Равнонапряженное армирование безмоментных металлокомпозитных оболочек вращения в условиях квазиоднородного деформирования при установившейся ползучести

УДК 539.376

Институт теоретической и прикладной механики им. СО РАН, г. Новосибирск

РАВНОНАПРЯЖЕННОЕ АРМИРОВАНИЕ БЕЗМОМЕНТНЫХ МЕТАЛЛОКОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ КВАЗИОДНОРОДНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ

Сформулирована задача равнонапряженного армирования трехслойных безмоментных оболочек волокнами постоянного поперечного сечения, работающих в условиях установившейся ползучести. Исследован случай квазиоднородного деформирования таких конструкций, обеспечивающий не только равнонапряженность арматуры, но и равнонапряженность связующего и строгую безмоментность тонких оболочек. Построен ряд аналитических решений осесимметричной задачи равнонапряженного армирования оболочек вращения. Показана возможность существования нескольких альтернативных решений поставленной задачи, которыми можно управлять за счет варьирования краевых значений плотностей армирования. Проанализированы конкретные решения.

При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций всегда много внимания уделяется удовлетворению требований безмоментного состояния в них. Так как в армированных оболочках обеспечить такое состояние можно, как правило, за счет управления структурой армирования, то для наиболее полного использования несущей способности силовых элементов – арматуры – целесообразно потребовать, чтобы армирующие волокна (проволоки) вдоль их траекторий были равнонапряжены. Кроме того, в [1] показано: в материале с равнонапряженной арматурой в первом приближении отсутствует вытягивание волокон из связующего, что дополнительно повышает эффективность таких структур.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При длительной эксплуатации изделия в случае статического термосилового нагружения подавляющую часть времени металлокомпозитная конструкция работает в условиях установившейся ползучести [2], поэтому актуальной является проблема равнонапряженного армирования (РА) тонких строго безмоментных оболочек, работающих в условиях установившейся ползучести всех фаз композиции, с учетом технологически важного условия постоянства поперечных сечений волокон. Изучению этого вопроса применительно к осесимметрично нагруженным оболочкам вращения посвящено настоящее исследование.

Рассмотрим тонкую трехслойную металлокомпозитную оболочку вращения симметричной относительно срединной поверхности структуры. Внутренний слой переменной или постоянной толщины армирован N семействами волокон (проволок), причем армирование может осуществляться по эквидистантным поверхностям, или же расстояния между элементарными армированными слоями изменяются пропорционально изменению . Структура армирования по толщине этого слоя является регулярной и квазиоднородной. Внешние изотропные слои, играющие, например, роль защитных покрытий, изготовлены из одного материала и имеют переменную или постоянную толщину каждый. Как обычно [3, 4], предполагается, что напряженное состояние во всех слоях является плоским, и оболочка подчиняется гипотезам Кирхгофа – Лява. Оболочка вращения рассматривается в криволинейной ортогональной системе координат ; поверхность совмещена со срединной поверхностью оболочки до деформирования; – осевая (меридиональная) и окружная координаты на срединной поверхности; переменная определяет расстояние от точек оболочки до срединной поверхности. Предполагается, что к рассматриваемому моменту времени деформации ползучести получили настолько значительное развитие, что по сравнению с ними можно пренебречь начальными упругими и пластическими деформациями [2].

Исследуются лишь осесимметрично нагруженные и закрепленные оболочки вращения, армирование которых также осуществляется осесимметрично, поэтому решение задачи РА не зависит от переменной .

