Методическая разработка семинара «Показательные и логарифмические уравнения», 10 класс

Методическая разработка семинара

«Показательные и логарифмические уравнения» 10 класс.

(В рамках интегральной образовательной технологии)

Изучение нового материала (дополнительный объем)

Особенность этого материала состоит в том, что одни ученики должны разобраться во всем и овладеть на уровне применения, другим полезно осмыслить и понять идеи, третьим достаточно познакомиться. Адекватной формой для такого изучения нового материала является семинар.

Действующих лиц назначает учитель. Он же берет на содержательную разработку семинара.

Функция действующих лиц.

Персонаж	Функционал персонажа
Докладчик	Изложение в тезисной форме существа защищаемой точки зрения, позиции: основные положения, факты.
Содокладчик	Подкрепление аргументами, обоснование, иллюстрирование позиции докладчика.
Оппонент	Демонстрация контрпримеров и контраргументов, изложение иной точки зрения.
Эксперт	Сравнительный анализ аргументов и контраргументов, определение областей их истинности.
Провокатор	«Каверзные» вопросы, многочисленные примеры, инсценирующие общую дискуссию.
Ассистент	Материально-техническое обеспечение и поддержка работы персонажей.

Работа по подготовке к семинару требует много времени, поэтому целесообразно проводить не более одного семинара в крупном блоке уроков и подготовительную работу начинать заблаговременно.

Цель семинара: систематизировать знания обучающихся по методам решения показательных и логарифмических уравнений; обобщить изученный материал; выяснить вопросы, которые недостаточно освещены.

Рассмотрены основные методы решения показательных и логарифмических уравнений

Вопросы семинара.

1  Методы решения показательных уравнений.

2  Методы решения логарифмических уравнений.

3  Разобрать решение уравнений:

a.  4х + 3х-1 = 4х-1 + 3х+2

b.  3 . 4х - 5 . 6х + 2 . 9х = 0

c.  2х + 5х = 2.

d. 

e. 

f. 

4 а)Решить уравнения

b) logx 5 = 2;

c) log –x 25 = 2.

Семинар

Тема: «Показательные и логарифмические уравнения» (10 класс 2 ч.)

Цели: систематизировать знания обучающихся по методам решения показательных и логарифмических уравнений; обобщить изученный материал; выяснить вопросы, которые недостаточно освещены.

Вопросы семинара.

Методы решения показательных уравнений. Методы решения логарифмических уравнений. Решить уравнения.

1)  4х + 3х-1 = 4х-1 + 3х+2

2)  3 . 4х - 5 . 6х + 2 . 9х = 0

3)  2х + 5х = 2.

4) 

5) 

6) 

Подобрать уравнения (1-2), которые вы затрудняетесь решить.

I. Доклад (8 минут)

№1) Решение показательных и логарифмических уравнений основано на свойствах функции у=ах и у=

соответственно где 0 < a < 1 или a > 1.

Таблица. Функции их свойства и графики.

Показательная функция	Логарифмическая функция
y=ах (a>0, a≠1) D(y)=R E(y) = (0; +∞) Один промежуток монотонности	y=logaх (a>0, a≠1) D(y)= (0; +∞) E(y) = R Один промежуток монотонности.

№2 Простейшие показательные уравнения

b > 0, x = logab;

ах = b при

b < 0, уравнение не имеет корней.

№3 При решении показательных уравнений используют следующие методы:

1)  приведение к одному основанию

2)  вынесение за скобку общего множителя

7х +7х+2 = 50;

3)  замена переменной

25х + 5х+1 – 6 = 0;

4)  логарифмирование обеих частей уравнения

2х = 12;

5)  графический

Для преобразования показательных уравнений, используют свойства степени.

№4. Уравнения вида logaх = b – называются простейшими логарифмическими (a>0, a≠1).

logaх = b, при всех допустимых а имеет единственное решение х = аb.

При решении логарифмических уравнений применяют часто следующие преобразования

основанные на свойствах логарифма.

В решение логарифмических уравнений используют следующие методы:

1)  Используя преобразования, приводящие уравнение к виду

2)  В решении используют метод замены переменной (вводим новую переменную и сводим уравнение к алгебраическому, решив его возвращаемся к первоначальной переменной.

2 lg2 х – 5 lg x – 7 = 0,

Рассмотрены основные методы (приемы) решения показательных и

логарифмических уравнений.

Содокладчик №1

Познакомимся с другими методами решения показательных уравнений.

Метод, основанный на составлении отношений.

Разберем на конкретном примере.

№1. 4х + 3х-1 = 4х-1 + 3х+2

преобразуем уравнение

, т. к. 3х > 0, разделим уравнение на 3х, получим имеем - откуда х =

х = 1 +

или

№2. 2х+1 - 2х-1 = 32-х;

2 . 2х – ½ . 2х = 9 . 1/3х,

т. к. 3х > 0, умножили уравнение на 3х, получили 6х . 3/2 = 9, 6х = 6, откуда х = 1.

Оппонент.

Уравнение №1 можно решить и используя основные методы решения.

