1. Исследовать сходимость числового ряда
Решение.
Общий член ряда 
(1.1)
При 
данный ряд знакоположительный.
Известно, что ряд 
сходится.
. (1.2)
По второй теореме сравнения, оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Так как 
сходится, то ряд 
также сходится.
Ответ: ряд сходится.
2. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение.
Общий член ряда 
. (2.1)
(2.2)
Радиус сходимости найдем по формуле 
. (2.3)
. (2.4)
Радиус сходимости равен бесконечности.
Интервал сходимости: 
. (2.5)
. (2.6)
Ответ: интервал сходимости – вся числовая ось 
.
3. Вычислить определенный интеграл 
с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно.
Решение.
Используем разложение в ряд Маклорена
(3.1)
с интервалом сходимости 
.
Подставим 
.
(3.2)
(3.3)
Получили знакочередующийся числовой ряд, остаток которого не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов.
Так как 
и 
, то с точностью до 0,001
(3.4)
Ответ: 
.
4. Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье
Решение.
Формула разложения в ряд Фурье в интервале 
. (4.1)
Определим коэффициенты разложения.
. (4.2)
При 
(4.3)
Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции на интервале, симметричном относительно начала координат.
(4.4)
Второй интеграл – от чётной функции.
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Второй интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции на интервале, симметричном относительно начала координат.
(4.8)
Первый интеграл – от чётной функции – найдём с помощью интегрирования по частям:
. (4.9)
(4.10)
. (4.11)
(4.12)
. (4.13)
Ответ: 
в интервале .
5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение.
Разделим обе части уравнения на 
.
. (5.1)
Это однородное уравнение.
Подстановка 
. (5.2)
. (5.3)
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. (5.4)
(5.5)
Общий интеграл уравнения:
(5.6)
(произвольную постоянную представили в виде 
).
. (5.7)
Обратная замена 
.
(5.8)
Ответ: общее решение 
.
6. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям
Решение.
Дано неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами
. (6.1)
Соответствующее однородное уравнение 
. (6.2)
Характеристическое уравнение
(6.3)
имеет два различных действительных корня 
.
Общее решение однородного уравнения
. (6.4)
Правая часть 
(6.5)
имеет специальный вид. Уравнение имеет частное решение вида
. (6.6)
Найдем 1-ю и 2-ю производные и подставим в уравнение.
(6.7)
(6.8)
(6.9)
Приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и правой части.
.
Частное решение 
. (6.10)
Общее решение данного уравнения
. (6.11)
. (6.12)
По начальным условиям определим постоянные.
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
. (6.13)
Ответ: частное решение .
7. Вычертить область плоскости по данным условиям:
Решение.
(7.1)
- область между окружностями радиусов 1 и 3 с центром в точке 
на комплексной плоскости.
(7.2)
- область в 1-й четверти между прямыми 
и 
.
(7.3)
- область левее прямой 
.
(7.4)
- область ниже прямой 
.
8. Найти все особые точки функции, определить их характер (для полюсов указать порядок) и вычислить вычеты в них.
Решение.
Функция 
(8.1)
аналитическая во всех точках, кроме 
, которая есть изолированная особая точка.
Используя разложение экспоненты
, (8.2)
найдём разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности :
. (8.3)
Главная часть разложения содержит бесконечное число членов, следовательно, - существенно особая точка.
Вычет в точке равен коэффициенту при степени 
разложения в ряд Лорана:
. (8.4)
Ответ: единственная особая – существенно особая точка ; вычет в равен 
.
9. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру.
Решение.
Так как подынтегральная функция
(9.1)
- рациональная дробь, то её особыми точками являются нули знаменателя.
- простой полюс,
- полюс второго порядка.
Контур 
(9.2)
охватывает оба полюса 
и 
.
По теореме Коши о вычетах, интеграл по замкнутому контуру равен
(9.3)
Вычет в простом полюсе
(9.4)
Вычет в полюсе второго порядка
(9.5)
Значение интеграла
(9.6)
Ответ: 
.