Для формулировки и анализа рассматриваемой задачи РА строго безмоментных оболочек вращения в рамках геометрически линейной постановки необходимо использовать общеизвестные уравнения равновесия безмоментной теории [3, 4]:

(1)

(2)

связь между осредненными мембранными («цепными») напряжениями в слоях тонкой оболочки и тангенциальными усилиями [3, 4]

(3)

кинематические соотношения (используется теория течения [2]), связывающие скорости мембранных деформаций и параметров изменения кривизн срединной поверхности со скоростями перемещения точек этой поверхности [3]

(4)

(5)

условия совместности скоростей деформаций [3]

(6)

структурные соотношения во внутреннем слое (используется модель армированного слоя из [5]), связывающие осредненные мембранные напряжения в нем с напряжениями в связующем и волокнах k-го семейства :

(7)

определяющие уравнения в фазах композиции армированного слоя [2, 5]

(8)

(9)

(10)

определяющие уравнения для внешних изотропных слоев [2]

(11)

условия равнонапряженности арматуры k-го семейства

(12)

условия постоянства площадей поперечных сечений волокон k-го семейства, которые для тонкого слоя переменной толщины имеют вид [6]

(13)

(при армировании среднего слоя по эквидистантным поверхностям в (13) следует формально принять [6]).

Температура конструкции предполагается однородной (в противном случае пришлось бы решать связанные задачи определения РА-структуры и теплопроводности, что выходит за рамки настоящего исследования).

На кромках оболочки должны быть заданы общеизвестные статические и кинематические [3, 4] граничные условия, обеспечивающие отсутствие на кромках моментов и перерезывающих сил. (Не будем здесь подробно выписывать эти граничные условия, так как в каждой конкретной задаче, как правило, требуется самостоятельное проектирование подкрепляющих опор и колец, обеспечивающих безмоментное состояние на кромках [3, 4].) Кроме того, на кромке , на которой волокна k-го семейства входят в оболочку, необходимо в (13) задать краевое значение или ().

Решение задачи РА тонких оболочек должно удовлетворять физическим ограничениям [6]

(14)

В уравнениях и соотношениях (1)–(14) приняты обозначения: A, R – параметр Ламе срединной поверхности в меридиональном направлении и текущий радиус этой поверхности соответственно; – главные кривизны срединной поверхности оболочки; – приведенные внешние распределенные нагрузки; – компоненты распределенной поверхностной нагрузки, приложенной к лицевым поверхностям оболочки; – компоненты распределенных массовых нагрузок, действующих на внешние слои, связующее и волокна k-го семейства армированного слоя соответственно; – интенсивность и угол (отсчитываемый от меридионального направления) армирования внутреннего слоя волокнами k-го семейства; – предельно допустимая толщина оболочки, при которой она может рассматриваться как тонкая; – предельно допустимая суммарная плотность армирования (на практике ); – скорость деформации ползучести волокон k-го семейства, связанная с напряжением в арматуре известной зависимостью ; – заданная функция, являющаяся коэффициентом пропорциональности между интенсивностью касательных напряжений T и интенсивностью скоростей деформаций H в связующем армированного слоя ( – то же для внешних изотропных слоев); суммирование производится от 1 до N; штрих означает производную по , точка над символом – производную по времени.

Для упрощения и удобства дальнейшего изложения и анализа предположим, что распределенные нагрузки в уравнениях равновесия (1) известны, т. е. в (2) формально примем . (Такое допущение справедливо, когда массовые нагрузки пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными нагрузками : , .) Тогда система (1) полностью совпадает с системой уравнений равновесия классической безмоментной теории оболочек. Общий интеграл этой системы известен [3, 4], поэтому далее будем предполагать, что усилия уже определены.

Из всех возможных РА-проектов строго безмоментных оболочек вращения выделим и исследуем один важный класс решений рассматриваемой задачи: проанализируем случай квазиоднородного деформирования (КОД) оболочек в условиях установившейся ползучести, когда скорости деформации в волокнах всех семейств совпадают (например, волокна изготовлены из одного материала), т. е.

(15)

Известно [7, 8], что строго безмоментное состояние в тонких оболочках с симметричной относительно срединной поверхности структурой эквивалентно квазибезызгибному состоянию (). Из равенств (15) с учетом следует тождественное выполнение условий совместности (6), поэтому условия (15) наряду с отсутствием на кромках оболочки моментов и перерезывающих сил обеспечивают строгую безмоментность тонкостенной конструкции в условиях установившейся ползучести.

