Энергетический спектр эффективных гамильтонианов, диагонализуемых преобразованием Боголюбова.

Результатом любых процедур диагонализации модельного гамильтониана должно быть выражение для гамильтониана идеального газа квазичастиц:

,

поэтому общий вид исходного гамильтониана можно получить простой подстановкой в квазичастичного оператора и ему эрмитовски сопряженного , выраженные через полевые операторы частиц.

,

Для однородного токового состояния когерентная фаза, а коэффициенты преобразования Боголюбова должны зависеть от вектора , задающего сверхтекучую скорость в токовом состоянии, V - объем системы, s- спиновая переменная, если таковая необходима.

Обратное преобразование дается в данном случае формулой:

Можно представить это выражение в более привычной форме, переопределив неизвестные коэффициенты преобразования Боголюбова и полевые операторы частиц . По структуре получилась бы обычная связь между операторами, как для бестокового случая.

Такая замена полевых операторов возможна, поскольку они допускают домножение на общий фазовый множитель, зависящий от и не нарушающий коммутационные соотношения[1].

После подстановки в гамильтониан получается гамильтониан типа:

После перемножения скобок под знаком интеграла получается выражение, общую структуру которого можно представить в виде:

,

в котором "одночастичный", возможно нелокальный, гамильтониан и функция задаются конкретной моделью. В данной постановке задачи эти функции можно считать внешними феноменологическими потенциалами модели. Эти функции и когерентная фаза обычно определяются путем процедуры само согласования [1,2] . Сравнение с результатом подстановки устанавливает их связь со спектром и коэффициентами - - преобразования.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Знак в связан с правилами коммутации между , которые были использованы при записи. Верхний знак соответствует бозе – частицам, а нижний частицам, подчиняющимся статистики Ферми – Дирака.

Функции и зависят только от разности , поэтому по этой переменной можно провести фурье - преобразование. В результате из и получим систему алгебраических уравнений:

В рамках рассматриваемой здесь постановки задачи фурье - образы должны считаться известными функциями, задаваемыми моделью эффективного взаимодействия. Заметим, что является вещественной функцией, поэтому из системы следует, что вещественная функция, а . Последнее означает, что сама функция симметрична по перестановки координат и, согласно, зависит только от их разности . Инвариантность при такой перестановке подынтегральных выражений в для статистики Бозе очевидна. Для статистики Ферми можно показать[2], что для неизменности интегралов в необходимо, чтобы . Функцию часто называют потенциалом спаривания. Обычно его считают короткодействующим и зависящим от .

В токовом состоянии функция и не должны быть симметричны при замене . Их удобно представить в виде сумм симметричных и антисимметричных слагаемых:

Для неизвестных функций и модулей коэффициентов - - преобразования можно получить независимую систему уравнений, добавив к системе соотношения:

,

которые обеспечивают сохранения соотношений коммутации или антикоммутации для , следующих из соответствующих соотношений для.

Два последних уравнения системы, воспользовавшись соотношениями, можно привести к независимой системе уравнений вида:

Из неё квадрат модуля , как корень квадратного уравнения, легко записывается через энергию , а с ним, благодаря соотношениям, и выражения для :

:

Лишние корни отброшены из-за естественного требования положительности .

Теперь из первого уравнения системы получается уравнение, непосредственно связывающее энергию с известной из модели величиной :

Вторые скобки в правой части содержат симметричное по выражение, а первые - антисимметричное, поэтому:

Второе из равенств необходимо ещё разрешить относительно симметричной части энергии, для этого возведем его в квадрат.

Заменим и их симметричными и антисимметричными частями.

Возведём ещё раз в квадрат и перегруппируем слагаемые.

Легко убедиться, что относительно получается простое линейное уравнение.

Решения этого уравнения

в токовом случае при существуют в вещественной области не при всех волновых векторах. Для ферми - систем (нижний знак в формуле).

В рамках проводимого здесь рассмотрения для обычно используемых моделей в качестве функции нужно взять просто оператор кинетической энергии частицы, добавив к нему необходимую константу, а в качестведельтообразную функцию, соответствующую короткодействию:

Для ферми – газа введенные постоянные D и m соответствуют обычным обозначениям теории БКШ, а для бозе – газа следует взять D=-w и m =-w, тогда, как легко убедиться, получается обычный гамильтониан, используемый в теории слабо неидеального бозе – газа (w связана с компонентой Фурье короткодействующего потенциала взаимодействия).

Соответственно, .

Бестоковый режим в сверхпроводящем состоянии

В бестоковом состоянии d=0 или , которую можно выбрать нулём, соответственно второй из формул, - вещественная величина. При этом получаются известные соотношения теории БКШ для ферми – газа:

Для слабо неидеального бозе - газа.

