периодической функции является дискретным.

Функцию , определяемую по соотношению (8.6) или (8.8), называют спектральной функцией, спектральной характеристикой или спектральной плотностью. Модуль F(w) и аргумент j(w) функции F(jw) называют соответственно амплитудной и фа­зовой спектральными характеристиками.

9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

9.1. Основные понятия и определения

Если физическое состояние каждой точки в некото­ром пространстве характеризуется присущим данной точке значением той или иной векторной (или скаляр­ной) величины, то говорят, что в этом пространстве существует векторное (или скалярное) математическое поле.

Поток вектора. Представим себе некоторый объём в пространстве, ограниченный замкнутой поверхностью. Малый элемент этой поверхности можно считать плоским и изобразить в виде вектора ds, нормального к нему. Положительное направление вектора элемента поверхности обычно свя­зывается правилом правоходового винта с направлением обхода кон­тура, ограничивающего элемент. Будем считать положи­тельным направление обхода против часовой стрелки, если смотреть на элемент поверхности снаружи (рис.9.1). Пусть рассматриваемый объём находится в поле векто­ра Е; в пределах очень малого элемента поверхности вектор Е можно считать постоянным.

Скалярное произведение Eds=Eds cos(E, ds) называется элементарным потоком вектора Е через площадку ds. Интеграл этой величины, взятый по всей поверхности, окружающей рассматриваемый объём, Eds выразит полный поток вектора, выходящий из объёма.

Поток является скалярной величиной. Вычисление потока может производиться также и через какую угодно незамкну­тую поверхность.

Векторное поле можно оха­рактеризовать системой линий поля, проведенных так, что век­тор в любой точке будет на­правлен по касательной к та­кой линии (рис.9.2). Такие линии называются силовыми линиями. Густота силовых линий поля может быть выбрана так, чтобы в известном масштабе соответствовать значению вектора. В таком случае поток вектора можно условно представить количеством линий поля, пронизывающих рассматриваемую поверхность.

Дивергенция вектора. Полный поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую малый объём, может быть равен нулю или же отличаться от нуля.

В первом случае в объёме не содержится ни источника, ни стока (некоторого физического объекта, в котором линия поля могла бы начинаться или заканчиваться). Ограничивающая объём замкнутая поверхность может, однако, оказаться дважды пронизан­ной линией поля, идущей от источника, расположенного вне данного объема, к стоку, также находящемуся вне его.

Во втором случае внутри объёма находится либо источник, либо сток.

Предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность к величине ограничиваемого ею объёма при бесконечном уменьше­нии последнего, называется дивергенцией или расходи­мостью вектора

.

Дивергенцию вектора в какой-либо точке можно условно охарактеризовать числом линий поля, начинаю­щихся или заканчивающихся в малом объеме, центриро­ванном в данной точке.

Дивергенция является скалярной величиной и она положительна, если линия поля начинается в малом объё­ме, или отрицательна, если линия поля в этом объёме заканчивается.

Физическая сущность понятия дивергенции поясняется следующими примерами: на рис. 9.3,а показан отрезок трубы, по которой протекает вода. Рассмотрим векторное поле скорости течения воды v. Поток вектора скорости через какую-либо поверхность равен объёму жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Поток через замкнутую поверхность s равен нулю, поскольку количество жидкости, находящейся в объёме, ограниченном такой поверхностью, неизменно. Это следует из свойства прак­тической несжимаемости воды. Следовательно, дивергенция скорости течения воды в трубе равна нулю.

На рис. 9.3,б показан отрезок трубы, закрытой с левого конца. Вначале труба была закрыта крышкой и с правого конца, а внутрь трубы накачали газ до некоторого давления выше атмосферного. Затем крышку с правого конца трубы сняли и сжатый газ стал выходить в атмосферу. Если движение газа в трубе представить векторным полем скоростей v, то дивергенция (расходимость) скорости не будет равна нулю, так как общее количество газа в каком-нибудь выделенном внутри трубы объёме s, очерченном пунктирной линией, с течением времени не остается постоянным, а уменьшается вследствие расширения газа.

Циркуляция вектора. Представим некоторую площадь S, ограниченную контуром Г, и равную сумме площадей S1 и S2, ограниченных контурами Г1 и Г2 (рис.9.4). Вектор а направлен по касательной к элементу пути dl. Циркуляцией вектора а называют величину

.

Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляции по контурам Г1 и Г2, равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Действительно, циркуляция C1 по контуру, ограничивающему поверхность S1, может быть представлена как сумма интегралов

. (9.1)

Первый интеграл берется по участку I внешнего контура, вто­рой — по общей границе поверхностей S1 и S2 в направлении 2—1. Аналогично, циркуляция С2 по контуру, ограничивающему по­верхность S2, равна

. (9.2)

Первый интеграл берется по участку II внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей S1 и S2 в направлении 1—2. Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверх­ность S, может быть представлена в виде

. (9.3)

Вторые слагаемые в выражениях (9.1) и (9.2) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается рав­ной выражению (9.3). Таким образом,

.

Доказанное соотношение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить произвольную поверхность S на большое число элементарных поверхностей DS (рис.9.5), то циркуляция по контуру, ограничивающему S, может быть представлена как сумма элементарных циркуляции DС по контурам, ограничиваю­щим DS:

.

Ротор (вихрь) вектора. Предел отношения полученной величины циркуляции к величине площадки DS, при беспредельном уменьшении площадки, является вектором, который обозна­чается символом rot а и называется ротором (вихрем) вектора а

.

Знак ротора определяется правилом правоходового винта. Если винт поворачивать в плоско­сти контура циркуляции в на­правлении, показанном на рис.9.5, то поступательное движение за плоскость чертежа бу­дет указывать направление ротора.

9.2. Потенциальные и вихревые поля

Написание формул векторного анализа зна­чительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) и но­сящий название оператора набла или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами д/дх, д/ду и д/дz , который выражается в прямоугольной декартовой системе координат записью

.

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор на скаляр, например, потенциал j, то получится вектор

,

который представляет собой градиент потенциала j.

Если вектор умножить скалярно на вектор а, получится скаляр

,

который есть не что иное, как дивергенция вектора а. Наконец, если умножить на а векторно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, получится вектор

.

Таким образом, существует два способа обозначений градиен­та, дивергенции и ротора:

, , .

Векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю. Этот вывод можно распространить и на «вектор»

.

Поэтому ротор градиента скалярной величины всегда равен нулю

.

Векторная величина М, не имеющая ротора, является градиентом некоторого скаляра, обычно называемого скалярным потенциалом поля вектора М. Отсутствие ро­тора показывает, что линии поля не образуют замкнутых кривых (вихрей). Каждая линия принципиально разом­кнута, начинаясь у некоторого «источника» и заканчиваясь у некоторого «стока». В точках расположения источников и стоков дивергенция вектора не равна нулю. Это — второе условие существования безвихревого (потенциального) поля.

Итак, потенциальное поле характеризуется: 1) отсутствием ротора; 2) наличием дивергенции, хотя бы в не­которых точках; 3) наличием скалярного потенциала:

; ; .

Примером безвихревого (потенциального) поля является электро­статическое поле, где источниками и стоками являются соответственно положительные и отрицательные заряды.

Дивергенция ротора любого вектора всегда равна нулю

.

Отсутствие дивергенции является первым необходимым условием существования вихревого (соленоидального) поля.

Действительно, при М0 поле вектора М не имеет ни источников, ни стоков; линии поля нигде не начина­ются и не заканчиваются, т. е. представляют собой зам­кнутые кривые (вихри). Ротор вектора М не равен нулю, по крайней мере в ряде точек. Это — второе условие существования вихревого поля. Вектор М нельзя представить как градиент скаляра. Иначе говоря, вихревое векторное по­ле не имеет скалярного потенциала.

Итак, соленоидальное вихревое поле характеризуется: 1) отсутствием дивергенции; 2) наличием ротора, хотя бы в некоторых точках; 3) отсутствием скалярного по­тенциала:

; .

Примером вихревого поля является магнитное поле в толще проводника с током, материал которого имеет конечное значение удельной проводимости.

Вихревое поле может быть охарактеризовано функцией, называемой векторным потенциалом (не существовавшей в случае потенциального поля).

Векторная величина В, не имеющая дивергенции, всегда может рассматриваться как ротор другого вектора А.

Если , то можно положить .

