Построение системы асимптотической оценки по наблюдениям с запаздыванием

§ 7. Построение системы асимптотической оценки

по наблюдениям с запаздыванием

1. Стабилизация системы с неполной информацией по n наблюдениям.

В предыдущем параграфе предполагалось, что для построения стабилизирующего управления известны все компоненты векторов , т. е рассматривалась задача построения управления в условиях полной информации. Изучим теперь другой случай. Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему

(1)

где размерность вектора состояний равна , а размерность вектора управлений равна , причём . Рассмотрим также систему наблюдений, которая доставляет информацию о состояниях вектора , предшествующих текущему моменту . Пусть эта система имеет вид

(2)

Здесь - скалярные величины; - постоянная вектор-строчка; знак обозначает транспонирование; - постоянное запаздывание.

Определение 1. Систему вида

(3)

будем называть системой асимптотической оценки для системы (1), если вектора-столбцы выбраны так, что для решений систем (1) и (3) выполняется условие

при . (4)

Выведем условия, при которых система асимптотической оценки (3) существует. Введём новую переменную . Для новой переменной условие (4) перепишется в виде

при . (5)

Вычтем теперь почленно из системы (3) систему (1), тогда, с учётом (2), получим

(6)

Условие (5) означает, что вектора-столбцы выбираются так, чтобы система (6) была асимптотически устойчивой.

Рассмотрим вспомогательную управляемую систему

, (7)

где - скалярное управление, . Система (7) имеет ту же структуру, что и система (1) предыдущего параграфа, поскольку - вектор-столбец. Будем считать, что система (7) удовлетворяет теореме из предыдущего параграфа, то есть является полностью управляемой и собственные числа матрицы подчинены условию . Тогда для системы (7) существует стабилизирующее управление вида

, (8)

которое можно построить по алгоритму, изложенному в параграфе 6. Пусть управление (8) построено; подставим его во вспомогательную систему (7).

. (9)

По построению управления (8), система (9) асимптотически устойчива, значит, все корни её характеристического уравнения

(10) имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим теперь характеристическое уравнение системы (6)

. (11)

Если здесь выбрать , где , то матрицы в уравнениях (10) и (11) будут взаимно транспонированы, следовательно, их собственные числа будут совпадать (рассматриваются только вещественные матрицы). Но тогда и все корни уравнения (11) будут иметь отрицательные вещественные части, т. е. условие (5) будет выполнено. Следовательно, система

(12)

будет являться системой асимптотической оценки.

Пример. Построить систему асимптотической оценки, если и

Решение. Запишем систему (7). Получим

По алгоритму предыдущего параграфа построим управление вида

стабилизирующее нулевое решение уравнения к которому приводится система. Оба собственных числа матрицы системы равны 1, так что условие выполнено. Рассмотрим уравнение Пользуясь рассуждениями параграфа 6, выберем, например, и вычислим коэффициенты управления. Получим . Далее, величина и компоненты вектора связаны соотношением где Окончательно, стабилизирующее управление для исходной системы получится в виде Таким образом, для искомой системы асимптотической оценки определены вектора-столбцы .

Покажем теперь, что вектор из системы (12) может быть использован для построения управления, стабилизирующего систему (1).

Сделаем относительно системы (1) ещё одно предположение: пусть она стабилизируема управлением , как система с полной информацией. Это означает, что для матриц и существует такая постоянная матрица , что все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части. Построим эту матрицу, и покажем, что управление

(13) стабилизирует систему (1). Сначала объединим системы (1) и (12) в общую систему размерности .

(14)

Подставим в эту систему управление (13)

. (15)

Введём опять переменную и исключим из системы (15) переменную .

. (16)

Преобразованная система будет иметь вид

. (17)

Вектор при по построению системы (16). Но и вектор при , по построению матрицы . Итак, система, замкнутая управлением (13), становится асимптотически устойчивой. Значит, управление (13) стабилизирует систему (14), а следовательно, и систему (1), как её составную часть.

Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть для системы (1) выполнены следующие условия:

·  Система (1) стабилизируема управлением , как система с полной информацией.

·  .

·  Система (7) полностью управляема.

Тогда система (1) стабилизируема по наблюдениям (2), как система с неполной информацией.

Следствие. Последнее условие теоремы может быть заменено на более слабое.

Действительно, для решения задачи необходимо найти стабилизирующее управление для системы (7); но это может быть сделано и в случае, когда система (7) не является полностью управляемой. Пусть система (7) не полностью управляема, тогда существует неособое линейное преобразование, которое разбивает эту систему на полностью управляемую и неуправляемую части

. (18)

Будем считать, что размерность управляемой части системы (18) равна , а неуправляемой - . Пусть все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, а собственные числа матрицы удовлетворяют условию . Тогда система (18) стабилизируема управлением вида

. (19)

Положим при . Проделывая теперь обратное преобразование, т. е. переходя снова к переменной , построим управление, стабилизирующее систему (7), которое может быть представлено в виде (8). Дальнейшие рассуждения и выбор величин в системе (3) проводятся аналогично.