Выполнение в строго безмоментной оболочке с РА-структурой равенств (15) обеспечивает не только равнонапряженность волокон, но и равнонапряженность связующего внутреннего слоя и внешних изотропных слоев:

(16)

что позволяет исключить нежелательное влияние сдвиговых скоростей деформаций на сцепление арматуры со связующим.

Из соотношений (10), (15) следует, что случай КОД безмоментной оболочки не может быть реализован при произвольном задании напряжений в арматуре, эти напряжения должны быть связаны равенствами

(17)

Исследуем некоторые аналитические решения задачи РА безмоментных оболочек вращения в случае их КОД в условиях установившейся ползучести. С этой целью подставим соотношения (8), (11) в равенства (3) и учтем, что, согласно (15), (16), напряжения в связующем среднего слоя и во внешних слоях (при заданных напряжениях в арматуре (17)) уже известны и постоянны, тогда получим

(18)

где – введенные для удобства функции, удовлетворяющие уравнениям (см. (13))

(19)

и подчиняющиеся физические ограничения (см. (14))

(20)

Предположим, что средний слой оболочки армирован двумя семействами волокон () и толщина внешних слоев задана, тогда правые части в (18) – известные функции. Последовательным вычитанием и сложением первых двух равенств (18) получим

(21)

(22)

Предполагая , разделим третье соотношение (18) и (21) на (22), тогда

(23)

Рассмотрим эти равенства на кромке и учтем краевые условия ():

(24)

где

Путем элементарных тригонометрических преобразований систему (24) можно преобразовать к виду:

(25)

Из равенства (22) на кромке имеем:

(26)

Для получения решения в точках в третьем равенстве (18) и в (21) учтем условия (19), тогда

(27)

где постоянные известны из второго равенства (13) и решения системы (25), (26). В каждой точке решение системы (27) относительно неизвестных , может быть получено с помощью итерационной процедуры Эйткина [9]. Если система (27) решена во всех точках , то из (19) можно определить функции , а затем из (22) – толщину армированного слоя

(28)

При известных функциях , можно определить и интенсивности армирования , причем должны выполняться физические ограничения (14), (20).

Первое уравнение (25) в зависимости от значений γ и правой части может иметь два решения относительно на интервале . Второе уравнение (25) при известном значении имеет единственное решение на том же интервале. Следовательно, на кромке можно получить два альтернативных решения рассматриваемой задачи РА. Аналогично, в силу существенной нелинейности система (27) также может иметь несколько альтернативных решений, которыми можно управлять за счет варьирования величин или (). Эти решения обладают той особенностью, что в них НДС в фазах композиции, тангенциальные усилия и скорости перемещений (в силу (4), (15)) одинаковы. Поэтому если в некоторых точках безмоментной РА-оболочки не выполняются физические ограничения (14), (20), то для преодоления этой негативной ситуации можно использовать сопряженные решения задачи РА. При этом в некоторых точках решение претерпевает разрыв, т. е. скачком изменяются функции (). Такой скачок соответствует переходу в точках от одного решения задачи (25)–(28) к другому.

Полученное решение (25)–(28) вызывает особый интерес потому, что даже при наличии скручивания оболочки () в связующем внутреннего слоя и во внешних изотропных слоях отсутствуют касательные напряжения (, ). В частном случае, когда отсутствуют внешние нагрузки в окружном направлении (, ), из системы (1) следует . Если волокна обоих семейств изготовлены из одного материала (, ), то при задании на кромке из первого равенства (24) получим , а из второго равенства (13) следует . Тогда из первого соотношения (27) следует , а из (19), (13) вытекает и , т. е. имеем меридионально-симметричную структуру РА. При этом второе уравнение (27) умножением на сводится к квадратному уравнению относительно , имеющему только действительные корни. Один из корней этого уравнения всегда отрицателен, а второй положителен. Будем считать, что точки оболочки задаются значениями и волокна входят в конструкцию на кромке , тогда . В этом случае второе уравнение (27) имеет единственное решение

(29)

Решение задачи РА, определяемое соотношениями (28), (29), должно удовлетворять неравенствам (14), (20) и .

