1 курс

1 курс

1. Когда хвост ползущего Удава поравнялся с пальмой, под которой сидела Мартышка, она, решив измерить длину Удава, побежала вдоль Удава и положила банан рядом с его головой. Затем Мартышка побежала обратно и положила второй банан рядом с кончиком хвоста. Потом пришел Попугай и измерил расстояние от пальмы до каждого из бананов, которые оказались равными 16 и 48 Попугаев. Найдите длину Удава в Попугаях, а также, во сколько раз Мартышка бегает быстрее, чем ползает Удав.

Решение. На первом этапе время движения Мартышки вдоль Удава и путь равны

, , балла)

где l – длина Удава; υ, u – скорости Мартышки и удава; x1 = 48, x2 = 16.

На втором этапе

, . балла)

Из (1), (2) следует

. (2 балла)

Откуда . Тогда . (2 балла)

Всего: 8 баллов.

2. Оказавшись в кладовой харчевни «Три пескаря», Буратино принялся исследовать её содержимое. Внимание мальчика привлекла банка с вертикальной шкалой и наклейкой «масло оливковое, 8 кг». Уровень жидкости доходил до отметки Н = 50 см. Решив попробовать масло на вкус, Буратино свалился в банку! Случайно его взгляд упал на шкалу уровня масла. Теперь оно доходило до отметки 52 см. «А ведь, кажется, я знаю, как вычислить мою массу», - подумал мальчик.

Можно ли по имеющимся данным определить массу Буратино? Если да, определите её.

Решение. Пусть m - масса Буратино, rм - плотность масла, S - площадь горизонтального сечения банки; DН - увеличение уровня масла. Тогда масса масла M=rмSН. (2 балла)

Воспользуемся законом Архимеда: mg =rмSDНg. (2 балла)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Из записанных формул находим т = МDН/Н = 0,32 кг. (2 балла)

Всего: 6 баллов.

3. Сосуд объемом V0 = 1,5 литра полностью заполняется водой, имеющей температуру t0 = 0 оС. Затем в этот сосуд опускают тело массой mт = 0,5 кг с удельной теплоемкостью сТ = 4000 Дж/кг * град и температурой Плотность тела меньше плотности воды. Найдите температуру, до которой нагреется вода.

Решение. Из условия плавания тела mтg = gV находим объем вытесненной воды V = mт/. (2 балла)

Новый объем воды, который участвует в процессе теплообмена, будет равен Vn = V0 - V. (1 балл)

Составим уравнение теплового баланса mТcТ (T - Т1) = VncВ(T1 – Т0),

(2 балла)

откуда установившаяся температура в сосуде T1 равна

(2 балла)

Численное значение (1 балл)

Всего: 8 баллов.

4. В цепи (см. рисунок) лампочка горит нормальным накалом независимо от того, разомкнут или замкнут ключ. Показать, что это возможно, если сопротивление лампочки равно R0. На какое напряжение рассчитана лампочка?

Решение. На рисунках показаны эквивалентные схемы цепи соответственно при разомкнутом и замкнутом ключе. Согласно условию в обеих цепях

(2 балла за переход к эквивалентным схемам)

ток через лампочку должен быть одинаков. Проверим это. При замкнутом ключе эквивалентное сопротивление цепи .

Ток . (2 балла)

При разомкнутом ключе эквивалентное сопротивление цепи . Ток . (2 балла)

Далее, при замкнутом ключе . Отсюда . (2 балла)

При разомкнутом ключе

Отсюда получаем тот же результат для Iл. Напряжение на лампочке . (2 балла)

Всего: 10 баллов.

5. Математический маятник отклонили в горизонтальное положение и отпустили (см. рис.). Чему равно натяжение нити в нижнем положении? Масса маятника равна т.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для маятника, находящегося в нижнем положении:

балла)

По закону сохранения механической энергии :

балла)

Решая совместно систему уравнений (1) и (2), получим

. (2 балла)

Всего: 6 баллов.