4х - 4х-1 = 3х+2 - 3х-1

,

прологарифмируем уравнение

х = х = 1 +

Необходим ли этот метод?

Эксперт (ответ оппоненту).

Уравнение №1 можно решить, используя свойства логарифма, метод логарифмирования. Но преобразования в этом случае громоздки. Предложенный ваш метод является для данного случая более рациональным.

Содокладчик №2.

1)  Использование однородности в решении уравнений.

3 . 4х - 5 . 6х + 2 . 9х = 0, 3 . 22х - 5 . 3х . 2х + 2 . 32х = 0.

Заметим, что левая часть уравнения однородный многочлен степени 2.

Разделим обе части уравнения на 22х (22х >0) и полагая (3/2)х = t получим уравнение 2t2 – 5t + 3 = 0, t1 = 1, t2 = 3/2.

Вернемся к первоначальной переменной.

(3/2)х = 1 или (3/2)х = 3/2, откуда х1 = 0, х2 = 1.

2)  Уравнение вида 2х + 5х = 2 можно решить, используя свойства

монотонности функции, т. к. g(x) = 2x и f(x) = 5x функции монотонно возрастающие, а у = 2 – функция постоянная. Т. о. графики функций у = 2 и у = 2х + 5х могут пересекаться в одной точке, уравнение имеет единственное решение. Методом подбора определяем корень уравнения х = 0.

Оппонент.

Уравнение 2х + 5х = 2 можно решить графически.

Эксперт.

Да, уравнение 2х + 5х = 2 можно решить графически т. к. в правой части уравнения небольшое число. А вот решить графически уравнение 2х + 5х = 29 уже вызывает трудности. А предложенный метод (основанный на свойстве монотонности функции) дает быстрый ответ.

Провокатор.

Уравнение

1)  не является однородным;

2)  графически решить можно, но сложно

3)  логарифмирование тоже не дает желаемого результата;

4)  методы 1,2,3,4 – не подходят.

Как найти решение данного уравнения?

Эксперт.

Из всех перечисленных методов, подходит метод замены неизвестного.

В основании степеней взаимообратные числа

Введем переменную , тогда , получим уравнение Решение которого не вызывает трудности. Затем перейти к первоначальной переменной.

Содокладчик №2.

В решении логарифмических уравнений, используют и метод потенцирования.

Переход от равенства, содержащего логарифм, к равенству, не содержащему их, называется потенцированием. При этом область определения уравнения расширяется, необходимо сделать проверку.

Примеры:

№1.

Проверкой устанавливали, что число () – не является корнем уравнения, т. к. логарифм отрицательного числа не существует, а число - является корнем.

Ответ:

Оппонент.

В преобразовании логарифмических уравнений, используют свойства логарифмов

При решении уравнения, используя это свойство и решая его двумя способами, получаю разные ответы:

если перехожу от получаю ответ 3;

если перехожу от , то уравнение не имеет корней.

1 способ.

Проверкой устанавливаем, что 3 – корень уравнения.

2 способ.

корней нет.

Можно ли использовать данное свойство в преобразовании логарифмических уравнений?

Эксперт.

Ответ оппоненту.

В преобразовании логарифмического уравнения можно использовать данное свойство, но нужно знать, что переход возможен, если α=2к+1, кЄZ при этом х > 0. если α=2к, кЄZ, то .

2к – четная степень т. о. х2х > 0, a x – может быть как положительным так и отрицательным.

При решении предложенного уравнения допустимым является преобразование

Провокатор.

Все рассмотренные логарифмические уравнения не содержат неизвестного в основании логарифма.

Существуют ли такие уравнения и можно ли их решать перечисленными методами?

Примеры 1) logx 5 = 2; 2) log –x 25 = 2.

Эксперт.

При решении уравнений, содержащих переменную в основании логарифма, необходимо учитывать условие существования логарифма. В решении можно использовать перечисленные методы.

logab, a>0, a≠1,

1)  logx5 = 2

2)  log-x 25 = 2, (-x)2 = 25, x=5.

Проверкой устанавливаем, что х = -5 – корень уравнения.

Итог урока.

Дифференцированное домашнее задание

3 уровень(повышенный)

Решите уравнения

1.log 0,5 x + log x 0,5 =4

2. log 5 (-x) 7 +2 =log 25 x 8

3.4 х+1 – 6 х = 2 9 х+1

4. 27 7 х +3 = 147 х.

5. (1/5) x + (1/3) x =34

6. (2+ 3 ) x + ( 2 – 3 ) x=4.

2 уровень ( средний)

Решите уравнения

log 2 x + 5log x 2 =6 log 3 (3 x -8) = 2-x 625 9 x-2 =15 x 5 x + 2 5 –x -3 =x + 3 49 x = 2 2x 4 x = 25 x =29.

1 уровень ( минимальный)

Решите уравнения

1. 3 х =4

2. 729 х/3 = 1/9

3. 2 x+1 +2 x =6

4. 9 x + 2 3 x – 3 =0

5. log 3 (x 2 -6) = log 3 x

6. log 2 2 x – 4 log 2 x + 3 =0