Постоянная интегрирования в (29) может быть задана либо определяется вторым равенством (13). Во втором случае, чтобы определить величину , необходимо знать значения , , которые можно вычислить, используя соотношения (18) на кромке и краевое условие . После деления первого равенства (18) на второе в точке с учетом получим

(30)

отсюда и из первого равенства (18) следует

(31)

Значения должны удовлетворять неравенствам, аналогичным (14), и .

Таким образом, при отсутствии нагрузок в окружном направлении рассматриваемая задача имеет единственное решение, которое определяется соотношениями (28), (29), (31). Этим решением можно управлять за счет варьирования величины в равенствах (31). (Альтернативное решение этой задачи не представляет практического интереса, так как в альтернативном проекте траектории РА разных семейств просто меняются местами.)

Определенным недостатком полученных решений является то, что в общем случае толщина армированного слоя является переменной. Если потребовать, чтобы толщина этого слоя была постоянной (), то решение исследуемой задачи при отсутствии нагрузок в окружном направлении (, ) можно получить, внедряя в средний слой оболочки две пары семейств волокон. При этом следует предполагать, что арматура семейств каждой пары уложена меридионально-симметрично с одинаковой интенсивностью и изготовлена из одного материала:

(32)

Для получения решения в этом случае вновь последовательно сложим и вычтем первые два равенства (18) (третье равенство (18) при структуре армирования (32) и выполняется тождественно) и учтем соотношения (16), (19), тогда при получим

(33)

(34)

Сложим эти уравнения:

(35)

Из системы уравнений (33), (35) следует

(36)

Первое уравнение (36) при

(37)

имеет два действительных корня, остальные уравнения (36) при известном разрешаются однозначно. Следовательно, система (36) при выполнении неравенства (37) может иметь два набора решений для функций (). Решениями же задачи РА будут только те решения системы (36), которые удовлетворяют физическим ограничениям (14) и .

Постоянные в (36) могут быть заданы, либо определяются последними равенствами (36). Во втором случае, чтобы определить , необходимо знать значения и (), которые можно вычислить, используя соотношения (18) на кромке . Сложим и вычтем два первых равенства (18), тогда в точке при получим

(38)

Из равенств (38) вытекает, что на кромке нельзя задавать произвольно обе величины , , так как они связаны первым равенством. Следовательно, в рассматриваемом случае на кромке можно произвольно задавать интенсивность и угол армирования волокнами первого семейства. Второе уравнение (38) на интервале имеет один корень, поэтому система (38) при заданных , имеет единственное решение. (В частности, при и выборе

имеем , т. е. , .) Этим решением можно управлять за счет варьирования величин , ; в силу же последней зависимости (36) за счет варьирования , можно управлять и решением системы (36), а значит, и решением задачи РА.

Исследуем еще один случай РА оболочки с заданной толщиной внутреннего слоя (в частности, постоянной), интересный с практической точки зрения. Предположим, что средний слой безмоментной оболочки армирован тремя семействами волокон (), изготовленных из одного материала (, , ); два первых семейства уложены по спиральным траекториям (, ), а третье – в окружном направлении (). Предполагая, что усилия известны из решения системы (1), причем, возможно, , из (18) путем сложения и вычитания первых двух равенств получим

(39)

(40)

Из (39) следует

(41)

т. е. если распределенные нагрузки не зависят от (см. (2)) и усилия , – известные из (1) функции переменной , то суммарная плотность армирования волокнами является известной функцией от и не зависит от выбора краевых значений .

Из равенства (40) получаем

отсюда с учетом (41) следует

(42)

Подставим в третье равенство (18) и в (42) выражения (19), тогда с учетом будем иметь:

(43)

Используя элементарные тригонометрические преобразования, систему (43) можно привести к виду

(44)

