Основы теории вероятности

3. Основы теории вероятности

План:

1.  Случайные события

2.  Классическое определение вероятности

3.  Вычисление вероятностей событий и комбинаторика

4.  Геометрическая вероятность

Теоретические сведения

1 Случайные события.

Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле. А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление, выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т. д.

Примеры случайных явлений:

~ Производится стрельба из орудия, установленным под заданным углом к горизонту. Попадание его в цель случайно, но попадание снаряда в некоторую "вилку", есть закономерность. Можно указать расстояние, ближе которого и дальше которого, снаряд не полетит. Получится некоторая "вилка рассеивания снарядов"

~ Одно и тоже тело взвешивается несколько раз. Строго говоря, каждый раз будут получаться разные результаты, пусть отличающиеся на ничтожно малую величину, но отличаться.

~ Самолет, летая по одному и тому же маршруту, имеет некоторый полетный коридор, в пределах которого может лавировать самолет, но никогда у него не будет строго одинакового маршрута

~ Спортсмен никогда не сможет пробежать одну и туже дистанцию с одинаковым временем. Его результаты также будут находиться в пределах некоторого численного промежутка.

Опыт, эксперимент, наблюдение являются испытаниями

Испытание – наблюдение или выполнение некоторого комплекса условий, выполняемых неоднократно, причем регулярно повторяющихся в оной и тоже последовательности, длительности, с соблюдением иных одинаковых параметров.

Рассмотрим выполнение спортсменом выстрела по мишени. Чтобы он был произведен, необходимо выполнить такие условия как изготовка спортсмена, зарядка оружия, прицеливание и т. д. "Попал" и "не попал" – события, как результат выстрела.

Событие – качественный результат испытания.

Событие может произойти или не произойти События обозначаются заглавными латинскими буквами. Например: D ="Стрелок попал в мишень". S="Вынут белый шар". K="Взятый наудачу лотерейный билет без выигрыша.".

Подбрасывание монеты – испытание. Падение ее "гербом" – одно событие, падение ее "цифрой" – второе событие.

Любое испытание предполагает наступления нескольких событий. Одни из них могут быть нужными в данный момент времени исследователю, другие – не нужными.

Событие называется случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальней­шем, вместо того чтобы говорить "совокупность условий S осуществлена", будем говорить кратко: "произведено испытание". Таким образом, событие будет рассматри­ваться как результат испытания.

Примеры:

~ Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре, области. Выстрел - это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие.

~ В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появле­ние шара определенного цвета - событие.

Виды случайных событий

1. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

~ Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События € появилась стандартная деталь" и с появилась не­стандартная деталь" - несовместные.

~ Брошена монета. Появление "герба" исключает по­явление надписи. События "появился герб" и "появилась надпись" - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Примеры:

~ Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:

1. "выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй",

2. "выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй",

3. "выигрыш выпал на оба билета",

4. "на оба билета выигрыш не выпал".

Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий,

~ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.

2. События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Примеры:

~  Появление "герба" и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

~  Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предпо­лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказы­вает влияния на выпадение любой грани.

3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти

4. Событие называется не достоверным, если оно не может произойти.

5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т. е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и Ā; U и Ū и т. д. .

2. Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей.

Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди­наковых шаров, причем 2 - красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления - цветного шара).

Вероятность - число, характеризующее степень воз­можности появления события.

В рассматриваемой ситуации обозначим:

Событие А ="Вытаскивание цветного шара".

Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k1, k2.

В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т. д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со­бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­дов:

Таким образом, событие А наблюдается, если в испы­тании наступает один, безразлично какой, из элементар­ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук

Вероят­ностью события А будем считать число, равное отношению количества благоприятствующих событию А эле­ментарных исходов к их общему количеству. Обозначают Р(А)

В рассмат­риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)=5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.

Определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:

m - число элементарных исходов, благоприятствую­щих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместные, равновозможные и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m = n следовательно, p=1

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей. 0<p(n)<1. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < т < n.

В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из­вестным вероятностям одних событий находить вероятно­сти других событий.

Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?

pдев = 6 / 10 =0,6 pюн = 4 / 10 = 0,4

Понятие "вероятность" в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: wi (i=1, 2, .... п). События wi,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). Отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы­тия - точками этого пространства..

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω - достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, 'по каждое из них содержит только один элемент Ω

Каждому элементарному исходу wi ставят в соответствие поло­жительное число рi - вероятность этого исхода, причем сумма всех рi равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят­ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не­возможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и еди­ницей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз­можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Получено классическое определение вероятности.

Существует еще аксиоматический подход к понятию "вероятность". В системе аксиом, предложенной. Н, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Ограниченность классического определения вероятности.

1. Классический способ опре­деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).

2. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий.

3. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равно возможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

В связи с этим рассматриваются иные способы вычисления вероятностей. К таковым относятся статистический способ вычисления вероятности и геометрическая вероятность, с которыми мы будем знакомиться в дальнейшем. состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям

Статистический способ подсчета вероятности.

Этот способ направлен на неоднократное установление частоты появления события с различным числом объектов в рамках некоторого испытания.

Пример. На бахче готовят партию из десятка тонн арбузов к отправке. Что бы убедиться в их спелости надо просмотреть все арбузы, но тогда придется каждый арбуз пометить и он окажется не пригодным к отправке. На практике можно провести серию испытаний. Выбираем произвольно 10 арбузов и установим число спелых из них. Пусть таких оказалось 9 арбузов, тогда частота р1=9/10. В другой партии их 15 арбузов оказалось 13 спелых, р2=13/15. В третей частота оказалась равной р3 =18/18, в четвертой – р4= 6/7. Все полученные числа будут группировать около некоторого числа, являющееся средним арифметическим вычисленных частот:

р= (р1.+ р2+ р3 + р4) / 4 = (9/10+13/15+18/18+6/7) =761 / 840 »0,9059.

Запишем статистический способ подсчета вероятности в общем виде:

p1=m1 / n1, p2=m2 / n2, p3=m3 / n3, …. pi=mi / ni. 1£ i £ k

mi - число появления события,

ni - число проведенных опытов (наблюдений, испытаний),

pi – частота появления события в каждом опыте

k – опытов

Естественно предположить, что она будет различная. Вероятность рассматриваемого события будет равна среднему арифметическому полученных частот.

p=(p1 + p2+p3 + …+pk) / k, где р – статистическая вероятность.

Вероятность события в данном испытании называется число, около которого "группируются" относительные частоты при нескольких

Для существования статистической вероятности собы­тия А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; значения которой "колеблется около какого-то теоретического числа, например: от 0,39 до 0,41 и др.

Примеры вычисления вероятностей

Задание 3-1. Вычислить вероятности, приведя полное объяснение.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А)= 1/10.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на­удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры,

Решение. Обозначим через В событие - набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. 10-9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов; Р (В) = 1/90.

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4

Решение. Общее число равновозможных ис­ходов испытания равно 6-6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность P(A)=3:36=1/12.

4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Ответ 0,5

3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.

Комбинаторные задачи в теории вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач

Задание 3-1 . Решить задачи средствами комбинаторики

1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?

Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последова­тельному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записы­ванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благо­приятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36 . Искомая вероятность равна: P=216/729=8/27.

Рекомендуется решить эту задачу, если в записи числа используется и цифра 0.

2. Из букв слова "ротор", составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 бук­вы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "тор"?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от дру­га, снабдим их номерами: plt p2, olf o3. Тогда общее число элемен­тарных исходов равно: размещению из 5 по 3, равное 60. Слово "тор" получится в 1 ·2 ·2= 4 случаях. Это понятно из того, что, буква "Т может быть выбранной только 1 раз, буквы "О" и "Р" каждая по 2 раза. Р=4/60=1/15.

При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь восполь­зовались правилом произведения:

З. В партии из n деталей имеется f бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k дета­лей окажется s бракованных?

Решение. Количество всех элементарных исходов равно числу сочетаний из n по k. Бракованные детали. могут быть выбранными только из бракованных. Число выбора их равно числу сочетаний из f по s. Остались k-s выбранные не бракованные детали. Они будут выбраны из не бракованных деталей, число которых равно n-f. Вариантов их выбора равно числу сочетаний из n-f по k-s. Ответ:

4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7членов бригады 4 человека можно выбрать 35 способами, сле­довательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщин 6 способами (число сочетаний из 4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 · 3 = 18. Р=18/35

5 [3, № 000] Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность то­го, что при этом все выпавшие грани различны?

6. [3, № 000]. На 6 одинаковых карточках написаны буквы "а", "в", "к", "М", "о", "с". Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "Москва"?

7 [3, № 000] В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

8 [3, № 000] В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

9 [3, № 000] Какова вероятность того, что в написанном наудачу трех­значном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?

9 [3, № 000] В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в рас­писание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероят­ность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?

10 [3, № 000] 10 человек случайным образом рассаживаются на десяти­местную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?

11 [3, № 000] В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

12 [3, № 000] В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

13 [3, № 000] На 10 карточках написаны буквы "а", "а", "а", "м", "м", "т", "т", "е", "и", "к". После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "математика"?

14. [3, № 000] Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:

А — в каждой части окажется по 2 туза;

В — в одной из частей не будет ни одного туза;

С — в одной из частей будет ровно один туз.