Вектор А называется векторным потенциалом поля вектора В.

В физических задачах обычно рассматриваются векторные величины, нигде не обращающиеся в бесконечность. Таков, например, вектор магнитной индукции В, значения которого всегда конечны.

Поэтому векторный потенциал магнитного поля А является непрерывной функцией, плавно изменяющейся при переходе от одной точки к другой, соседней.

9.3. Основные величины электростатического поля

Электромагнит­ное поле является особым видом материи, оно является носителем энергии и обладает характерными для него электрическими и маг­нитными свойствами.

Электростатическое поле представляет собой частный вид элек­тромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдате­лю и неизменных во времени.

Электростатическому полю присуща способность воздействовать на помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда.

В основу определения электростатического поля было положе­но механическое его проявление. Оно нашло свое выражение в известном из курса физики законе Кулона (1785).

Закон Кулона. Два точечных заряда q1 и q2 в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой F, прямо пропорциональной произведению зарядов q1 и q2 и обратно пропорциональной квадра­ту расстояния R между ними. Эта сила направлена по линии, со­единяющей точечные заряды. Если заряды имеют одинаковые зна­ки, то они стремятся оттолкнуться друг от друга, а если заряды имеют противоположные зна­ки, то они стремятся сблизиться:

,

где R0 – единичный вектор, направленный по линии соединяющей заряды (рис.9.6), а - электрическая постоянная.

Главными характеристиками электростатического по­ля являются напряженность поля Е (в вольтах на метр) и потенциал j (в вольтах). Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому с отрицательным знаком (рис.9.7),

.

Если в электростатическое поле поместить настолько малый (не­подвижный) положительный заряд q, что он своим присутствием не вызовет сколько-нибудь заметного перераспределения зарядов на телах, создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к величине заряда q и определяет напряженность поля в данной точке

Cледовательно, напряженность численно равна силе, действующей на единичный заряд.

В том случае, когда поле создается несколькими зарядами (q1, q2, q3,….) напряженность поля равна геометрической сумме напряженностей от каждого из зарядов в отдельности:

,

т. е. при расчёте электростатического поля применим метод наложения.

Линейный интеграл напряженности электростатического поля по произвольному пути между двумя точка­ми М и N равен разности потенциалов этих точек

.

От формы пути величина интеграла не зависит. Очевидно, что при замкнутой форме пути линейный интеграл, т. е. циркуляция вектора Е, равен нулю; этим доказывается безвихревой характер электростатического поля.

Величина напряжённости поля важна для оценки так называемой электрической прочности изоляционных материалов. Например, для воздуха критическая напряжённость электростатического поля равна ЕКР=3106 в/м. При превышении этого значения наступает пробой, т. е. воздух теряет свойства изолятора.

Значения потенциала j и напряжённости поля Е зависят от свойств среды; это обстоятельство учитывается посредством абсолютной диэлектрической проницаемо­сти eа, равной произведению

,

где e – относительная диэлектрическая проницаемость.

В некоторых случаях желательно иметь оценку действия зарядов вне зависимости от свойств среды. Это достигается введением в расчеты вектора электрического смещения (электрической индукции)

.

Размерность вектора D – к /м2.

Ёмкость. Если два каких-либо проводника разделены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды q, то в пространстве между ними создается элект­ростатическое поле. Пусть разность потенциалов между телами равна U.

Под емкостью С между двумя телами, на которых имеются рав­ные и противоположные по знаку заряды, принято принимать абсо­лютную величину отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами U

.

Из определения ёмкости следует единица её размерности 1к/в = 1 фарада (ф). Это очень крупная единица, и потому на практике пользуются более мелкими кратными ей единицами: микрофарадой (мкф) и пикофарадой (пф).

Устройства, предназначенные для получения определенной вели­чины емкости, называют конденсаторами. Однако, емкостью обладают не только устройства, соз­данные специально для её получения. Ёмкостью обладают всякие два проводящих тела, разделенных диэлектриком. Например, ёмкость двухпроводной линии равна: , де d – расстояние между проводами, а r – радиус проводов.