Первое уравнение (44) в зависимости от значений φ и правой части может и졕䖉㯘瓃樒跿騾[1]奙䖋謥쑵ۇ䖋觜ц䖋覼ࡆ䖋褨茰ﱍ쀳ʙ숀$ ｷ�疋㧄쁝ॴｓ쁵濨ʹ謀ᡅ頹Ð൵崹瓠（鷨ʪ㬀瓳㤙甞嘕ᗿሐ皋崹瓜）�ᗿᄄ皋쳃쳌쳌ﾋ譕囬疋蔈痶樅塗㗫䚋蔈瓀茗౽琀％౵탿綃ٴ痿０ࡖ䚋蔄瓀倇ᗿᄄ皋ｖပ謒㍶廀쉝
쳌쳌诌嗿噓疋謈肀耀譗౽ᾋ乴j㗨ˑ蔀觀౅乴躋ô뇿탶[1]삅⹴䂋謈၀ƨᅴʨၵ쏶琁茋ﻣ쮃范ﳣj痿롸[1]ᾉ쀳࿫j痿롨[1] 开孞쉝쳌쳌诌嗿荑ﱥ匀嶋嘐疋圌痿謘ᱽ痿贔ﱍ卑߇蚋ô偖ヿ䚋０Ѱ䖋（Ѱ叨㏿㯉见᱅ᅴ윽 甀褃ᱍྉ迩㤀킎甀謓ﱅ蚉᧌΋蚉᧐䗫ହݴ䖋㯼痁该ె䂋㬜瓁㤤⑈ὴ隋ô몃甍謐⑐ኋ隉᧌䂋覿첎褀킎謀ᑅ‹섻♴h倀蚍Ԛｐ정謔晶ꚃܚ茀ೄ荦Ầ 䖋弜孞싉쳌쳌诌嗿䖋ࡀ琂㌄校ú楨＀е逡ｶᡵ痿４ၵ痿끂 쉝쳌쳌诌嗿䖋р匁譖ဵ謑坶綋묔āմ삃茕ࡽ琀匆痿풭[1]삅୴偓融Њｐ诖၅䃶Єੴၪఅ 倀㏫綃
⡵䗨˓褀ࡅ௨˓茀ࡽ褀౅⁴삅ᱴｐࡵᗿᇼ皋삅๴ၪ痿贌ງ倀훿䖋р琂ԩȊ襐၅㇨˒匀痿脐ೇ圀훿痿퇛[1]퇕[1]幟쀳嵛Ⴢ찀쳌쳌ﾋ譕臬瓬ꄀᲤ皐䖉诼ࡅ薉䖋褌钅￷诿၅薉䖋褔鲅￷诿ᡅ薉䖋匜嶋褠貅￷ꇿῬ皐囿疋圤๴恨謙偶ᗿ≈皐奙⎃茀&쀳஺謀跊킽￻讫跊꒽￷뢫Ь薉﯐薉速荶￸藇ﯔ๴䑨謙偶ᗿ≈皐奙薍﯐ｐ钵￷颵￷耕逢譶ꇸῬ皐瓿；풵￻埿⡨謙偶ᗿ≈皐速荶Ⴤﾅ蔏ľ봹ﯔ㥴藶ﯔ琈贷��僿ۇ黨ː＀貵￷跿킅￻僿뗿뗿�㏿ö쟿ꢅ￷࿿琀栎ᤌ皋ｐ䠕逢奶赙ꒅ￷僿뗿뗿ᗿ⊀皐速荶￸ᙴ뗿桗ᤨ皋ｐ䠕逢荶Ⴤﾅ蔏–藶琈㍔䃀藶ﯔ褂理褂贃��僿ˏ＀邵￷跿킅￻僿뗿뗿㳨�跿꺅￹僿쫨ˏ＀貵￷跿ꒅ￷풅￻˿ٴχ薍﷚쾡[1]뗿薍﯐ｐ鲵￷ꂵ￷ﳩ䶋诼忇孞짨ǩ준⃂찀쳌쳌ﾋ譕룬ႈ臨ʔꄀᲤ皐譓࡝㍖㧶䁳䖉埼ᅴ珿㕥䎋褔၃玉｀ѳ䎋０౰ﳨ̕㬀跆褀甇렊ɯ폩 㤀ࢳ謀ࡀ莉ø莉ô䅴䢋㬘瓎昴ㄹ⽴赗ⱳ橖儀烿膶 삅蔏Ҙދ玉윐䁃䂋褈褆ࢳ贀䢃褀粅￯跿Ⴓ贀肃褀肅￯㏿맀Ȏﺋ꯳茡Ø㶋ᄐ皋ۇ࠸莋ôŨ＀贰ц襐袵￯诗ࡃ삅ུ腨倀蚍Ȇｐ菗�፵腨栀ᧈ皋蚍̈ｐ诗粽￯诿袕￯맿Ȏꗳ붋ຸ[1]謀诈讥ో䦋褔り謀ో䇶耋萏Ǎ줳謹Ā๵謹Ą趉ੴ藇㖋ᄐ皋좋쀳붍꯳莋ôŨ윀쒅￷㣿＀贰종￷僿훿莍Ą赐ƒ倀薍偐莋ôjjヿ䎋０Ѱ뇨￻㏿맀Ȏ붍ꌰ[1]j⧨ʣꄀῬ皐쾃㯿瓇栎ᦰT4 на интервале. Второе уравнение (47) при известном значении имеет единственное решение на том же интервале. Так как системы (44), (47) определяют по два набора параметров РА, то рассматриваемая задача может иметь два гладких решения, которыми можно управлять за счет варьирования величин () на кромке. Эти решения обладают той особенностью, что в них НДС в фазах композиции, тангенциальные усилия и скорости перемещений одинаковы. Поэтому если в некоторых точках оболочки не выполняются физические ограничения (14), то для преодоления такой негативной ситуации можно использовать сопряженное решение задачи РА. При этом в некоторых точках решение может испытывать разрыв, т. е. могут скачком изменяться функции (). Такой скачок соответствует переходу в точках от одного решения задачи (44)–(47) к другому. Общий расход арматуры в силу (41) в сопряженном проекте будет оставаться прежним.