2. Стабилизация системы с неполной информацией по одному наблюдению.

Количество наблюдений в предыдущем пункте равнялось порядку системы (1), т. е. было, вообще говоря, достаточно велико. Выясним, при каких условиях решается задача построения стабилизирующего управления, когда есть только одно наблюдение.

Пусть для системы

(1)

наблюдение имеет вид

(20)

где - скалярная величина, - вектор-строчка. Как и в предыдущем пункте параграфа найдём условия, при которых существует система асимптотической оценки. Её будем искать теперь в следующем виде:

, (21)

где вектор-столбец нужно выбрать так, чтобы при всех начальных данных выполнялось условие при . Введём опять переменную и после почленного вычитания системы (1) из системы (21) получим:

, (22)

и условие при . Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте, заключаем, что задача выбора столбца эквивалентна задаче стабилизации вспомогательной системы

(23)

управлением, линейным относительно величины . Здесь .

Пусть система (23) полностью управляема, и пусть характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

(24)

Введем две матрицы.

;

При сделанных предположениях обе эти матрицы не особые. В системе (23) сделаем замену переменных по формуле , где - новый искомый вектор. Преобразованная система запишется в виде

, (25)

матрица и вектор будут иметь следующий вид:

Замечание: у матрицы все элементы над главной диагональю равны 1.

Будем теперь строить стабилизирующее управление для системы (25) в виде

(26)

Подставим управление (26) с неопределёнными величинами в систему (25) и выпишем характеристическое уравнение полученной замкнутой системы. Оно будет иметь вид:

(27)

Теперь нужно выбрать величины так, чтобы все корни уравнения (27) имели отрицательные вещественные части. Для этого рассмотрим произведение полинома -го порядка и квазиполинома первого порядка

(28)

Раскрывая в этом произведении скобки, мы получим в левой части квазиполином той же структуры, что и левая часть выражения (27). При этом коэффициенты квазиполиномов (27) и (28) будут связаны следующими двумя системами соотношений

(29)

(30)

Выясним, в каком случае можно выбрать величины так, чтобы левые части равенств (27) и (28) совпали. Из системы (29) получим:

Но из первого уравнения системы (29) следует, что . Отсюда следует, что

или Таким образом число удовлетворяет уравнению (24), т. е. это собственное число матрицы . Предположим, что матрица имеет вещественное собственное число, удовлетворяющее условию . Следовательно, всегда возможно найти вещественное число , так что все корни квазиполинома первого порядка будут иметь отрицательные вещественные части. Будем считать, что числа и уже построены. Зная величины , построим величины . Теперь рассмотрим полином и, пользуясь любым известным критерием устойчивости полиномов, выясним, где расположены его корни. Если все они лежат в левой открытой полуплоскости на комплексной плоскости, то по набору и числу найдём числа , пользуясь соотношениями (30).

Заметим, что проведённое построение не является однозначным. Во-первых, матрица может иметь несколько вещественных собственных чисел, удовлетворяющих условию. Во-вторых, для каждого такого числа существует целый интервал значений числа , для которых все корни квазиполинома первого порядка будут иметь отрицательные вещественные части.

Итак, пусть числа построены. Тогда квазиполином (27) можно представить в виде произведения (28) устойчивого квазиполинома первого порядка и устойчивого полинома -го порядка. Следовательно, все корни квазиполинома (27) будут иметь отрицательные вещественные части. Это означает, что управление (26), стабилизирующее систему (25) построено. Делая обратную замену переменных , получаем искомое управление

, (31)

стабилизирующее систему (23). Итак, система

, (32)

где - вектор-столбец, а - вектор-строка, асимптотически устойчива. Её характеристическое уравнение имеет вид

. (33)

Характеристическое уравнение системы (22) имеет вид

. (34)

Очевидно, если выбрать , то корни уравнений (33) и (34) совпадут. При таком выборе вектора для системы (22) будет выполнено условие при . Но тогда для системы

(35)

по построению будет выполнено условие при . Значит, система (35) будет являться системой асимптотической оценки для системы (1).

Пусть теперь собственные числа неуправляемой части матрицы лежат в левой открытой полуплоскости комплексной плоскости. Тогда построим матрицу , такую что все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части. Покажем, что управление

(36) стабилизирует систему (1). Для этого объединим системы (1) и (35). Получим систему уравнений вида

. (36)

Подставим сюда управление (36), тогда получим

.

Введём переменную . Исключая из последней системы величину , получим

. (37)

Если выполнены сделанные ранее предположения, то система (37) асимптотически устойчива. Таким образом, вектор

при .

Итак, задача стабилизации системы (1) по наблюдению (20) решена и доказана следующая теорема

Теорема. Пусть для системы (1) выполнены следующие условия:

·  Система (1) стабилизируема управлением , как система с полной информацией.

·  Матрица имеет хотя бы одно вещественное собственное число, удовлетворяющее условию .

·  Система (23) полностью управляема.

·  Уравнение не имеет корней в правой полуплоскости или на мнимой оси.

Тогда система (1) стабилизируема по наблюдениям (20), как система с неполной информацией.