Кусочные функции

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Выполнили ученицы 9 класса А

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

2014 год

Содержание:

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

7. Вывод.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

—  Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

—  Узнать историю термина «функция»;

—  Провести анкетирование;

—  Выявить способы задания кусочных функций;

—  Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% - работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% - работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.

2.1. Определение актуальности работы.

Актуальность:

Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.

2.2. Практическая значимость.

Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.

3. История функций.

Уже древние вавилоняне для облегчения своих вычислений составляли таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов.

Долгое время понятие функции применялось, не имея определённого названия. Из-за этого одни и те же рассуждения повторялись заново, и каждый учёный представлял их по-своему. Возникла необходимость введения нового термина, который позволил бы уточнить понятие и отсечь все случайное и несущественное.

Термин «функция» появился в одной из рукописей Готфрида Вильгельма Лейбница в 1673 году. Однако, он употреблял этот термин в очень узком смысле. Речь шла об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию».

В течение ряда десятилетий существенного прогресса в определении понятия функции не было. Обычно приписывают Дирихле заслугу выдвижения на первый план идеи соответствия, которая единственно и лежит в основе этого понятия. В1887 году он дал такое определение функции «Y» от переменной «X» ( в предложении, что «X» принимает все значения в некотором промежутке): «Если каждому «X» отвечает единственное конечное «Y» , то «Y» называется функцией от «X» для этого промежутка, при этом вовсе нет необходимости, чтобы «Y» во всем этом промежутке зависело от «X» по одному и тому же закону, и даже не обязательно представлять себе зависимость, выражаемую с помощью математических операций». Это определение сыграло важную роль в истории математического анализа.

Привычное для нас обозначение функции – f(x) – принадлежит Эйлеру.

4. Общая характеристика.

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

•  Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

•  Переменную у называют зависимой переменной или ординатой.

Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках. Она бывает пяти видов:

·  Постоянная – функция, заданная формулой y=b, где b – некоторое число.

·  Непрерывная – функция, график которой на данном промежутке не имеет точек разрыва.

·  Линейная – функция, определенная на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

·  Гладкая – функция, определенная на множестве вещественных чисел имеет производную на каждом из интервалов, составляющих область определения.

·  Монотонная – функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

5.Способы задания.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функции.

Табличный способ. Довольно распространённый, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечном множеством.

При табличном способе задания функции можно приближённо вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он даёт возможность определить те или иные конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не даёт наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда даёт возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причём график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точно зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задаётся уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ даёт возможность по каждому численному значению аргумента

x найти соответствующее ему численное значение функции «y» точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешённой относительно y, т. е. имеет вид y=f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

6. Алгоритм построения.

Постараемся разобраться в построении данной кусочной функции.

1. Выделим первую часть кусочной функции, которая является линейной, и построим её на промежутке (-∞;1].

 

Данная часть графика готова.

2. Выделим вторую часть кусочной функцию и построим её.

В декартовой системе координат обозначим вспомогательные оси, они будут показывать сдвиг графика функции, в данном случае, по оси Ох – 3, а по оси Оу – -2. Строим график функции y=2x2 в полученной вспомогательной системе координат на промежутке (1;4]. Т. к. данная функция содержит модуль, то вершина параболы отразится симметрично относительно оси Оx в верхнюю полуплоскость. Данная часть графика готова.

 

3. Выделим третью часть функции и построим её.

В декартовой системе координат обозначим вспомогательные оси, они будут показывать сдвиг графика функции, в данном случае, по оси Ох – 3, а по оси Оу – 1. Строим график функции в полученной вспомогательной системе координат на промежутке (4;7].

Данная часть графика готова.

4. Выполним сбор графика.

5. А теперь прочтем график данной функции:

·  Область определения функции (-∞;7];

·  Область значения функции (-∞;6];

·  Значения, при которых у обращается в нуль, т. е. нули функции – -5;2;4;

·  Промежутки знакопостоянства, т. е. это те промежутки, при которых функция имеет положительное значение – это (-5;4) или отрицательное значение – это (-∞;-5)U(4;7);

·  Функция возрастает на промежутке (-∞;1)U(2;3);

·  Функция убывает на промежутке (1;2)U(4;+∞).

Из решения данного задания можно сказать:

Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики входящих функций,

2. Провести прямые x=a1, x=a2, x=a3, где a-граничные точки (т. е.найти асимптоты).

3. На каждой составляющей области определения (ax , a), где xN , выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей.

4. Выяснить значение функции в граничных точках.

7. Вывод.

—  Мы выяснили способы решения кусочных функций и, исходя из этого, составили алгоритм их построения.

—  Познакомились с общим понятием о кусочных функциях;

—  Узнали историю термина «функция»;

—  Провели анкетирование;

—  Выявили способы задания кусочных функций;

—  Составили алгоритм их построения;

8. Используемая литература.

—  «Алгебра 8 класс» и др.;

—  «Алгебра 9 класс» и др.;

—  www. *****;

—  www. *****;

—  www. *****.