Если оболочка не испытывает скручивания (), то при задании из (19), (44)–(47) получим, что в оболочке реализуется меридионально-симметричная РА-структура:

(48)

При этом два альтернативных решения задачи отличаются лишь тем, что спиральные траектории РА разных семейств в них меняются местами, т. е. с практической точки зрения это один и тот же проект.

В силу соотношений (1), (15), (16), (18), (41) во всех альтернативных проектах РА, получаемых по формулам (44)–(47) за счет варьирования величин (), одинаковыми будут средние напряжения в композиции армированного слоя, напряжения в фазовых материалах, скорости перемещений ползучести и общий расход арматуры. Следовательно, с точки зрения НДС, податливости и расхода арматуры все эти проекты будут равноправны, а для практической реализации целесообразно выбирать из их многообразия технологически наиболее простой.

В частности, если рассмотреть цилиндрическую оболочку постоянной толщины, нагруженную постоянным внутренним (или внешним) давлением, к кромкам которой приложено осевое растягивающее (или сжимающее) усилие, то при постоянстве толщины внешних слоев () напряженное состояние во всех слоях такой конструкции будет однородным (причем ), а РА-структура определяется равенствами (47), (48). Среди всех проектов, задаваемых этими равенствами, есть проект и с продольно-окружным армированием, который получается при задании. При этом, определяются из (45) и первого равенства (47) как из СЛАУ. Очевидно, что этот проект реализуется проще, чем проекты со спирально-окружной структурой, и именно его и целесообразно выбирать из всей совокупности РА-проектов цилиндрической оболочки с однородным напряженным состоянием в слоях. Однако если напряженное состояние не является однородным, то продольно-окружной проект армирования цилиндрической оболочки со слоями постоянной толщины не будет обеспечивать одновременно равнонапряженность волокон и КОД конструкции в условиях установившейся ползучести.

З а м е ч а н и е. Выше в настоящем исследовании не учитывалось влияние массовых нагрузок. Для некоторых металлокомпозиций (таких, как медь – стальная проволока, никель – молибденовая проволока и др. [10]) объемные плотности материалов фаз композиции армированного слоя отличаются незначительно. В таких случаях в правой части первого равенства (2) можно выделить малый параметр – относительную разность объемных плотностей материалов фаз внутреннего слоя. Так как задача РА при этом становится регулярно возмущенной, то для ее решения можно использовать общеизвестные методы теории возмущений, причем в первом приближении получим распределенные массовые нагрузки в (1), (2), соответствующие внешним изотропным слоям и однородному материалу одной из фаз композиции внутреннего слоя. После этого полученные выше результаты могут быть использованы для определения соответствующих приближений решений задачи РА по методу теории возмущений.

