Исследование колебаний трехслойной пластины

На правах рукописи

БОГДАНОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ

ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель:	доктор технических наук, профессор
Официальные оппоненты:	доктор технических наук, профессор кандидат физико-математических наук, доцент
Ведущая организация:	Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций им. - филиал »

Защита состоится 26 ноября 2009 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете г. Москва, Ярославское шоссе, ауд. № 000 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан “____” ___________ 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики, развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства.

Пластины, как плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных приоритетных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.

Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин, привлеченной к решению новых уравнений движения, а также использование новых формулировок краевых задач, является актуальной и перспективной проблемой.

Цель работы. Вывод общих уравнений собственных продольных и поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач.

На защиту выносятся.

1. Вывод уравнений общих и приближенных поперечных и продольных

колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

2.  Определение интервалов сходимости рядов, определяющих общие

уравнения.

3.  Получение конечных приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний трехслойных пластин.

4.  Решение конкретных прикладных задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Описывается общая постановка задачи о колебании изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

2. Получено общее уравнение поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

3. Получены приближенные уравнения поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

4. Получено общее уравнение продольных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

5. Получены приближенные уравнения продольных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

6. Исследуются пределы применимости приближенных уравнений
поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины.

Решены следующие прикладные задачи:.

1. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, шарнирно закрепленной
по контуру.

2. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, жёстко закрепленной
по контуру.

3. Выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен.
Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.

4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления (вывод уравнения с помощью метода декомпозиций).

5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения).

6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления.

7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен.

8. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия.

9. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шарнирно опертой по контуру.

Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний изотропной трехслойной прямоугольной пластины к актуальным прикладным задачам.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.

Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освящены в трех статьях, а также докладывались на международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы»

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, общим объемом 105 страниц, в том числе 9 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается тема диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.

Обзор работ посвящен современному состоянию вопросов о распространении волн в упругих и вязкоупругих средах, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов по распространению волн и теориям колебаний пластин.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом. Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.

Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.

В динамике пластин метод степенных рядов применял

Впоследствии дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: , , Г. Кольский, Р. Кристенсен, , А. Ляв, , , и другие.

Теории колебаний, основанные на модели , основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.

. В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач и переработанный и для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Эти методы отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.

Первая глава посвящена выводу уравнений продольных и поперечных колебаний изотропных прямоугольных трехслойных пластин постоянной толщины методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах теории упругости с последующим привлечением известных, стандартных интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

1. Общая постановка задачи о колебаниях трехслойной пластины специального вида

В декартовой системе координат рассматривается однородная изотропная вязкоупругая трехслойная пластина специального вида, т. е. когда внешние два слоя имеют одинаковую толщину и состоят из одного и того же материала, а внутренний слой – из другого материала и его толщина отлична от толщины внешних слоев.

Для такой трехслойной пластины возможны чисто поперечные и продольные колебания, такие пластины находят широкое применение в технике и, особенно, в строительстве.

Параметры внутреннего слоя будем обозначать индексом , а внешних слоев – индексом . Внутренний слой имеет толщину , а внешний слой – толщину

При формулировке задачи о колебании трехслойной пластины частного вида будем ее рассматривать как трехслойный слой той же геометрии.

Зависимость напряжений от деформаций в точках краев принимаем в виде:

; , (1.1.1)

где операторы и типа

(1.1.2)

- объемные деформации, - ядра вязкоупругих операторов,

- упругие постоянные.

С введением потенциалов и продольных и поперечных волн

, (1.1.3)

где векторный потенциал удовлетворяет условию соленоидальности (1.1.4)

уравнения движения материалов слоев принимают вид:

, - оператор Лапласа. (1.1.5)

При формулировке граничных условий будем предполагать, что плоскости раздела слоев находятся в жестком контакте, а нижняя и верхняя поверхности трехмерного слоя есть плоскости .

На внешних поверхностях трехмерного слоя задаются при усилия

; (1.1.6)

На поверхностях внутренних слоев

при (1.1.7)

Начальные условия будем считать нулевыми, т. е.

