Контрольная работа (вариант № 5)
Задание №1.
Исследовать по общей схеме функцию и схематично построить её график:
.
Решение:
1. Область определения функции D(y): 1-x>0; x<1. То есть D(y)=(-∞;1).
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (т. е. общего вида).
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
Полагаем y=0
1- x = 1
x = 0
Получим единственную точку (0;0).
4. Точки экстремума; промежутки возрастания и убывания функции:
.
; х – нет решений.
Нет точек экстремума. Функция убывает при 
.
5. Точки перегиба; выпуклость функции:
.
; 
; х – нет решений.
Точек перегиба нет. Функция выпукла вниз при .
6. Вертикальная асимптота: х=1; горизонтальная асимптота: y=-1.
7. Дополнительные точки:
y(-1)=
у(-3)=1/2-1=-0,5.
По полученным в пунктах 1-7 данным построим график:
Задание №2.
Найти частные производные 
и 
для функции z(x, y), заданной неявно
.
Решение:
1. Найдем :
= - 1 или 
2. Найдем :
= - 1 или 
Ответ: ; .
Задание №3.
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением 
в точке М0 (1, 1, 3).
Решение:
1. Касательная плоскость задается уравнением вида: 
.
В данном случае 
.
; 
; 
.
Подставим данные в уравнение касательной плоскости:
- уравнение касательной плоскости.
2. Нормаль к поверхности задается уравнением вида: 
Подставим исходные данные: 
.
Ответ: ; .
Задание №4.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Решение:
Изобразим в системе координат заданную область:
1. 
, то есть 
; 
, то есть 
. Значит стационарных точек внутри области нет.
2. Исследуем функцию на границе:
а) 
, тогда 
, 
б) 
, тогда 
, 
в) 
, тогда 
,
г) 
, тогда 
, .
Таким образом, стационарных точек нет и на границе.
4. Вершины области: (0;0), (0;1), (-1;1), (-1;0).
5. 
Ответ: 
; 
.
Задание №5.
Вычислить интегралы
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
Решение:
а) 
б) 
Пусть 
, тогда 
, откуда 
. Получим:
.
в) Пусть 
, тогда 
или 
, откуда 
.
Пределы интегрирования также изменятся: 
. Получим:
.
г) Рассмотрим дробь 
.
Представим дробь 
в виде суммы простейших дробей:
Тогда 
, следовательно 
.
Получим
Ответ: а) 
; б) 
; в) 1/5 ; г) 
Задание №6.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: 
.
Решение:
Изобразим множество, ограниченное линиями :
(куб. ед.)
Ответ: 
(куб. ед.)
Задание №7.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 
.
Решение:
Изобразим фигуру, ограниченную линиями :
|
|
.
(кв. ед.)
(кв. ед.)
S = 27 – 9 = 18 (кв. ед.)
Ответ: 18 кв. ед.
Задание №8.
Решить дифференциальные уравнения:
а) 
; б) 
.
Решение:
а)
, где 
б)
Ответ: а) ; б) .
Задание №9.
Найти решение задачи Коши: 
, 
.
Решение:
Данное уравнение является линейным.
Интегрируем по частям:
Получим: 
.
Найдем неизвестный коэффициент С из начального условия :
.
Получим решение задачи Коши: 
.
Ответ: 
Задание №10.
Решить однородное дифференциальное уравнение: 
, если 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
,
его корни: 
.
Тогда общее решение имеет вид: 
.
Найдем С1 и С2 из начальных условий. Для этого предварительно вычислим производную:
.
,
.
Тогда искомое решение: 
.
Ответ: .
Задание №11.
Решить неоднородное дифференциальное уравнение: 
.
Решение:
Найдем общее решение Y соответствующего однородного уравнения 
.
Для этого составим и решим характеристическое уравнение:
Тогда общее решение имеет вид: 
.
Найдем частное решение 
исходного неоднородного уравнения.
Так как правая часть имеет вид 
, где
, тогда частное решение будем искать в виде
, где r – число корней характеристического уравнения, совпадающих с числом 
, значит r = 0;
, то есть 
.
Таким образом, 
.
.
Подставим , 
и 
в исходное уравнение:
Отсюда следует, что
4A + 2B = 0 2A + B = 0 B = -2A 7A = 1 A = 1/7
-2A + 6B = -2 A – 3B =1 A + 6A = 1 B = -2A B = -2/7
.
Тогда решением неоднородного уравнения будет являться функция 
, т. е.
.
Ответ: .