Теорема Гаусса. Из опыта известно, что если точечный заряд q поместить в центр сферы радиу­сом r, то числовое значение векто­ра смещения D в любой точке сферической поверхности будет одним и тем же и равным . Направлени вектор смещения по нормали к поверхности, элемент которой равен:

,

где dW – телесный угол, под которым видна из центра элементарная площадка ds. Вектор площади нормален к ней и направлен наружу.

Полный поток вектора смещения, пронизывающий сферическую поверхность

.

Если внутри некоторой замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то, применяя принцип наложения, найдем, что полный поток, пронизывающий замкнутую поверхность, равен алгебраической сумме заря­дов, заключенных внутри неё

. (9.4)

Это — интегральная форма теоремы Гаусса.

Введем понятие объемной плотности заряда r (т. е. заряда, приходящегося на единицу объёма [к/М3]). Сумма всех зарядов, стоящих в правой части выражения (9.4), превратится в интеграл , а левую часть заменим тоже объёмным интегралом на основании теоремы Остроградского-Гаусса [Теорема Остроградского—Гаусса (теорема дивер­генции) гласит, что интеграл дивергенции вектора, взятый по объёму, можно заменить ин­тегралом самого вектора, взятым по зам­кнутой поверхности, окружающей этот объём ]

.

Обa интеграла взяты по одному и тому же объёму, занимаемому полем. Равенство справедливо при любой величине и конфигурации этого объёма.

Поэтому подынтегральные выражения равны

.

Это — дифференциальная форма теоремы Гаусса.

9.4. Основные величины поля электрического тока

Электрическим полем будем называть частный случай электромагнитного поля, распространяющегося внутри объёма электропроводящих сред.

Ток проводимости. Если под воздействием внешних источников в проводящей среде (металлических проводниках, земле, жидкостях и т. д.) создано электрическое поле, то в ней будет про­текать электрический ток. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц под действием элект­рического поля.

Носителями зарядов в металлах являются свободные электроны, носителями зарядов в жидкостях являются ионы.

Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ио­нов в жидкости под действием электрического поля принято назы­вать током проводимости.

Плотность тока проводимости d — векторная величина, направленная по движению положительных зарядов. Значение d выражает количество заря­дов, проходящих в течение одной секунды через малую площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов, отнесенное к единице её поверхности. Размерность плотности тока .

Величиной электрического тока через какую-либо поверхность является поток вектора плотности тока, взятый по этой поверхности,

.

Ток является величиной скалярной.

Ток проводимости понимается как движение «облака» свободных зарядов в проводящей среде под действием сил электрического поля сквозь ионную решётку, препятствующую движению зарядов. Групповая скорость такого облака зарядов в металлических проводниках бывает порядка нескольких сантиметров в секунду, а скорость отдельных заряженных ча­стиц, составляющих облако, может быть довольно большой, порядка до 106 м/сек.

Представим себе малый парал­лелепипед с ребром Dl вдоль направления движения за­рядов, имеющий площадь попереч­ного сечения Ds (рис.9.8). Движение зарядов происходит под дейст­вием электрического поля. Вектор напряженности поля Е совпадает по направлению с век­тором плотности тока проводимости dпр.

Выберем размеры параллелепипеда Dl и Ds настолько малыми, чтобы значения Е и dпр в его пределах можно было считать постоянными.

Тогда величина тока

.

Напряжение, действующее вдоль ребра Dl,

.

Проводимость параллелепипеда определится из соотношения

. (9.5)

С другой стороны проводимость можно определить по известной формуле

, (9.6)

где r – удельное сопротивление [], а g – удельная проводимость материала [ ] ().

Сравнение формул (9.5) и (9.6) приводит к зависимости, называемой законом Ома в дифференциальной форме,

.

Закон Ома применим к металлическим и многим жидкостным проводникам с постоянным значением удельной проводимости, однако его нельзя применять к нелинейным средам, как, например, карборунд, уголь.

Рассмотрим некоторый объём внутри проводника (рис. 9.9), окруженный замкнутой поверхностью S. Через одну часть этой поверхности S1 заряды входят в объём, через другую её часть S2 такое же количество зарядов выходит из объёма. В условиях установившегося режима общее количество зарядов, заключённых в рассматриваемом объёме, постоянно.

Следовательно, поток вектора плотности тока проводимости по замкнутой поверхности равен нулю

.

Применяем теорему Остроградского-Гаусса

.