(1.1.8)

Начальные условия адекватны начальным условиям для перемещений при

(1.1.9)

В граничных условиях (1.1.6), функции , определяющие внешние усилия, приложенные к плоскостям , будем искать в классе функций, представленных в виде

(1.1.10)

где - разомкнутый контур в плоскости , при этом несобственные интегралы, входящие в эти представления для внешних усилий, существуют при условии, что параметры преобразований Фурье по координатам и Лапласа по времени удовлетворяют неравенствам

, где - конечные величины.

Условия, налагаемые на ограничивают длины волн и волновые числа функций внешних усилий, т. е. высокочастотные составляющие внешних усилий отсутствуют или их амплитуды пренебрежимо малы.

Функции , , удовлетворяющие уравнению (1.1.5) будем представлять в виде:

(1.1.11)

Подставим (1.1.11) в уравнение (1.1.5), для и . Это возможно лишь в том случае, если и сколь угодно малы вне области ; ; , тогда получаем

(1.1.12)

Здесь

(1.1.13)

при этом и - преобразованные по Лапласу операторы и .

Общие решения уравнения (1.12) имеют вид:

(1.1.14)

где могут принимать как промежуточные значения внутри себя, так и совпадать с какой-либо поверхностью раздела слоев, постоянным интегрированием в силу (1.1.14) удовлетворяют уравнению:

(1.1.15)

В общем решении (1.1.14) гиперболические функции представим в виде степенных рядов и используя известные соотношения между и , получим выражения (1.1.16):

Вместо постоянных интегрирования введем новые:

(1.1.17)

Переходя от к с учетом условий (1.1.14), для , а затем сделав обратные преобразования по k, q,p:

Для истинных смещений точек слоев, получим выражения:

(1.1.18)

где операторы и равны

и получены после обращения величин по (из равенства 1.1.13).

Операторы и описывают распространение продольных и поперечных волн в плоскостях .

Выражения (1.1.18) для смещений получены при решении уравнений (1.1.5) с учетом нулевых начальных условий (1.1.9), они являются общими решениями задачи Коши, причем выражены через шесть произвольных функций для каждого из слоев.

Зная выражения для смещений из выражений (1.1.1), получим определение для напряжений

Подставим значения напряжений в граничные условия, получим систему интегродифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций в общем решении.

Полученная система и будет описывать в общем случае, колебания слоистой среды или слоистой пластины.

2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины специального вида

В данной задаче искомые функции, введенные в п.1 для внутреннего слоя определяют поведение точек ее срединной плоскости, а для внешних слоев по плоскостям контакта с внутренним слоем.

Искомые функции для внешних слоев можно выразить через искомые функции для внутренних слоев из граничных условий по поверхностям контакта слоев в виде (1.2.1):

Известно, что поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям

(1.2.2)

Тогда в выражениях общего решения (1.1.14) неизвестные постоянные

В этом случае функции смещений и напряжений можно представить в виде:

(1.2.3)

(1.2.4)

Используя соотношения (1.2.4) и граничные условия (1.1.6) и (1.1.7) получим систему уравнений:

где - функции от (1.2.5) Полученная система является общими уравнениями поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины.

3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины

Взяв за основу неизвестную величину, поперечное смещение точек срединной плоскости , из уравнений (1.2.5) для получим уравнение

(1.3.1)

Уравнение (1.3.1) содержит производные любого порядка, ясно, что такое уравнение практически невозможно применять при решении конкретных задач.

Если в суммах левой части уравнения (1.3.1) оставить первые два слагаемых, то получим приближенное уравнение 4-го порядка (1.3.2):

где

4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений

Общее уравнение колебания пластин содержит производные любого порядка по координатам и и времени . Поэтому, естественно, их невозможно использовать при решении конкретных прикладных задач. Отсюда возникает необходимость ограничить количество членов рядов, т. е. ограничится нулевым, первым, вторым приближением, тем самым получим дифференциальные уравнения конечного значения производных. Для правомерности таких усечений следует проверить сходимость функциональных рядов, входящих в эти уравнения.

Функции можно представить в виде рядов, тогда двойной ряд, стоящий слева в уравнении (1.3.1) и определим его интервал сходимости. Заметим, что операторы связаны неравенством , т. к. скорость продольной волны больше скорости поперечной волны, т. е. . Для усиления суммы рассматриваемого ряда заменим на , в результате имеем (1.4.1):

Используя принцип Даламбера, определим интервал сходимости этого ряда, получим:

(4.2)

Так как - есть величина сколь угодно малая, то следует, что:

(4.3)

где (4.5)

где (4.6)

Наименьший интервал определяет неравенство (4.6), если и определяет неравенство (4.5), если , учитывая, что порядок усеченного уравнения определяется суммой показателей .

