Понятие множества, функции. Основные свойства функции

Понятие множества, функции. Основные свойства функции

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов.

Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества. Например, множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. п.

1) Запись означает: а есть элемент множества . Элементы – строчные буквы, множество – прописные буквы.

2) означает: не является элементов множества .

3) - пустое множество (действительные корни уравнения есть пустое множество).

4)означает: является подмножеством , т. е. состоит из частей элементов множества .

5)означает: равные множества – состоящие из одних и тех же элементов.

6) Объединением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т. е. .

7) Пересечением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств и , т. е. .

8) Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т. е. .

Из школьного курса алгебры известны подмножества: - действительных чисел, - рациональных, - иррациональных, - целых, - натуральных чисел.

Действительные числа

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (числовой оси), на которой выбраны: начало отсчета, положительное направление и единицы масштаба (рис. 3.1).

Между множеством действительных чисел и точками числовой оси существует взаимное однозначное соответствие: «число » соответствует «точке ».

Множество называется: отрезком при (сегментом), интервалом при , полуинтервалом и при , .

Есть еще и бесконечные интервалы и полуинтервалы: .

Отрезки (сегменты), интервалы и полуинтервалы можно объединить термином промежуток .

Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется само число , если неотрицательно, и противоположное число , если отрицательно:

. Очевидно, что .

Абсолютная величина разности двух чисел означает расстояние между точками и числовой оси как для случая , так и для .

a2-b2=(a+b)(a-b)