Поскольку интегриро­вание проводится по объёму конечных размеров, причём равенство нулю сохраняется при любой конечной величине и форме объёма, то подынтегральное выражение должно равняться нулю

. (9.7)

Это первый закон Кирхгофа (точнее, закон Кирхгофа—Ленца) в дифференциальной форме. Он выражает то, что линия поля плотности установившегося тока проводимости нигде не начинаются и не заканчиваются, т. е. всегда замкнуты; иначе говоря, поле плотности тока проводимости имеет либо вихревой, либо смешанный характер.

Уравнение (9.7) называется уравнением непрерывности.

Ток смещения. Допустим, что плотность зарядов r внутри объёма (рис. 9.9) возрастает во времени со скоростью дr/дt. Теперь дивергенция плотности тока проводимости не рав­на нулю, так как каждый новый элементарный заряд, входящий в объём, является концом или началом линии поля (в зависимости от знака заряда). Поток вектора плотности тока проводимости через замкнутую поверх­ность, ограничивающую объём, теперь будет равен уве­личению количества зарядов в объёме

.

Знак минус указывает, что при возрастании количества зарядов внутри объёма поток вектора плотности тока, входящий в объём, больше выходящего.

Заменяем левый интеграл по теореме Остроградско­го—Гаусса

.

Оба равных интеграла взяты по одному и тому же объёму. Равенство сохраняется при любой конечной величине и форме объёма, следовательно, подынтеграль­ные выражения равны друг другу

.

Применяя теорему Гаусса в дифференциальной форме

.

Поскольку порядок проведения операций дифференцирования не играет роли, меняем местами символ дифференцирования по времени и символ дивергенции; последний выносим за скобки

. (9.8)

Выражение (9.8) является более общей формой первого закона Кирхгофа. Второй член в скобках представляет собой плотность тока смещения: её величиной оценивается скорость изменения по времени электриче­ского поля, сопровождаемого таким же магнитным эф­фектом, как и ток проводимости.

Делаем замену D=eaE и, используя закон Ома в дифференциальной форме, получаем

.

Выражение в скобках представляет собой полную плотность тока

.

Её поле является вихревым или смешанным, так как дивергенция равна нулю.

Линии полной плотности тока не имеют поэтому ни начал, ни концов, т. е. всегда образуют замкнутые кривые. Простым примером служит цепь зарядки конденсатора от источника постоянной э. д.с. Ток проводимости в соединительных проводах, плотность которого dпр, доставляет заряды из источника на обкладки конденсатора, а в диэлектрике конденсатора нарастает электрическое поле со скоростью дD/дt, равной плотно­сти тока смещения dсм.

9.5. Основные величины магнитного поля

Магнитная индукция В — векторная величина, определяемая из закона Ампера о силе взаимодействия dF линейного элемента тока I dl с исследуемым магнитным полем (рис. 9.10),

.

Величина В измеряется в н/а м = в ceк/м 2= тл. В физике часто оперируют с единицей, в 10000 раз меньшей, называемой гауссом.

Для большей наглядности в описание магнитных процессов вводят понятие линий магнитной индукции, т. е. воображаемых линий в пространстве, проведённых так, что касательная к линии в каждой точке совпадает по направлению с вектором магнитной индукции.

Интеграл вектора магнитной индукции по некоторой поверхности называется магнитным потоком через эту поверхность

.

Магнитный поток измеряется в вольт-секундах (веберах). Он является скалярной величиной. Величину магнитной индукции В можно рассматривать как плотность магнитного потока.

Закон Био-Савара. Экспериментальная зависимость между током и создаваемой им напряжён­ностью магнитного поля впервые была получена Био и Саваром в 1820 г. Если в замкнутом линей­ном контуре протекает ток I, то по закону Био-Савара элементарный вектор магнитной индукции в некото­рой точке пространства (в „точке наблюдения"), определяемый элементом тока равен

, (9.9)

здесь dl — длина элемента проводника (рис.9.11); направление элемента dl совпадает с положительным направлением тока; 1r — единичный вектор, направленный из указанного элемента провод­ника в точку наблюдения; r — расстояние между отрезком проводника и точкой наблюдения.