5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины

Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

(1.5.1)

при этом функции ,, для внутреннего слоя обращаются в нуль, в силу симметрии процесса относительно .

Для трех оставшихся искомых функций , , внутренних сил имеем три граничных условия на верхней и нижней поверхностях при или

Вместо , ведем потенциалы , по формулам:

; (1.5.2)

Тогда для потенциалов , и функции получим систему интергрально-дифференциальных уравнений:

(1.5.3)

При продольных колебаниях чаще всего за основные искомые функции берутся потенциалы , .Коэффициенты есть бесконечные ряды. Для вывода приближенных уравнений колебаний ограничимся конечным числом слагаемых. Например, оставим только первые слагаемые и, полагая для простоты, что уравнения однородные, для , получим:

(1.5.4)

где ;

Аналогично можно получить приближенные уравнения продольного колебания любого конечного порядка по производным, ограничиваясь в рядах операторов большим числом слагаемых.

Вторая глава посвящена решению задач о собственных колебаниях изотропной прямоугольной трехслойной пластины постоянной толщины имеющей различные граничные условия.

Используем уравнение (1.3.2) в виде (2.0.0):

, где

,

- скорость поперечной волны, - коэффициент Пуассона, - плотность.

Используя уравнение для различных граничных условий получены следующие результаты

1. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, шарнирно закрепленной
по контуру.

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

(2.1.1)

Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде:

(2.1.2)

где - безразмерная частота собственных колебаний пластинки,

Подставляя (2.1.2) в (2.1.1) получим частотное уравнение вида:

, где (2.1.3)

2. Получено уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, жёстко закрепленной
по контуру.

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

(2.2.1)

Решение уравнения (2.0.0) будем искать в виде:

(2.2.2)

где - безразмерная частота собственных колебаний пластинки,

Тогда уравнение (2.0.0) для примет вид: , (2.2.3)

где

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

(2.2.4)

В новых координатах уравнение (2.2.3) запишется в виде:

(2.2.5)

где

Для вывода частотного уравнения воспользуемся уравнением (2.0.0) и граничными условиями (2.2.1), записанных в координатах (2.2.4).

Для решения задачи воспользуемся методом декомпозиций, тогда вспомогательные задачи запишутся в виде:

1. (2.2.6)

2. (2.2.7) 3. (2.2.8)

Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать

в заданных точках пластинки. (2.2.9)

Здесь - произвольные функции, которые в общем случае представим в виде: (2.2.10)

где произвольные постоянные, i=1,2.

Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде (2.2.11):

где и - произвольные функции.

Для определения произвольных функций и воспользуемся граничными условиями (2.2.6) и (2.2.7), тогда частотное уравнение примет вид (2.2.12):

где

3.1.Выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний изотропной прямоугольной трехслойной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край жестко закреплен.
Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

(2.3.1)

Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:

где (2.3.2)

3.2. Решение аналитическим методом.

Решение уравнения (2.0.0) будем искать в виде:

(2.3.2.1)

Подставляя (2.3.2.1) в уравнение (2.0.0), для получим уравнение:

, (2.3.2.2)

где, где

Общее решение уравнения (2.3.2.2) запишем в виде:

(2.3.2.3)

где - постоянные интегрирования, а - корни характеристического уравнения: (2.3.2.4)

и равны (2.3.2.5)

Целые числа выбираются при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при , а другие граничные условия, на правом краю, при , приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебаний пластины вида:

(2.3.2.6)

Для анализа частотного уравнения (2.3.2.6) преобразуем его. Представим синусы и косинусы в виде рядов:

Тогда уравнение (2.3.2.6) эквивалентно следующему:

, где . (2.3.2.7)

Если принять, что , то величина , определенная из выражения (2.3.2.5) со знаком плюс под корнем, в ноль никогда не обращается.

Следовательно, в ноль обращается , т. е. , откуда получим частотное уравнение: (2.3.2.8)

4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепления (вывод уравнения с помощью метода декомпозиций).

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид (2.4.1):

где ,

Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:

(2.4.2)

- коэффициенты, определяемые геометрическими размерами и механическими характеристиками пластины.

