Осенний семестр: модели динамики популяций
1. Введение. Обзор. Объекты моделирования. Типы моделей. Специфика моделей локализованных и структурированных систем. Характер применяемого математического аппарата.
2. Элементы теории бифуркаций. Геометрическая интерпретация. Коразмерность вырождения и понятие о теории катастроф. Бифуркация Андронова. Ляпуновские величины.
3. Простейшие модели динамики популяций. Линейные модели. Логистическая модель. Система «хищник – жертва». Уравнения Вольтерра, Колмогорова. Трофические функции
4. Автоколебательные режимы в системе «хищник – жертва». Релаксационные колебания системы в модели типа «сборка».
5. Сообщества с вертикальной структурой и трофические цепи. Условия существования замкнутых и разомкнутых трофических цепей заданной длины.
6. Конкуренция нескольких видов. Экологическая ниша и конкурентный отбор. Принцип эволюционной оптимальности. Простейшие примеры применения принципа.
7. Дискретные модели популяций. Случай неперекрывающихся поколений. Переход к хаосу для изолированной популяции.
8. Итерационные модели конкуренции двух видов, хищничества и паразитизма. Дискретная динамика на плоскости.
9. Дискретная модель популяции с возрастной структурой. Свойства оператора Лесли. Биологический потенциал популяции. Конкурентный отбор в модели Лесли.
10. Учет запаздывания в непрерывных моделях популяций. Уравнение Хатчинсона. Параметрическая структура областей устойчивости и характер возникающих бифуркаций.
11. Модели с непрерывной возрастной структурой. Линейная модель изолированной популяции. Биологический потенциал и структура предельных распределений.
12. Квазилинейные системы с возрастной структурой. Условия Гуртина-МакКами сводимости к конечномерной системе уравнений. Их содержательная интерпретация.
Весенний семестр: модели распределенных систем
1. Модели биологических систем с пространственной структурой. Системы, описывающиеся уравнениями типа «реакция–диффузия». Модели хемотаксиса.
2. Случай одного уравнения «реакции – диффузии». Критический показатель диффузионной неустойчивости стационарных решений. Условия устойчивости нестационарных решений.
3. Решения типа бегущей волны. Минимальная скорость распространения возмущений. Цепочки волн. Смысл понятия устойчивости бегущей волны.
4. Бегущие волны в системе двух уравнений типа «реакция – диффузия». Система «ресурс – потребитель» и «мертвые» зоны.
5. Бегущие волны на плоскости. Спиральные волны.
6. Диффузионная неустойчивость в системе двух уравнений «реакции – диффузии». Критерий ее возникновения и его интерпретации.
7. Элементы теории бифуркаций в бесконечномерном пространстве. Конечномерная структура ветвлений в системе 2 уравнений «реакции–диффузии». «Мягкие» диссипативные структуры.
8. Зависимость бифуркационной диаграммы стационарных решений системы «реакции–диффузии» от пространственной области распределения. Приложения к динамике популяций.
9. Характер стационарных режимов в пространственно распределенных системах с конкуренцией.
10. Модели сообществ с непрерывной возрастной структурой. Квазилинейные системы.
11. Критерии устойчивости стационарных решений в моделях сообществ с непрерывной возрастной структурой.
12. Устойчивые стационарные решения в моделях конкурирующих сообществ с возрастной структурой.
13. Модели в задачах эпидемиологии. Пороговый уровень заболевания. Влияние структурирующих факторов на характер распространения эпидемии.
Список литературы
Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 304 с. , А., Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 528 с. , Нелинейные волны, диссипативные структуры и волны в экологии. М., Наука, 1987, 366 с. , , Устойчивость биологических сообществ. М. Наука, 19с. , , Математическое моделирование экологических процессов. Л. Гидрометеоиздат, 1982, 290 с. Смит Дж. М., Модели в экологии, пер. с англ., М., Мир, 1976, 184 с. , , Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М., Наука, 1983, 134 с. Webb G. F., Theory of nonlinear age-dependent population dynamics. (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, v. 89), N.-Y, 1985, 294 p.Министерство образования и науки РФ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
“УТВЕРЖДАЮ”
Проректор по учебной работе
________________
“___” ________________ 2006 г.
П Р О Г Р А М М А
по курсу: ___МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ БИО - И ЭКОСИСТЕМ__
для направления: 511600 ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
факультеты: _ФАКИ_____________________________
кафедра: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
курс: 4_____
семестр: _7,8___ экзамен _7_ семестр
лекции: 66 час. диф. зачет _8_ семестр
ВСЕГО ЧАСОВ: 34____
Программу составил: д. ф.-м. н.
Программа обсуждена на заседании
кафедры вычислительной математики 28 июня 2006 г.
Зав. кафедрой проф.
