Московский Государственный Технологический Университет «Станкин»
Кафедра «Информационные системы»
Курсовая работа по дисциплине
«Элементы теории массового обслуживания»
студента группы И-7-2
Руководитель: д. т. н., проф.
Москва 2009г
Задание:
1. На основании заданной логической схемы функционирования разработать граф состояний переходов и составить систему уравнений для стационарного режима работы схемы.
2. Разработать программу решения системы уравнений с использованием экранной формы задания исходных данных.
3. На основе разработанной программы решить полученную систему уравнений и в указанном диапазоне заданных параметров исследовать заданную логическую схему.
4. Построить графики и сделать выводы.
Условие стационарности: 
Условие нормировки: 
Уравнения Колмогорова:
P(AB*0A) = -(η1 + θ + λ) P(AB*0A) + σ P(A*B0B) + θ P(A*B*0A(A)) + η2 P(AB0A) + μ1 P(AB*1A)
P(AB*1A) = -( η1 + μ1 + θ + λ) P(AB*1A) + λ P(AB*0A) + θ P(A*B*1A(A)) + μ1 P(AB*2A) + η2 P(AB1A)
P(AB*2A) = -( η1 + μ1 + θ + λ) P(AB*2A) + λ P(AB*1A) + μ1 P(AB*3A) + η2 P(AB2A)
P(AB*3A) = -( η1 + μ1 + θ + λ) P(AB*3A) + λ P(AB*2A) + μ1 P(AB*4A) + η2 P(AB3A)
P(AB*4A) = -( η1 + μ1 + θ) P(AB*4A) + λ P(AB*3A) + η2 P(AB4A)
P(AB0A) = -( η2 + λ + η1 ) P(AB0A) + θ P(AB*0A) + μ1 P(AB1A) + θ P(A*B0A)
P(AB1A) = -( μ1 + η2 + λ + η1) P(AB1A) + θ P(AB*1A) + μ1 P(AB2A) + θ P(A*B1A) + λ P(AB0A)
P(AB2A) = -( μ1 + η2 + λ + η1) P(AB2A) + θ P(AB*2A) + μ1 P(AB3A) + λ P(AB1A)
P(AB3A) = -( μ1 + η2 + λ + η1) P(AB3A) + θ P(AB*3A) + μ1 P(AB4A) + λ P(AB2A)
P(AB4A) = -( μ1 + η2 + η1) P(AB4A) + θ P(AB*4A) + λ P(AB3A)
P(A*B0A) = -( σ + θ+ η2) P(A*B0A) + η1 P(AB0A) + μ1 P(A*B1A) + θ P(A*B*0A(B))
P(A*B1A) = -( μ1 + θ+ η2) P(A*B1A) + η1(P(AB1A)+ P(AB2A)+ P(AB3A)+ P(AB4A)) + θ P(A*B*1A(B))
P(A*B*0A(A)) = -(θ) P(A*B*0A(A)) + η2 P(A*B0A) + μ1 P(A*B1A)
P(A*B*1A(A)) = -( μ1 + θ) P(A*B*1A(A)) + η2 P(A*B1A)
P(A*B*0A(B)) = -(θ) P(A*B*0A(B)) + η1 P(AB*0A) + μ1 P(A*B*1A(B))
P(A*B*1A(B)) = -( μ1 + θ) P(A*B*1A(B)) + η1(P(AB*1A) + P(AB*2A) + P(AB*3A) + P(AB*4A))
P(A*B0B) = -( η2 + λ + θ) P(A*B0B) + σ P(A*B0A) + θ P(A*B*0B(B)) + μ2 P(A*B1B) + η1 P(AB0B)
P(A*B1B) = -( μ2 + η2 + λ + θ) P(A*B1B) + λ P(A*B0B) + μ2 P(A*B2B) + η1 P(AB1B)
P(A*B2B) = -( μ2 + η2 + λ + θ) P(A*B2B) + λ P(A*B1B) + μ2 P(A*B3B) + η1 P(AB2B)
P(A*B3B) = -( μ2 + η2 + θ) P(A*B3B) + λ P(A*B2B) + η1 P(AB3B)
P(AB0B) = -( η1 + λ+ η2) P(AB0B) + θ P(A*B0B) + μ2 P(AB1B) + θ P(AB*0B)
P(AB1B) = -( μ2 + η1 + λ+ η2) P(AB1B) + θ P(A*B1B) + μ2 P(AB2B) + λ P(AB0B)
P(AB2B) = -( μ2 + η1 + λ + η2) P(AB2B) + θ P(A*B2B) + μ2 P(AB3B) + λ P(AB1B)
P(AB3B) = -( μ2 + η1 + η2) P(AB3B) + θ P(A*B3B) + λ P(AB2B)
P(AB*0B) = -( σ+ θ + η1) P(AB*0B) + η2(P(AB0B)+ P(AB1B)+ P(AB2B)+ P(AB3B)) + θ P(A*B*0B(A))
P(A*B*0B(A)) = -(θ) P(A*B*0B(A)) + η2(P(A*B0B)+ P(A*B1B)+ P(A*B2B)+ P(A*B3B))
P(A*B*0B(B)) = -(θ) P(A*B*0B(B)) + η1 P(AB*0B)
Коэффициент готовности:
Kг = P(AB*0A) + P(AB*1A) + P(AB*2A) + P(AB*3A) + P(AB*4A) + P(AB0A) + P(AB1A) + P(AB2A) + P(AB3A) + P(AB4A) + P(A*B0B) + P(A*B1B) + P(A*B2B) + P(A*B3B) + P(AB0B) + P(AB1B) + P(AB2B) + P(AB3B)
Вероятность потерь:
Pпот = P(AB4A) + P(A*B1A) + P(A*B*1A(A)) + P(A*B*1A(B)) + P(AB4A)
+ P(AB3A)
+ P(AB2A)
+ P(AB*4A)
+ P(AB*3A)
+ P(AB*2A)
+ P(AB3B) + P(A*B3B) + P(AB3B)
+ P(AB2B)
+ P(AB1B)
+ P(A*B3B)
+ P(A*B2B)
+ P(A*B1B)
Разработка программы:
Система уравнений преобразована в матрицу в виде таблицы Excel с занесенными в нее коэффициентами при соответствующих вероятностях, а так же исходными данными.