В качестве примера рассмотрим задачу РА конической оболочки переменной толщины. Пусть тонкая однослойная () коническая оболочка вращения нагружена внутренним давлением () и на кромке приложено усилие (), тогда из (1) с учетом

получим

Предполагается, что в условиях установившейся ползучести поведение материалов всех фаз композиции подчиняется степенному закону, связывающему скорость деформации ξ ползучести и напряжение σ в материале соответствующей фазы. При этом в (8)–(11), (16), (17) следует учесть зависимости [2]

где – известные характеристики материалов связующего, арматуры k-го семейства и внешних изотропных слоев соответственно.

Для проведения конкретных расчетов примем:

, , ,

(характеристики материалов композиции соответствуют медной оболочке, меридионально-симметрично (, ) армированной двумя семействами стальной проволоки У8А при температуре около [10, 11]).

На рисунках 1–3 изображены зависимости, , (где – осевая координата), полученные по формулам (28)–(31) и (). Кривые, изображенные на рисунках, соответствуют разным значениям напряжений в арматуре: линии 1 рассчитаны при, кривые 2 – при, а кривые 3 – при (). Из рисунка 1 видно, что в рассматриваемом случае углы армирования незначительно изменяются по длине оболочки, а поведение кривых на рисунках 2, 3 свидетельствует о том, что в РА-проектах плотность армирования и толщина оболочки могут существенно изменяться по ее длине. Сопоставление кривых на рисунках 2, 3 показывает, что характеристики рационального проекта существенно зависят от уровня напряжений в арматуре, причем с увеличением по модулю этих напряжений () наблюдается уменьшение изменяемости функций, (ср. линии 3 на рисунках 2, 3 с кривыми 1, 2).

Поведение кривой 1 на рисунке 3 свидетельствует о том, что зависимость не удовлетворяет последнему физическому ограничению (14), т. е. соответствующая оболочка не может рассматриваться как тонкая. Следовательно, для такой оболочки построенное решение на практике будет давать значительные отклонения как от выполнения условий РА, так и от выполнения условий строгой безмоментности конструкции.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07–08–00152–а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Работнов в механику разрушения / . – М.: Наука. Физматлит, 1987. – 80 с.

2. Качанов ползучести / . – М.: Физматгиз, 1960. – 456 с.

3. Новожилов теория тонких оболочек / , , . – Л.: Политехника, 1991. – 656 с.

4. Огибалов и пластины / , . – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. – 695 с.

5. Немировский однородных и композитных оболочек / // Актуальные проблемы механики оболочек. Тр. междунар. конф., посвященной 100-летию проф. , 90-летию проф. и 80-летию проф. (Казань, 26–30 июня 2000 г.). – Казань: Новое знание, 2000. – С. 42–49.

6. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения / , // Механика композиционных материалов и конструкций. – 1997. – Т. 3. – № 2. – С. 20 – 40.

7. Немировский проектирование армированных конструкций / , . – Новосибирск: Наука, 2002. – 488 с.

8. Немировский безмоментные сопряженные оболочки вращения в условиях установившейся ползучести / // Прочность и долговечность элементов конструкций: Сб. научн. тр. – Киев: Наукова думка, 1983. – С. 15–25.

9. Березин вычислений. Т. 2 / , .– М.: Физматгиз, 1959. – 620 с.

10. Композиционные материалы. Справочник / Под ред. . – Киев: Наук. думка, 1985. – 592 с.

11. Писаренко и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие / , . – Киев: Наук. думка, 1981. – 496 с.

Равнонапряженное армирование безмоментных металлокомпозитных оболочек вращения в условиях квазиоднородного деформирования при установившейся ползучести

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы