Министерство высшего и профессионального образования РФ
Ульяновский Государственный Технический Университет
Кафедра "Вычислительная техника"
Дисциплина "Моделирование"
Лабораторная работа №5
"Стохастические сетевые модели вычислительных систем"
Выполнил: студент группы ЭВМд-31
Проверил:
Ульяновск 2007
Цель работы. Изучение стохастических сетевых моделей вычислительных систем (ВС) и выполнение расчета основных характеристик экспоненциальной стохастической сети.
Задание.
Рассчитать основные характеристики и построить структурную схему разомкнутой стохастической сети, представленной совокупностью систем массового обслуживания (СМО) и заданной в виде матрицы вероятностей передач 6-го порядка.
Определению подлежат следующие характеристики стационарного режима разомкнутой стохастической сети :
а) загрузка каждой СМО (ri);
б) среднее число занятых каналов каждой СМО (bi);
в) вероятности состояния сети (p0i)
г) средние длины очередей заявок, ожидающих обслуживания в СМО;
д) среднее число заявок m1 ..mi, пребывающих в каждой из систем сети;
е) средние времена пребывания u1..ui заявок в системах S1 ..Si ;
ж) характеристики сети в целом.
В соответствии с заданным вариантом решения задачи произвести численное определение Р1i..Р5i.
Разомкнутая стохастическая сеть имеет 5 СМО (K1=1, K2=1, K3=2, K4=2, K5=3) и источник входящего потока заявок S0 с интенсивностью их обслуживания l0. Матрица вероятности передач имеет следующий вид:
S0 | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | |
S0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
S1 | 0 | 0 | 0.875 | 0 | 0 | 0.125 |
S2 | 0 | 0.2 | 0 | 0.8 | 0 | 0 |
S3 | 0.917 | 0.083 | 0 | 0 | 0 | 0 |
S4 | 0 | 0 | 0.077 | 0.8 | 0 | 0.123 |
S5 | 0 | 0 | 0.95 | 0 | 0.05 | 0 |
Интенсивность потока, входящего в любую Si систему сети, определяется суммой интенсивностей потоков, поступающих в нее из других Sj систем:
(j=0, 1, …, n) (1)
Эти выражения представляют собой систему алгебраических уравнений n+1-го порядка, характеризующих сеть, откуда нетрудно определить коэффициенты передачи aj СМО по формуле:
lj = ajl0 (2)
и по заданной интенсивности источника заявок l0. Подставляя значение l0=2c-1 и вероятности передач в (1), получим систему уравнений:
λ0 = 0.917 λ3
λ1 = λ0 + 0.2 λ2 + 0.083 λ3
λ2 = 0.875 λ1 + 0.077 λ4 + λ5
λ3 = 0.8 λ2 + 0.8 λ4
λ4 = 0.05 λ5
λ5 = 0.125 λ1 + 0.0123 λ4
где l0=1 с-1. Решая эту систему уравнений, получим:
λ1 = 1.36
λ2 = 1.35
λ3 = 1.09
λ4 = 0.0125
λ5 = 0.25
Подставляя найденные значения li в формулу (2), найдем значения коэффициентов передач: a1=1.36; a2=1.35; a3=1.09; a4=0.0125; a5=0.25.
Структурная схема сети на основе матрицы коэффициентов передач имеет вид:
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Определение характеристик разомкнутых стохастических сетей
В рассматриваемой сети существует стационарный режим (k1=1, k2=1, k3=4, k4=2, k5=2), если l0=1<min={0.245; 0.25 ; 1.22 ; 4,44 ; 2.66}, это выполняется если принять u1=u2=u3=0.7 , а u4 и u5 оставить равными 3.
Загрузка каждой СМО вычисляется по следующей формуле:
.
где Ki – общее число каналов в СМО, liui=bi – среднее число занятых каналов. Для данной стохастической сети получаем следующие значения ri и bi:
ρ1 = 0.952 β1 = 0.952
ρ2 = 0.945 β2 = 0.945
ρ3 = 0.19 β3 = 0.763
ρ4 = 0.019 β4 = 0.0375
ρ5 = 0.375 β5 = 0.75
Вероятность состояния сети p0i вычисляется по следующей формуле:
.
Подставляя в формулу полученные значения bi и ri, определим вероятности простоя каждой СМО сети:
π01 = (1+ 0.952/(1-0.952))-1 = 0.048
π02 = (1+ 0.945/(1-0.945))-1 = 0.055
π03 = (1+ 0.763 + 0.7632/2 +0.7633/3 + 0.7634/24*(1-0.191))-1 = 0.45
π04 = (1+ 0.0375 + 0.03752 /2*(1-0.019))-1 = 0.96
π05 = (1+ 0.75 + 0.752 /2*(1-0.375))-1 = 0.45
Средняя длина очереди заявок, ожидающих обслуживания в системе Si :
Подставляем значения :
l1 = 0.9522/(1*1*(1-0.952)2) * 0.048 = 21.75
l2 = 0.9452/(1*1*(1-0.945)2) * 0.055 = 16.37
l3 = 0.7635/(24*4*(1-0.763/4)2) * 0.45 = 0.002
l4 = 0.03753/(6*2*(1-0.0375/2)2) * 0.96 = 0.000004
l5 = 0.753/(6*2*(1-0.75/2)2) * 0.45 = 0.04
Среднее число заявок mi, пребывающих в каждой системе:
.
Получаем:
m1 = 21.75 + 0.048 = 21.798
m2 = 16.37 + 0.055 = 16.425
m3 = 0.002 + 0.45 = 0.452
m4 = 0.000004 + 0.96 = 0.96
m5 = 0.04 + 0.45 = 0.49
Средние времена пребывания в каждой из систем сети:
.
Получаем:
u1 = 21.798/1.36 = 16.03
u2 = 16.425/1.35= 12.17
u3 = 0.452/1.09 = 0.415
u4 = 0.96/0.0125 = 76.8
u5 = 0.49/0.25 = 1.96
Среднее время ожидания заявки в очереди системы Si :
wi = li / li
Получаем:
ω1 = 21.75/1.36 = 15.99
ω1 = 16.37/1.35 = 12.126
ω1 = 0.002/1.09 = 0.002
ω1 = 0.000004/0.0125 = 0.0003
ω1 = 0.04/0.25 = 0.16
Найдем характеристики сети в целом.
Среднее число заявок, стоящих на очереди в сети:
L = åli= 21.75+16.37+0.002+0.000004+0.04=38.16
Среднее число заявок, находящихся на обслуживании в сети:
M =åmi = 21.798+16.425+0.452+0.96+0.49=40.125
Среднее время пребывания заявки в сети:
U = åaiui = 21.798+16.425+0.452+0.96+0.49=40.125
Среднее время ожидания в сети:
W = åaiwI =21.75+16.37+0.002+0.000004+0.04=38.16
Вывод
В результате проделанной работы были изучены стохастические сетевые модели вычислительных систем и выполнены расчеты основных характеристик экспоненциальной стохастической сети.
Некоторые СМО сети имеют большие значения коэффициентов загрузки. Причем наиболее загруженными являются одноканальные СМО S1 и S2. Многоканальные СМО загружены намного меньше. Так и должно быть, если принять во внимание, что системы с одним каналом (при равной скорости работы всех СМО и, грубо говоря, несущественно отличающихся интенсивностях потоков заявок в каждой СМО) имеют более низкую пропускную способность и соответственно, являются более загруженными. Для исправления ситуаций с простоями или чрезмерной загруженностью можно принять некоторые меры. Во первых, можно изменить количество каналов в одной или нескольких системах. Также возможно увеличить скорость работы какого-то определённого канала в системе. Кроме этого, можно уменьшить длину заявки для слишком занятой системы. При этом менее занятые системы перед передачей этому “узкому звену” заявок будут максимально уменьшать их длину.