Решение системы уравнений производится методом Гаусса при помощи макроса на языке программирования VBA.
Исходный код программы:
Sub Gauss()
im SelRange As Range
Set SelRange = ActiveWinow. RangeSelection
im P() As ouble
Reim P(1 To SelRange. Rows. Count)
im Factor, Numerator As ouble
im i, j, k As Integer
'все пустые ячейки = 0
For i = 1 To SelRange. Columns. Count
For j = 1 To SelRange. Rows. Count
If SelRange(j, i) = "" Then
SelRange(j, i) = 0
En If
Next j
Next i
'прямой ход
For i = 1 To SelRange. Columns. Count - 2
For j = i + 1 To SelRange. Rows. Count
If Not SelRange(j, i) = 0 Then
Factor = - SelRange(j, i) / SelRange(i, i)
For k = i To SelRange. Columns. Count
SelRange(j, k) = SelRange(j, k) + Factor * SelRange(i, k)
Next k
En If
Next j
Next i
'обратный ход
For j = SelRange. Rows. Count To 1 Step -1
Numerator = SelRange(j, SelRange. Columns. Count)
For i = SelRange. Columns. Count - 1 To j + 1 Step -1
Numerator = Numerator - SelRange(j, i) * P(i)
Next i
P(j) = Numerator / SelRange(j, i)
Next j
'вывод массива P
For i = 1 To SelRange. Columns. Count - 1
SelRange(SelRange. Rows. Count + 1, i) = P(i)
Next i
En Sub
Анализ результатов:
λ = | 0,3 | μ1 = | 0,8 | μ2 = | 0,7 | θ = | 0,2 | η1 = | 0,3 | η2 = | 0,2 | σ = | 0,2 |
Выбрав значения исходных данных, удовлетворяющие условиям стационарности, и выполнив макрос, предварительно выделив в таблице матрицу коэффициентов соответствующей системы уравнений, были получены следующие значения вероятностей состояний, а так же коэффициента готовности и вероятности потерь:
P(AB*0A) = | 0,064212 | Kг = | 0,392649 | |
P(AB*1A) = | 0,015794 | |||
P(AB*2A) = | 0,003874 | Pпот = | 0,1444073 | |
P(AB*3A) = | 0,000967 |
| ||
P(AB*4A) = | 0,000261 |
| ||
P(AB0A) = | 0,047442 |
| ||
P(AB1A) = | 0,013336 |
| ||
P(AB2A) = | 0,003428 |
| ||
P(AB3A) = | 0,000886 |
| ||
P(AB4A) = | 0,000245 |
| ||
P(A*B0A) = | 0,072212 |
| ||
P(A*B1A) = | 0,00602 |
| ||
P(A*B*0A(A)) = | 0,077028 |
| ||
P(A*B*1A(A)) = | 0,001204 |
| ||
P(A*B*0A(B)) = | 0,121393 |
| ||
P(A*B*1A(B)) = | 0,006269 |
| ||
P(A*B0B) = | 0,107907 |
| ||
P(A*B1B) = | 0,032214 |
| ||
P(A*B2B) = | 0,009854 |
| ||
P(A*B3B) = | 0,003257 |
| ||
P(AB0B) = | 0,061281 |
| ||
P(AB1B) = | 0,019433 |
| ||
P(AB2B) = | 0,006174 |
| ||
P(AB3B) = | 0,002086 |
| ||
P(AB*0B) = | 0,069202 |
| ||
P(A*B*0B(A)) = | 0,153232 |
| ||
P(A*B*0B(B)) = | 0,100793 |
| ||
Графики зависимостей
μ1 = | 0,8 | 0,81 | 0,82 | 0,83 | 0,84 |
|
Kг = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
|
| ||||||
|
| |||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
λ = | 0,3 | 0,29 | 0,28 | 0,27 | 0,26 |
|
Kг = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
|
| ||||||
|
| |||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
θ = | 0,2 | 0,19 | 0,18 | 0,17 | 0,16 |
|
Kг = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
|
| ||||||
|
| |||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
σ = | 0,2 | 0,19 | 0,18 | 0,17 | 0,16 |
|
Kг = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
|
| ||||||
|
| |||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
|
η2 = | 0,2 | 0,19 | 0,18 | 0,17 | 0,16 |
Pпот = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| |||||
λ = | 0,3 | 0,29 | 0,28 | 0,27 | 0,26 |
Pпот = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| |||||
θ = | 0,2 | 0,19 | 0,18 | 0,17 | 0,16 |
Pпот = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| |||||
σ = | 0,2 | 0,19 | 0,18 | 0,17 | 0,16 |
Pпот = | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| |||||
Выводы:
В ходе курсовой работы были выявлены следующие зависимости: коэффициент готовности прямо пропорционален интенсивности решения, интенсивности восстановления и интенсивности переключения, и обратно пропорционален интенсивности поступления заявок и интенсивности отказа; вероятность потерь увеличивается с увеличением интенсивности отказа, интенсивности поступления заявок и интенсивности переключения, и уменьшается с увеличением интенсивности восстановления.