1 курс

Можно ли по имеющимся данным определить массу Буратино? Если да, определите её.

2 курс

1. Первый шарик всплывает в воде с постоянной установившейся скоростью υ0 . Второй такой же по размеру шарик тонет в воде с постоянной установившейся скоростью 2 υ0. С какой постоянной установившейся скоростью будут тонуть эти шарики, если связать их нитью? Считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости.

Решение. При установившемся движении сила тяжести, сила Архимеда и сила сопротивления уравновешивают друг друга.

Условие равномерного движения в первом случае

FA – m1 g = FC1 = k υ0 , (1 балл)

где k – коэффициент пропорциональности, FA – сила Архимеда

(ρ0 –ρ1) υ g = k υбалл)

Во втором случае

(ρ2 – ρ0) υ g = FC2 = k 2υбалл)

В третьем случае

ρ1 υ g + ρ2 υ g – 2 ρ0 υ g = FC1 + FC2 = 2 k υ . (3) (1балл)

Из (1) – (3) получаем υ = 0,5 υ0. (4 балла)

Всего: 8 баллов

2. Молодые люди решили на Новый год угостить своих друзей коктейлем со льдом и 31 декабря в 23.00 поставили ванночку с водой в морозильник. Через t1 = 15 мин они заглянули в морозильник и обнаружили, что за это время температура воды понизилась с 16 до 4 °С. Успеет ли замерзнуть вся вода до наступления Нового года? Когда же будет готов лед? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 • 103 Дж/кг • К, удельная теплота плавления льда = 3,35 • 105 Дж/кг.

Решение. Для охлаждения воды на от нее было отведено количество тепла, равное , (2 балла)

где m – масса, с - теплоемкость воды. Будем считать, что морозильник работает непрерывно и скорость теплоотвода в нем постоянна. По условиям задачи известно время охлаждения воды, поэтому можно рассчитать скорость теплоотвода (3 балла)

Тогда время t2, необходимое для дальнейшего охлаждения воды от 4 до 0 °С, т. е. на Т2 = 4 К, будет равно (2 балла)

Подставив численные значения, получим , а время t3 необходимое для превращения в лед всей воды, находящейся при 0 °С, составит

После подстановки численных значений

Таким образом, время, необходимое для приготовления льда, от момента постановки воды в морозильник до ее полного замерзания составит t= t1 + t2 + t3 = 15 + 5 + 100 = 120 мин = 2 ч. Таким образом, вода не успеет замерзнуть к Новому году, а замерзнет 1 января в 1.балла)

Всего: 10 баллов.

3. Электрон влетает в область однородного магнитного поля индукцией В = 0,01 Тл со скоростью v = 1000 км/с перпендикулярно линиям магнитной индукции. Какой путь он пройдет к тому моменту, когда вектор его скорости повернется на 1°?

Решение. В поле электрон движется под действием силы Лоренца Fл = B×e×v, создающей центростремительное ускорение a = , но а = ,

следовательно, B×e×v = m, или = . (3 балла)

Промежуток времени, требуемый для поворота на 1°, равен t = , где

Т = = . (3 балла)

Следовательно, t = . (2 балла)

За это время электрон пройдет путь s = v×t = = » 10–5 м. (2 балла)

Всего: 10 баллов.

4. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой R, а коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра О площадки по закону , где k0 – постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

Решение. Движение по круговой траектории с максимальной скоростью может осуществляться при условии : , где Fтр – максимальная сила трения покоя, направленная по радиусу к центру окружности. (2 балла) Отсюда следует: (3 балла) Отсюда

. Максимум этой функции соответствует r = R/2 и . (3 балла)

Всего: 8 баллов

5. Однородный шар массы m и радиуса r катится без скольжения по горизонтальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси ОА (см. рис.). При этом центр шара движется со скоростью v по окружности радиуса R. Найти кинетическую энергию шара.

