9 класс

9 класс

1.  Числа и удовлетворяют равенству . Найдите все возможные значения выражения .

Решение. Ответ: 1 и 3. Из данного равенства следует, что , а из этого , откуда или . Оба случая реализуются если , а , то значение дроби равно 3. Если же , но и , то значение дроби равно 1.

2.  В школе 1000 учеников – 500 девушек и 500 юношей. На день святого Валентина каждый юноша послал одну валентинку какой-то девушке. Затем каждая девушка, не получившая валентинку, послала возмущённое письмо одному юноше. Докажите, что не менее 500 учеников ничего не получали.

Решение. Пусть валентинки получили n девушек. Тогда, писем было послано 500-n. Значит, не менее 500-(500-n) юношей не получали писем. Итак, 500-n (девушек, не получивших валентинок) вместе с юношами, не получившими писем, всего не менее (500-n)+500-(500-n)=500.

3.  В треугольнике ABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 – медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольника ABC.

Решение. Каждое звено ломаной – это отрезок, проведённый из основания высоты к середине противоположной стороны, т. е. это медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе (стороне треугольника). Длина такой медианы равна половине гипотенузы (стороны треугольника). А сумма всех отрезков равна сумме всех сторон.

4.  В неравенстве коэффициенты p и q − целые числа. Известно, что неравенство верно для всех целых x. Верно ли, что оно справедливо для всех действительных x?

Решение. Ответ: верно. Допустим, что неравенство неверно для некоторых , тогда трёхчлен имеет корни, то есть его дискриминант неотрицателен. Но из формулы для корней приведённого уравнения нетрудно получить, что его дискриминант равен квадрату разности корней. Но дискриминант − целое число. Если бы он был равен 0, то у трёхчлена был бы целый корень, а это противоречит условию. Значит, он больше нуля, то есть, не меньше 1, а это значит, что разность корней не меньше 1. Но на отрезке длинной не меньше 1 должна быть целая точка, в которой значение трёхчлена должно быть отрицательно. Противоречие доказывает ответ.

5.  Каждая из 9 клеток квадрата покрашена в чёрный или белый цвет. За один ход разрешается выбрать какую-то строку или столбец и перекрасить 3 выбранных клетки в противоположный цвет (чёрный в белый, а белый в чёрный). Первоначально у квадрата 8 чёрных клеток, а центральная − белая. Можно ли за несколько операций сделать весь квадрат белым?

Решение. Ответ: нет. Рассмотрим один из квадратов , расположенный в любом углу квадрата . При любой операции в этом квадрате либо ничего не происходит, либо меняется цвет двух клеток. Значит, чётность количества белых клеток (впрочем, как и чёрных) в этом квадрате не меняется при допустимых операциях. Так как вначале в квадрате одна белая клетка и три чёрных, то при любых операциях белых и чёрных клеток будет нечётное число. Значит, сделать все клетки белыми в этом квадрате невозможно, ну и в исходном тоже.