Преобразование тригонометрических выражений и их применение

Математика, 10 класс

Преобразование тригонометрических выражений и их применение

1.  Введение

В 1 номере нашего журнала за 1999 год были описаны основные методы решения тригонометрических уравнений, обычно изучаемых в средней школе. Проведен анализ присланных на проверку работ учащихся Хабаровской краевой заочной физико-математической школы. Решение некоторых тригонометрических уравнений из этого журнала были обсуждены на одном из семинаров школьников в Хабаровской краевой летней физико-математической школе (г. Находка, 2 – 21.08.1999 г.). Сообщения участников семинаров были посвящены различным способам решения. Для решения некоторых уравнений было предложено до пяти способов решения.

В настоящей статье речь пойдет об умении применять тригонометрические преобразования. Первые задания – это типовые задачи. Вторые номера требуют дополнительных усилий.

2.  Доказательства тригонометрических тождеств с использованием формул сокращенного умножения и формул, связывающих между собой основные тригонометрические функции

Пример 2.1.

Доказать справедливость тождества

.

Доказательство.

.

Что и требовалось доказать.

3.  Преобразования, приводящие искомое тригонометрическое выражение к виду, содержащее только табличные значения тригонометрических функций

Пример 3.1.

Вычислить без таблиц .

Решение.

.

Ответ: значение равно (-1).

4.  Вычисление значений одной тригонометрической функции по известному значению другой тригонометрической функции

Пример 4.1.

Зная, что , найти .

Решение.

Ответ: значение равно .

5.  Некоторые методы решения тригонометрических уравнений

Метод разложения на множители преобразования тригонометрических уравнений к совокупности ПТУ. (МРМ).

Пусть с помощью тригонометрических преобразований при контроле за областью определения уравнение f(х)=0, (5.1)

где f(х) — тригонометрическое выражение, сводится к виду f1(х)×f2(х)×… …×fn(х)=0.

Тогда всякое решение уравнения (5.1) является решением совокупности уравнений

f1(х)=0; f2(х)=0; …;fn(х)=0, (5.2)

где fi(х)=0, i=1,2,…,n — это ПТУ.

Обратное утверждение неверно: не всякое решение совокупности уравнений (5.2) является решением уравнения (5.1). Из найденных корней совокупности (5.2) уравнению (5.1) удовлетворяют те, и только те значения х, которые принадлежат области определения уравнения (5.1).

Метод введения новых переменных.

МВНП позволяет преобразовать исходное тригонометрическое уравнение в другой тип уравнений, метод решения которых более известен и в каком-то смысле стандартен. При этом важен выбор основного выражения, через которое выражаются остальные части уравнения. Удобнее сводить к виду, когда также зависимости являются рациональными. В частности обозначим через R(cosx, sinx) рациональное выражение относительно cosx и sinx, то есть выражение, получающееся из cosx и sinx и постоянных с помощью операций сложения, умножения и деления.

МВНП (sinaÈcosa). Рассмотрим уравнение вида R(cosx, sinx)=0.

В некоторых случаях удается свести такое уравнение к рациональному уравнению относительно sinx или cosx. Иногда удобно руководствоваться следующим правилом выбора подстановки. Если cosx входит в уравнение в четных степенях, то заменяя всюду cos2x на 1-sin2x, получим рациональное уравнение относительно sinx. Если же sinx входит в уравнение лишь в четных степенях, то замена sin2x на 1-cos2x приводит уравнение к рациональному виду относительно cosx.

МВНП (tga). Введем специальные классы тригонометрических уравнений R(sinx, cosx)=0.

Однородным тригонометрическим уравнением 1-ой степени называется уравнение вида: a×sinx+b×cosx=0 (5.3)

Пусть, например, а¹0. Тогда уравнению на удовлетворяет те х, для которых cosx=0. Поделив на cosx обе части уравнения получим уравнение

a×tgx+b=0.

Однородным уравнением 2-ой степени называется уравнение вида:

a×sin2x+b×sinx×cosx+c×cosx=0.

Пусть, например, а¹0. Аналогично уравнению 1-ой степени делим на cos2x. Тогда получим уравнение a×tg2x+b×tgx+c=0, (5.4)

которое решается заменой z=tgx.

УТП. Универсальная тригонометрическая подстановка. Это подстановка . Она позволяет свести к рациональному уравнению любое уравнение R(sinx, cosx)=0. Если х¹p+2pk, kÎZ, то справедливы тождества

(5.5)

После решения надо проверить отдельно являются ли х=p+2pk, kÎZ, решениями исходного уравнения.

МВУ. Метод вспомогательного угла.

Решим уравнение sinx+7cosx=5 следующим способом. Разделив обе части на , получим:

(5.6)

Так как , то существует такое значение j, что , где — вспомогательный угол (или ). Теперь уравнение (5.6) легко переписать в виде

или .

Отсюда .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М10.7.1. Доказать справедливость тождества.

М10.7.2. Доказать, что если , то .

М10.7.3. Вычислить без использования таблиц

М10.7.4.

М10.7.5. Вычислить , если .

М10.7.6. Сумма трех положительных чисел a, b, g равна . Вычислить произведение , если известно, что , , образуют арифметическую прогрессию.

М10.7.7. Решить уравнения, сводя их к алгебраическим относительно одной тригонометрической функции:

a) ;

б) .

М10.7.8. Решить уравнения сведением к однородному:

а) ;

б) найти решение уравнения при всех действительных значениях а.

М10.7.9. Метод вспомогательного угла:

а) ;

б) найти все решения уравнения .

М10.7.10. Метод универсальной тригонометрической подстановки :

а) ;

б) .

М10.7.11. Сведение к уравнению относительно неизвестного :

а) ;

б) найти решение уравнения при всех действительных а.

М10.7.12. Метод понижения степени по формулам половинного аргумента:

а) ;

б) .