Результаты расчетов уравнения (2.4.2) дают численные значения частот собственных колебаний трехслойной пластины в зависимости от указанных безразмерных параметров.

5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения).

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

(2.5.1)

Используя решение из п. 3.2, получим трансцендентное уравнение вида:

(2.5.2)

Разложив sin и cos, получаем частотное уравнение вида:

(2.5.3)

Используя значения B1 , B2 из (2.3.2.2) можно получить значения частот собственных колебаний,

6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления.

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид (2.6.1):

где ,

Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:

где (2.6.2) Результаты расчетов уравнения (2.6.2) дают численные значения частот собственных колебаний трехслойной пластины в зависимости от указанных безразмерных параметров.

7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен (пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной).

Граничные условия для данного случая имеют следующий вид:

(2.7.1)

Используя метод декомпозиций, получаем частотное уравнение вида:

(2.7.2)

- коэффициенты, определяемые геометрическими размерами и механическими характеристиками пластины.

Третья глава посвящена решению задач о вынужденных колебаниях изотропной прямоугольной трехслойной пластины постоянной толщины. Рассмотрен нормальный удар по поверхности пластины.

1. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия

По поверхности пластины происходит силовой нормальный удар в момент интенсивности , причем удар симметричен относительно координатных осей , т. е. функция является четной по и .

Приближенные уравнения в частных производных, описывающие вынужденные поперечные колебания трехслойной пластины относительно смещения срединной плоскости внутреннего слоя, для имеет вид:

(3.1.1)

Коэффициенты такие же как в предыдущей главе.

Пусть края пластины шарнирно оперты

(3.1.2)

а на двух других краях при - любые граничные условия.

Общее решение уравнения имеет вид:

(3.1.3)

где - произвольные постоянные, а так же числа определяются из оставшихся граничных и начальных условий для каждой конкретной задачи. Следует отметить, что нулевые граничные условия приводят к равенству нулю произвольных постоянных, т. е. .

2. Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины шарнирно опертой по контуру

Уравнение колебаний аналогично уравнению (3.1.1)

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

(3.2.1)

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения W0 и частного решения неоднородного уравнения W1.

Зная частоты собственных колебаний пластины общее решение однородного уравнения, можно представить в виде:

(3.2.2)

где - произвольные постоянные интегрирования - частоты собственных колебаний, .

Общее решение уравнения (3.1.1) при граничных условиях (3.2.1) будет иметь вид:

(3.2.3)

Удовлетворяя нулевым начальным условиям решение (3.2.3), получим, что .

Следовательно, решение задачи о вынужденных колебаниях пластинки шарнирно опертой по контуру имеет вид:

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1)Представлен вывод общих уравнений продольных и поперечных колебаний трехслойных пластин специального вида на основе математического подхода без использования гипотез физического и геометрического характера.

2)Получены приближенные уравнения продольных и поперечных колебаний пластины конечного порядка.

3)Исследованы пределы применимости приближенных уравнений колебаний, определен радиус сходимости.

4)Приведен фактический материал решений большого количества конкретных задач, при решении которых использовались новые формулировки граничных условий.

5)Приведены сравнения полученных решений с использованием классических граничных условий и вновь полученных, а так же приведены сравнения решения задач при использовании классических уравнений колебаний и вновь полученных уравнений.

6)Для решения задач со сложными граничными условиями представлен новый приближенный метод, метод декомпозиций.

7)Для специального вида граничных условий используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, которые после анализа преобразуются к алгебраическим частотным уравнениям.

8)Представлен анализ частотных уравнений и получены зависимости изменения частот трехслойных пластин в зависимости от материала и геометрии.

9)Выведенные формулы для определения значений частот собственных колебаний трехслойных пластин, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

10) Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики, а также могут быть применены в других областях сейсмологии, техники и т. д.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1.  Богданов частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны, а четвертый упруго соединен с вертикальной упругой пластиной. Научно-технический журнал "Промышленное и Гражданское Строительство", № 5, 2009 г. – С. 59-60.

2.  , , Богданов
частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной
пластинки, три края которой шарнирно оперты, а четвертый край жестко
закреплен. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 3, издательство АСВ, 2008 г. – С. 33-37.

3.  , , . Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины два края которой жестко закреплены а два других свободны от закрепления. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", № 2, издательство АСВ, 2009 г. – С. 36-39.