УДК 537.84
О ПЕРЕХОДЕ К СТОКСОВОМУ ТЕЧЕНИЮ В КАНАЛАХ
Представлены результаты расчётов трёхмерного МГД-течения в неоднородном магнитном поле при конечных значениях параметра МГД-взаимодействия. Определена область перехода от инерционного к стоксовому режиму течения.
трёхмерное МГД-течение, инерционный режим, электроизоляционные стенки, неоднородное магнитное поле
ВВЕДЕНИЕ
Движение электропроводной жидкости в магнитном поле описывается системой магнитогидродинамических (МГД) уравнений, содержащих уравнение Максвелла для электромагнитного поля, закон Ома и уравнение Навье-Стокса, которое можно записать в виде:
. (1)
Уравнение (1) содержит три безразмерных параметра: 
-параметр МГД-взаимодействия, 
- число Гартмана и 
-магнитное число Рейнольдса, определяемых по характерным значениям скорости (
), магнитного поля (
) и геометрического размера (
). Параметр N показывает отношение электромагнитных и инерционных сил, число Ha - отношение электромагнитных и вязкостных, Rm характеризует влияние индуцированного магнитного поля.
Если индуцированным магнитным полем можно пренебречь (
), то течение происходит под воздействием внешнего поля (безындукционный режим). В сильных магнитных полях значение параметра МГД-взаимодействия N может быть достаточно большим, чтобы пренебречь членом в левой части уравнения (1), что существенно упрощает (линеаризует) задачу. Полученное при таком допущении уравнение (1) описывает стоксов (безынерционный) режим течения.
Переход к безынерционному режиму течения должен зависеть от конкретных условий, при которых происходит МГД-течение, в связи с чем существенно его рассмотрение именно для данного случая. Этот вопрос возникает ввиду возможного применения жидкометаллических сред в системах теплосъема термоядерной энергетической установки. Одной из основных проблем, возникающих при использовании таких сред, является их прокачивание в сильных магнитных полях, характерных для термоядерного реактора с магнитным удержанием плазмы. Конкретная оценка гидравлических потерь в проточном тракте и их минимизация возможны только при правильной идентификации режима течения.
На рис. 1 показаны граничные значения параметра МГД-взаимодействия N(Ha), разделяющие стоксов (линейный) и нелинейный режимы течения, полученные экспериментально [1 - 5] для различных типов течений, а также области характерных значений чисел N и Ha для проектов жидкометаллических бланкетов термоядерных реакторов с магнитным удержанием плазмы [6 - 8]. Как видно из рис. 1, МГД-течения в этих установках, особенно в гибридном опытном термоядерном реакторе (ОТР), должны быть инерционными, и экстраполяция результатов, полученных в результате решения линеаризованного уравнения (1), в область значений N и Ha, характерных для бланкетных режимов течений, должна производиться с большой осторожностью.
Рис.1. Величина критического значения параметра МГД-взаимодействия, полученного в различных экспериментах и области типичных значений
и в различных проектах жидкометаллических бланкетов
В данной работе проведено исследование нелинейных магнитогидродинамических течений в каналах при воздействии сильных магнитных полей и их перехода в безынерционный (стоксов) режим.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрено течение электропроводной жидкости в канале прямоугольного сечения при воздействии неоднородного магнитного поля, изменяющегося вдоль течения.
Внешнее магнитное поле представлялось линейно возрастающей функцией
(2)
В таком случае можно учесть трехмерные эффекты в рамках модели усреднения по высоте канала [9 - 10].
Задача формулировалась в виде системы уравнений (3)-(6) для переменных: завихренность (ω), функция тока (ψ), функция электрического тока (χ):
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Выражение (6) для коэффициента трения на стенке, перпендикулярной «рабочей» составляющей магнитного поля, содержит число Гартмана Ha и параметр λ=h/a, определяющий геометрию канала (h и a соответственно высота и ширина канала).
Решение системы уравнений (3)-(6) производилось в области, определённой границами 
, 
; значение 
варьировалось в зависимости от режима течения для обеспечения на выходе практически развитого течения. На нижней границе задавались условия симметрии:
, (7)
на твёрдой боковой стенке
, (8)
для функции электрического тока для электроизоляционной стенки
. ( 9)
На выходной границе использовались «мягкие» граничные условия, полученные аппроксимацией выражений:
. (10)
РЕЗУЛЬТАТЫ
Поставленная задача была решена численно. Расчеты производились при значениях числа Ha=100; 500; 1000; 2000; N варьировалось от единицы до 107. Полагалось λ=0,1 и dB/dx =1 в области неоднородности магнитного поля.