Решение. Шар участвует в двух видах движения, одно из них – вращение около собственной оси, другое – движение по окружности радиуса R. Следовательно, искомая кинетическая энергия

, балла)

где I1 – момент инерции шара относительно собственной оси и I2 – момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через точку О. Но

. (2)

(2 балла)

Далее: . (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим: . (3 балла)

Всего: 8 баллов.

2 курс

3 – 5 курсы

1. На обрывке стробоскопической фотографии (см. рис.) запечатлены три последовательных положения (А, В и С) шарика, движущегося в поле тяжести Земли. Найдите построением с помощью циркуля и линейки без делений следующее положение (D) шарика. Поясните ход построения. Вспышки лампы происходят через равные промежутки времени. Ориентация фотографии относительно вертикали неизвестна.

Решение

Пусть t – время между вспышками лампы, - скорости шарика в положениях

А и В, тогда

(4 балла)

Таким образом, если через точку А провести прямую параллельно вектору и отложить на ней отрезок AD = 3BC, то точка D и будет искомой точкой. Методика построения прямой, параллельной данной и отрезка, кратного данному, известна из курса элементарной геометрии. (4 балла)

Всего: 8 баллов

2. Утюг с терморегулятором при номинальном напряжении сети периодически включается на 1 минуту, поддерживая почти неизменную температуру. При пониженном на 10% напряжении сети это время увеличивается до 2 минут. При каком напряжении в сети терморегулятор сможет поддерживать эту температуру.

Возможное решение

Пусть Р0 – номинальная мощность, мощность потерь (теплоотдача) при заданной температуре. Тогда уравнение баланса имеет вид:

балла)

В правой части уравнения (1) учтено, что электрическая мощность, поступающая потребителю, пропорциональна квадрату напряжения сети.

Из (1) следует

Значит, поддерживать температуру можно при мощности 0,62 Р0, то есть при напряжении

( 4 балла)

Всего: 7 баллов.

3. Квадратная рамка со стороной см изготовлена из медной проволоки сопротивлением Ом. Рамку перемещают по гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью V вдоль оси Ох. Начальное положение рамки изображено на рисунке. За время движения рамка проходит между полюсами магнита и вновь оказывается в области, где магнитное поле отсутствует. Индукционные токи, возникающие в рамке, оказывают тормозящее действие, поэтому для поддержания постоянной скорости движения к ней прикладывают внешнюю силу F, направленную вдоль оси Ох. С какой скоростью движется рамка, если суммарная работа внешней силы за время движения равна Дж? Ширина полюсов магнита см, магнитное поле имеет резкую границу, однородно между полюсами, а его индукция Тл.

Решение

При пересечении рамкой границы области поля со скоростью V изменяющийся магнитный поток создает ЭДС индукции .

(2 балла).

Сила тока в это время равна .

(1 балл)

При этом возникает тормозящая сила Ампера , равная по модулю внешней силе . (2 балла)

Ток течет в рамке только во время изменения магнитного потока, т. е. при входе в пространство между полюсами и при выходе. За это время рамка перемещается на расстояние , а приложенная внешняя сила совершает работу . (4 балла)

Подставляя значение силы, получим . (1 балл)

Всего: 10 баллов.

4. Имеются 4 решетки с различными постоянными d, освещаемые одним и тем же монохроматическим излучением различной интенсивности. Какой рисунок иллюстрирует положение главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой с наименьшей постоянной решетки? (J – интенсивность света, - угол дифракции).

Решение

Из формулы: следует, что при k = 1 и постоянной длине волны наименьшее значение d cоответствует наибольшему значению sinφ , т. е. рисункубаллов)

Всего: 5 баллов.

5. Допустим, давление р и плотность r воздуха связаны соотношением p/r n = const независимо от высоты (здесь n - постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.

Решение.

Условие задачи представим в виде

(1)