Поскольку в данном случае D<0, то согласно последним соотношениям из системы, при извлечении квадратного корня у коэффициентов преобразования Боголюбова следует выбирать противоположные знаки. Заметим, что в обоих случаях коэффициенты можно выбрать вещественными.

Продемонстрируем, как получаются приведенные выше результаты в бестоковой ситуации для ферми – газа. Из системы в бестоковом режиме результаты получаются достаточно просто, поэтому имеет смысл повторить вывод для этого случая. Кроме того, легко получаются формулы для самих коэффициентов u – v преобразования, а не только для их квадратов. Эти формулы потребуются для процедуры самосогласования, которая рассматривается в следующем параграфе.

Система записывается для бестокового состояния ферми – системы, как:

Заметим, что в бестоковом случае система инвариантна относительно замены , поэтому коэффициенты u-v преобразования зависят от модуля и условие сводится к одному уравнению.

Поскольку решения для более общего случая фактически уже приведены выше, то имеет смысл просто проверить, что

,

удовлетворяют системе и условию . Выполнение условия очевидно, а система превращается в:

.

Поскольку величина принята вещественной и положительной, то в фигурирует арифметическое значение корня.

Качественная картина зависимости энергии от расстояния от поверхности Ферми , задаваемая последней из формул, представлена на Рис.1. Штриховые линии соответствуют энергии возбуждений в нормальном металле, когда . Минимум в сверхпроводящем состоянии приводит к появлению особенности в энергетической плотности состояний:

,

представленной на Рис.2.

На Рис.3 и Рис.4 представлены зависимости коэффициентов U-V преобразования Боголюбова от энергии, отсчитанной от поверхности Ферми. Ниже поверхности Ферми () возбуждения в основном соответствуют дыркам, а вдали выше поверхности Ферми частицы, спектр которых, как видно из Рис.5 совпадает со спектром возбуждений при .

На Рис.6 изображен тот же спектр возбуждений, но в качестве аргумента взят модуль квазиимпульса . Как видно из рисунка, спектр возбуждений в сверхпроводящем состоянии лежит выше прямой, чьё уравнение , поэтому согласно критерию Ландау движение любой частицы со скоростью меньшей не может породить возбуждение с таким спектром. При таком спектре возможна сверхпроводимость.

Заметим, что рисунки построены для наглядности при нереальном соотношении , в то время как даже в высокотемпературных сверхпроводниках оно не превосходит 10-3 ¸10-2.

Общий случай

Для ферми – статистики в токовом режиме примеры энергетических спектров приведены на двух рисунках: Рис.1 и Рис.2.


Рис.1. Спектр для сверхпроводящего токового состояния при

Рис.2. Спектр для токового состояния при нарушении сверхпроводимости.

На первом рисунке представлена кривая для сверхпроводящего токового состояния, рассчитанная по формуле. Критерий Ландау, сводящийся в данном случае к неравенству , где , выполнен. На рисунке почти горизонтальная штрих пунктирная линия идёт ниже уровня , который изображен тонкой штриховой линией. Здесь и везде далее в этом параграфе принимаем систему единиц, в которой , а все энергии обезразмеритены делением на , поэтому энергию Ферми можно считать третьей единицей измерения. Из рисунка, в согласии с, видно, что в полосе около поверхности Ферми нет вещественных значений энергии. В k-пространстве это соответствует слою , в котором направление вектора не слишком сильно отличается от направления вектора . В направлении , с высокой точностью, это слой толщины , в котором величины, даваемые формулой, чисто мнимые. На Рис.1. мнимая часть изображена пунктирной кривой и равна нулю вне указанной полосы.

Весьма примечательно, что минимумы энергии на Рис.1 лежат примерно в два раза выше, чем в бестоковой ситуации или для направления вектора возбуждения , перпендикулярного .

При измерении щели в туннельных экспериментах результат, таким образом, может зависеть от величины тока (точнее от сверхтекучей скорости). Если локально скорость приближается к критической , то измеряемая щель в рамках простейшей изотропной модели БКШ должна быть в два раза больше, чем , измеряемая при нулевом токе.

Когда превышается , то, согласно, в «запрещенной полосе» появляется меньшая полоска , в которой появляются действительные значения для энергии возбуждений. Пример такой ситуации представлен на Рис.2. В этой полосе кривые спектра исходят из нуля, поэтому критерий Ландау заведомо нарушен и согласно ему бездиссипационный режим не может реализоваться. В дальнейшем покажем, что сам критерий возникает из невозможности выполнить условие самосогласования для тока.

[1] Для сверхпроводящего токового состояния при нулевой температуре когерентная фаза совпадает с потенциалом скоростей для сверхпроводящей компоненты. Набор функций, по которым строятся операторы , как и простые комплексные экспоненты, составляют полный ортогональный набор.

[2]