В формулу (9.9) входит абсолютная магнитная проницаемость mа, характеризующая среду. Для вакуума и воздуха значение абсолютной магнитной проницаемости практически принимается равным магнитной постоянной

Величина m0 равна отношению линейного интеграла вектора магнитной индукции по замкнутому контуру в вакууме к электрическому току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Группа так называемых ферромагнитных материалов, играющих первостепенное значение в электромашиностроении и аппаратостроении (сталь, никель, кобальт и их сплавы), обладает иными значениями абсолютной магнитной проницаемости; обычно её выражают так:

,

где m — относительная магнитная проницаемость, т. е. безразмерный коэффициент, показывающий, во сколько раз магнитная проницаемость данного материала боль­ше магнитной постоянной.

У некоторых материалов (сплавы железа с никелем, называемые пермаллоями, или железо, отожженное в водороде) величина m при определённых условиях дости­гает сотен тысяч.

Полная величина магнитной индукции в данной точ­ке выражается интегралами

.

Интегрирование производится в первом случае по всему замкнутому контуру тока, состоящему из эле­ментов Idl, а во втором случае — по всему объёму V, занимаемому током, т. е. заполненному элементами .

Если хотят охарактеризовать магнитный эффект тока I вне зависимости от среды, то рассматривают векторную величину Н=В/mа, называемую напряжённостью магнитного поля и измеряемую в а/м.

Линия в пространстве, к которой вектор Н касателен в любой точке, называется линией напряжённости маг­нитного поля. В неферромагнитной среде эти линии совпадают с линиями магнитной индукции.

Основной закон магнитного поля — закон полного тока.. Закон полного тока выражает те же опытные факты, что и закон Био-Савара, однако в форме, значительно более удобной для практики. Формулируется он так: в любом магнитном поле линейный интеграл от напряжённости магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному то­ку, проходящему через любую поверхность, ограниченную этим контуром, т. е.

(9.10)

или

.

Это интегральная форма первого уравнения Максвелла.

Под полным током понимают весь ток (ток проводимости и ток смещения), пронизывающий контур интегрирования.

Интегральная форма закона полного тока применяется, когда может быть использована симметрия в поле. Так, например, нап­ряжённость поля в некоторой точке А в поле уединённого прямого провода с током I (рис.9.12) по закону полного тока определится следующим образом: проведём через точку А окружность радиуса R в плоскости, перпендикулярной оси провода, так что центр её находится на оси провода. В силу симметрии напряжённость поля во всех точках окружности численно одна и та же. Направление нап­ряжённости совпадает с касательной к окружности. Поэтому

.

Таким образом, с увеличением радиуса R напряжённость магнитного поля убывает по гиперболическому закону H=I/2pR.

Преобразуем по теореме Стокса [] левую часть уравнения (9.10), выражающего закон полного тока:

,

cледовательно

или

.

Последнее выражение представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

В любом месте пространства, где существует ток проводимости или ток смещения (или оба тока совместно), имеется вихревое (имеющее ротор) магнитное поле.

Закон Фарадея. Этот закон называется законом электромагнитной индукции. Он утверждает, что в цепи, охватывающей изменяющийся во времени магнитный поток, возникает э. д.с., пропорциональная скорости изменения потока, т. е.

. (9.11)

С другой стороны э. д.с. е может быть выражена как линейный интеграл напряжённости электрического поля

. (9.12)

Применяя к (9.12) теорему Стокса, получим

. (9.13)

Из (9.11) и (9.13) окончательно имеем:

.

Это есть второе уравнение Максвелла, представляющее собой диффе­ренциальное выражение закона электромагнитной индукции. Физическое содержание второго уравнения Максвелла состоит в том, что в пространст­ве, где магнитная индукция изменяется во времени, появляется напряжен­ность электрического поля. Направление линий напряженности электрического поля связано с изменением магнитной индукции правилом левоходового винта.

9.6. Передача энергии в электрических цепях.

Передача энергии на расстояние в электрических цепях осуществляется посредством электромагнитного поля. Примерами служат распространение света и радиоволн.

Исследование таких процессов передачи энергии производится на основе учения о движении энергии, разработанного к 1874 г. Аналогичное исследование электромагнитного поля было сделано Пойнтингом в 80-х годах XIX в.