Ясно, что предлагаемые для определения границы применимости безынерционного приближения соотношения типа 
(где α изменяется в довольно широких пределах) [11] оставляют значительную неопределенность в идентификации областей существования различных режимов течения и мало что дают с практической точки зрения.
С другой стороны, результаты расчетов показывают, что эта неопределенность отражает и сущность реального процесса, так как сама переходная область от одного типа течения к другому значительно растянута по диапазону изменения характеризующих течение параметров. Особенно плавно осуществляется этот переход по локальным характеристикам течения (рис. 2, 3).
Рис. 2. Линии тока жидкости ψ=const при Ha=2000
Рис. 3. Величина прогиба профиля скорости течения жидкости на оси канала
При малых N, в отличие от стоксова режима, нет симметрии течения относительно сечения, проходящего через середину области неоднородности магнитного поля. Максимальный прогиб в профиле скорости с уменьшением N смещается вниз по течению. Граница смены режимов течения по его локальным характеристикам резко не идентифицирована.
Более определенно можно разделить области инерционного и безынерционного режимов течения по интегральным характеристикам, например по общему перепаду давления. Очевидно, что при стоксовом (линейном) режиме течения должна исчезнуть зависимость перепада давления от параметра МГД - взаимодействия. Рис. 4 иллюстрирует этот эффект. В рассмотренном диапазоне значений числа Ha граница смены режимов течения расположена при значениях числа Рейнольдса порядка 103.
Рис. 4. Зависимость безразмерного перепада давления от N: 1-Ha=500;
2-Ha=1000; 3-Ha=2000. Пунктиром показана область перехода из инерционного
в безынерционный режим
В качестве первого приближения можно принять, что при Ha=102-103 граничные N и Ha связаны зависимостью N~Ha2 с коэффициентом пропорциональности 
.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. , , Кириллов гидродинамика в ядерной энергетике.-М., 1987.-264с.
2. , , Лиелаусис местных МГД-сопротивлений на натриевом контуре со сверхпроводящим магнитом //Магнитная гидродинамика.-1985.-№1.-С. 121-126.
3. , , Шматенко жидкометаллического бланкета термоядерного реактора-токамака //Тезисы докладов 4-й Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов. - М.,1986.-С.341-342.
4. , , К проблеме Стокса в магнитной гидродинамике //XII Рижское совещание по магнитной гидродинамике.-Рига,1987.-Т.1-С.159-162.
5. , , Яковлев исследование течения электропроводной жидкости в изогнутых каналах круглого сечения в сильном магнитном поле // Магнитная гидродинамика.- 1977.- №4.-С.61-65.
6. Smith D. L. Overview of the blanket comparison and selection study/ D. L. Smith D. L. // Fusion technology (USA).-№8. -1985.-P.10-44.
7. Baker C. C Tokamak Power System Studies-FY 1985/Argone National Laboratory Report, ANL/FPP-85-2.-1985.
8. , , Хрипунов охлаждение гибридного реактора-токамака //Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. - Вып.4.-1985.-С.24-28.
9. МГД-процессы при конечных магнитных числах Рейнольдса: дисс…докт. физ.-мат. наук: 01.02.05-Механика жидкостей газа и плазмы /Ленинградский политехнический институт; .-Л., 1984.-247с.
10. Cтоксово течение в прямоугольном канале с изоляционными стенками в неоднородном магнитном поле //Известия КГТУ.-2007.-№12.-С.166-174.
11. Walker J. S. Laminar Duct Flows in Strong Magnetic Fields /J. S. Walker //Single - and Multi - Phase Flows in an Electromagnetic Fields: Energy, Metallurgical and Solar Applications/New-York, 1985.- P.496-515.
ON TRANSITION TO STOKES FLOW IN CHANNELS
V. V. Serebryakov
The mathematical model and the results of calculations of three-dimensional MHD-flow in non-uniform magnetic field with finite values of MHD interaction parameter are presented. It is shown the transition to the Stokes flow in channel.
three-dimensional MHD-flow, inertial regime, non-conducting walls, non-uniform magnetic field
