3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
3.1. Вычислить 
.
Решение.
Используя формулы приведения и формулы двойного угла, получаем:
Ответ: 
.
3.2. Вычислить 
.
Решение.
Ответ: 1.
3.3. Решить уравнение 
Решение.
Ответ: 
3.4. Решить уравнение
Решение.
Ответ:
3.5. Решить уравнение 
Решение.
.
Ответ: 
3.6. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
3.7. Дано уравнение 
. Найдите все значения параметра 
, при которых уравнение 1) не имеет решений; 2) не имеет положительных решений.
Решение.
1) При 
уравнение имеет, по крайней мере, одно решение: 
. Если 
, то уравнение не определено и, следовательно, решения не имеет.
2) При уравнение имеет только положительное решение , если уравнение 
не имеет решений. Это будет либо при , либо при 
. Последнее следует из того, что уравнение 
можно преобразовать к виду 
, где 
некоторое число; поэтому если 
, то уравнение не имеет решений. Из условия получаем 
, откуда следует 
.
Ответ: 1) 1; 2) 
.
3.8. Решите уравнение 
.
Решение.
Имеем: 
, так как 
в силу 
и 
и 
Поэтому
.
Ответ: 
.
3.9. Найдите: 1) наименьший положительный период (основной период) функции 
; 2) произведение таких значений параметра , при которых основной период функции 
равен 0,05.
Решение.
1) наименьший положительный период называют основным периодом. Основной период 
функции 
определяется из условия 
, откуда следует 
. Для функции имеем: 
. Поэтому 
.
2) Если основной период функции равен 
, то 
. В рассматриваемой задаче 
.
Из условия 
получаем 
.
.
Дискриминанты обоих квадратных уравнений положительны. Поэтому (по теореме Виета) произведение корней каждого из этих уравнений составляет 
. Следовательно, произведение всех значений параметра, при которых основной период функции равен 0,05, составляет 
.
Ответ: 1)10;
3.10. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Уравнение 
решим, используя замену 
. Тогда получим квадратное уравнение 
, корнем которого, с учетом ограничения на 
, является 
. Сделав обратную замену, получим уравнение 
.
Итак, получаем систему 
.
Выберем из полученных решений те, для которых косинус отрицательный. Это можно сделать, используя единичную окружность. Получим 
.
Ответ: 
.
3.11. Решите уравнение 
.
Решение.
.
Решим уравнение 
.
.
Учитывая область определения, получаем 
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1. Вычислить 
.
3.2. Вычислить 
3.3. Решите уравнение 
.
3.4. Решите уравнение 
.
3.5. Решите уравнение 
.
3.6. Решите уравнение 
.
3.7. Решите уравнение 
.
3.8. Решите уравнение 
.
3.9. Решите уравнение 
.
3.10. Решите уравнение 
.
3.11. Решите уравнение 
.
3.12. Дано уравнение 
. Найдите все значения параметра , при которых уравнение 1) не имеет решений; 2) не имеет положительных решений.
3.13. Решите уравнение 
.
3.14. Найдите: 1) наименьший положительный период (основной период) функции 
; 2) произведение таких значений параметра , при которых основной период функции 
равен 10.
3.15. Решите уравнение 
.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
3.1. 
; 3.2. 1; 3.3. 
; 3.4. 
;
3.5. 
; 3.6. 
; 3.7. ;
3.8. 
; 3.9. ; 3.10. 
;
3.11. 
;
3.12. 1) 
; 2) 
; 3.13. 
;
3.14. 1) 1;; 3.15. 
.