15. [3, № 000] Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Опре­делите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама - 3, король - 4, туз - 11, а остальные карты - соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

16. [3, № 000] Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по остановкам равно возможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

17. [3, № 000] Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу не­сколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с ве­роятностью, большей, чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

18. [3, № 000] 10 рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно вы­брошенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.

19. [3, № 000] Вы задались целью найти человека, день рождения кото-' рого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?

4. Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве про­странства Q элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры[1] на прямой, плоскости или в пространстве.

Событиями называются измеримые всевозможные подмножества множества Q.

В конкретных задачах испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области Q, а событие А — как попадание выбранной точки в некоторую под­область А области Q. При этом требуется, чтобы все точки области Q имели оди­наковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т. Д.

Геометрическая вероятность - вероятность попа­дания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).

Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(е). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g - часть области G, равна отношению мер областей g и G, соответственно равнее m(g) и m(G).

Формула геометрической вероятности в этом случае имеет вид: P=m(g) : m(G)

В случае классического определения вероят­ность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).

В случае геометри­ческого определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Геометрическая вероятность на отрезке.

Пусть отрезок m составляет часть отрезка L. На отре­зок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок m пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относи­тельно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок m определяется равенством

Р =( Длина m ) : /Длина L).

Задание 3-2. Вычислить геометрические вероятности на отрезке

1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков 0В и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от­резка и не зависит от его расположения на числовой оси,

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попа­дет на отрезок CD длины L/3. Искомая вероятность

P=(L/3) : L= l/3.

2. [3, №79]. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход — за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту A и отправляе­тесь в В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.

Геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошен­ная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Р = (Площадь q) : (Площадь Q)

Задание 3-3. Вычислить геометрические вероятности на плоскости

1.На плоскости начерчены две концентрические окруж­ности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероят­ность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g) Sq=(102-52)π=75 π. Площадь большого круга (фигуры G) SQ=102 π=100 π. Искомая вероятность равна P=(75 π)^( 100 π)=0,75

2 [3, № 82].На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиуса г. Найдите вероят­ность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.

Геометрическая вероятность в пространстве

Геометрические вероятности в пространстве не имеют принципиального отличая от предыдущих геометрических вероятностей.

Практические замятия.

Задания 3-4. Вычислить вероятности. Задачи [1, C 30-31]

I.  В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окра­шенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. р = 0,1.

2.  Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпа­дет четное число очков. Отв. р = 0,5.

1.  Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 др 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. Отв. р = 0.81.

2.  В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположен­ных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». Отв. р= 1/120.

3.  На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна нз следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно переме­шаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». Отв. р=1/Л1= 1/360.

4.  Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик, будет иметь окрашенные грани: а) одну; б) две; в) три. Отв. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

5.  Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль. Отв. а) 2/9; б) 4/9.

6.  В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероят­ность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. Отв. р=1/65.

7.  Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги ока­жутся поставленными рядом. Отв. р = 7.2!-6!/8! = 1/4.

8.  Библиотечка состоит нз десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю н две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв. p = Cj. Cj/C?0:=l/3.

9.  В партии из 100 деталей отдел технического контроля обна­ружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

10.  При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Отв. 102 попадания.

11.  На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу постав­лена точка В(х), Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Отв. р = 2/3.

12.  Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в к руг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квад­рат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его распо­ложения относительно круга. Отв. р = 2/я.

13.  Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 н 13 часами дня. Пришедший пер­вым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти веро­ятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Указание. Ввести в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу и принять для простоты, что встреча должна состо­яться между 0 и 1 часами.

Отв. Возможные значения координат: 0<х<1, 0 <y<!; благоприятствующие встрече значения координат: \у—х\< 1/4; P = 7/16.

Требования к знаниям умениям и навыкам Студент должен понимать постановку задачи по вычислению вероятности события. Знать свойства вероятности. Уметь вычислять вероятность наступления события по классической формуле том числе с применением элементов комбинаторики. Знать алгоритм вычисления геометрической вероятности.

Контрольные вопросы

1. Определение случайного явления.

2. Привести примеры испытаний.

3. Указать противоположные события для событий:

~  Спортсмен попал в мишень.

~  При бросании кубика выпала грань с числом 5.

4. Указать группу событий:

5. Указать группы событий испытаний:

~  Подбрасывается тетраэдр с пронумерованными гранями

~  Спортсмен стреляет по мишени

6. Провести примеры

~  совместимых событий

~  достоверных событий

~  противоположных событий

~  испытания, образующих группу из двух событий

7. Записать формулу Бернулли

8. Привести примеры геометрических вероятностей.

[1] Точнее, мера множества, которая является аддитивной функцией, заданной на этом множестве. Мера отрезка на прямой есть его длина, которая относится лебеговой мерам. Подробное описание процесса установления меры выходит за пределы данного раздела математики.