Вектор Пойнтинга (вектор потока или излучения энергии) определяется векторным произведением векторов Е и Н: П = [EH], где E и H векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно, определяет энергию, проходящую в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную его направлению. Размерность этого век­тора — отношение мощности к единице поверхности, т. е. вт/м2. Мощность, проходящая через элементарную площадку dS равна ПdS (рис.9.13,а, б).

Энергией обладают не заряды на проводниках, а электрическое поле, распределённое в разделяющем их диэлектрике. Мощность передаваемой энергии определяется не непосредственно током или напряжением, а связанным с ними потоком вектора Пойнтинга.

Пусть два параллельных провода проходят в направлении, перпенди­кулярном плоскости чертежа (рис.9.14), и при постоянном напряжении U между этими проводами ток I в верхнем проводе направлен за плоскость чертежа, а в нижнем — наоборот; в конце линии включена нагрузка. Передаваемая от генератора мощность равна

,

а напряжённость электрического поля между проводами

направлена от верхнего провода к нижнему.

При заданном расположении проводов можно в первом приближении, пренебрегая напряжённостью поля в остальной части пространства, счи­тать, что между параллельными поверхностями проводов магнитное поле однородно и Hb=I (закон полного тока).

Вектор Пойнтинга П = [EH] параллелен оси проводов и направлен к потребителю энергии. Его величина равна произведению абсолютных значений обоих векторов, так как вектор Е перпендикулярен Н. Поток вектора П по всему сечению S = bа при этом совпадает с прежним выражением для передаваемой мощности

.

Из произведения силы тока и напряжения получается то же значение мощности, что и при интегрировании вектора Пойнтинга. Таким образом, UI математически тождественно произведению ЕНS, так как эти выраже­ния получаются одно из другого. Однако, связанные с этими выражениями физические картины совершенно различны. В первом случае мы представляем себе передачу энергии примерно так, как проис­ходит перенос энергии текущей в трубе водой. Во втором случае, наоборот, поток энергии идет вне проводов, т. е. в диэлектрике. В случае идеальных проводников (проводник бесконечной проводимости) линии электрического поля везде нормальны к поверхности проводов; поток энергии непосредственно у поверхности проводов паралле­лен линии. Внутри идеального проводника не существует напряженности поля. Вследствие этого внутри проводника равен нулю и вектор потока энергии. Если проводники считать неидеальными, то в них должна существо­вать напряжённость поля, определяемая выражением Е = d /g. В этом случае линии электрического поля уже не перпендикулярны поверхности проводника, а несколько наклонены в направлении потока энергии (рис.9.15,а).

Найдем направление потока энергии внутри проводника, изоб­ражённого на рис.9.15,б и определим его численное значение. Вектор напря­жённости магнитного поля лежит в плоскости, перпендикулярной оси про­вода. Вектор напряжённости электрического поля внутри проводника совпа­дает с направлением провода, или, точнее говоря, с направлением плот­ности тока в нём. Поэтому вектор потока энергии П нормален к оси провод­ника и направлен внутрь, так как он перпендикулярен как Е, так и Н. В случае длинного одиночного провода на его поверхности

и .

При этом Е и Н взаимно перпендикулярны, поэтому

.

Это выражение даёт мощность, входящую в проводник через единицу его поверхности. Через поверхность отрезка проводника длиной l в единицу времени входит энергия:

.

Последнее равенство определяет джоулево тепло, выделяющееся в единицу времени в про­воднике длиной l .

Таким образом, показано, что через поперечное сечение проводника в аксиальном направлении энергия не протекает, так как она передается только по диэлектрику. Энергия, расходуемая для покрытия потерь в проводнике, входит снаружи (из диэлектрика) внутрь проводника перпенди­кулярно направлению его оси.

-

Литература, использованная при составлении

учебного пособия:

1. Бессонов основы электротехники.:М., «Высшая школа»,1973, 745 с. с ил.

2. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей. Под ред. , изд. 2-е перераб. и доп.:М., «Высшая школа», 1976, 544 с. с ил.

3. Говорков и магнитные поля, изд. 3-е перераб. и доп.:М., «Энергия», 1968, 488 с. с ил.

4. Теоретическая электротехника.:М., «Мир», 1964, 773 с. с ил.

5. Вычисления в MathCAD / . – Мн.: Новое знание, 2003. – 814 с.: ил.