Теоретические положения

ГЛАВА 11

Электрические цепи с распределенными параметрами

(длинные линии)

Теоретические положения

1.  Параметры однородной линии. Первичными параметрами однородной линии на единицу ее длины являются:

R0 – сопротивление, Ом;

L0 – индуктивность, Гн;

С0 – емкость, Ф;

G0 – проводимость изоляции между проводами (утечка), См.

Вторичные параметры:

(11.1)

Коэффициент распространения характеризует ослабление прямой (или обратной) волны и изменение ее фазы на единицу длины линии, он определяет основные параметры бегущих волн (длину волны , фазовую скорость Vф)

(11.2)

Для воздушных линий из медных, бронзовых и алюминиевых проводов и . В этом случае справедливы следующие соотношения:

(11.3)

2.  Уравнение линии в виде прямых и обратных волн

(11.4)

Коэффициент отражения

, .

3.  Линия без искажений. Это такая линия, в которой коэффициент затухания и коэффициент фазы не зависят от частоты.

Для неискажающей линии должно выполняться условие:

. (11.5)

При этом

(11.6)

4.  Линия без потерь () – неискажающая; для нее

(11.7)

Уравнения распределения напряжения и тока вдоль линии при отсчете расстояния у от конца линии

(11.8)

5.  Переходные процессы в длинных линиях.

В длинных линиях, так же как и в цепях с сосредоточенными параметрами, возникают переходные процессы.

В силу того, что интегрирование двух совместных дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой довольно сложную задачу, то изучаются переходные процессы в однородных линиях без потерь, т. е. при и .

Тогда система дифференциальных уравнений длинных линий приобретает вид:

(11.9)

Мгновенные значения напряжений и токов переходных процессов можно представить как сумму прямой и обратной волн:

(11.10)

или

(11.11)

Отраженные волны напряжения и тока возникают тогда, когда падающие волны напряжения и тока достигают нагрузки или точек, в которых включены различные неоднородности.

Отраженные волны рассчитываются с использованием соответствующих схем замещения или используя коэффициент отражения.

Примеры решения задач

Задача 11.1

Определить первичные параметры однородной линии, если известны волновое сопротивление Ом, коэффициент распространения км-1, частота Гц.

Решение

1.  Зная, что и , и умножая правые и левые части этих выражений друг на друга, получаем [3]

. (11.12)

Следовательно,

 Ом/км,

где Ом/км – активное сопротивление двух проводов;

 Гн/км – индуктивность петли, образованной прямым и обратным проводом.

2.  Если разделить выражение для и друг на друга, то получим

. (11.13)

Следовательно,

 (Ом·км)-1,

(Ом·км)-1 – проводимость изоляции между проводами;

(Ф/км) – емкость проводов.

Задача 11.2

Входное сопротивление однородной линии длиной 100 км на частоте Гц в режиме холостого хода Ом и в режиме короткого замыкания  Ом.

Определить вторичные параметры линии.

Решение

Зная, что

, (11.14)

, (11.15)

и умножая (11.14) и (11.15), имеем

 Ом.

Поделив (11.15) на (11.14), имеем

.

Гиперболический тангенс по определению

.

Отсюда

. (11.16)

Подставляя исходные данные, имеем

,

где n – целое число.

Так как , то .

Отсюда

 мНп/км,

,

 км-1.

Чтобы определить число n, найдем приближенно длину волны

 км.

На расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на радиан. Следовательно, на расстоянии длина волны укладывается

раз. Принимаем .

Тогда

.

Коэффициент распространения [3]

 км-1.

Задача 11.3

Однородная линия имеет вторичные параметры  Ом и  км-1 на частоте Гц. Как надо изменить индуктивность для того, чтобы линия стала неискажающей?

Решение

1. Определим первичные параметры линии

 Ом/км,

 (Ом/км)-1.

Следовательно,

 Ом/км,

 Гн/км,

 (Ом/км)-1,

 Ф/км.

2. Индуктивность неискажающей линии

 Гн/км.

Тогда

 мГн/км.

Задача 11.4

Линия нагружена на активное сопротивление, равное волновому:

Ом.

 кВ,  км,  км-1.

Определить , , , .

Решение

Если волновое сопротивление активно, то

 А.

Мощность в нагрузке

 кВт,

,

,

 кВ,

 А.

Мощность в начале линии

 Вт.

Задача 11.5

Линия без потерь с параметрами  Гн/м, Ф/м, Гц нагружена на катушку с индуктивностью Гн.

Определить вторичные параметры линии и , расстояние от конца линии до первого узла напряжения.

Решение

Вторичные параметры линии

 1/м;

 Ом.

Напряжение и ток в нагрузке линии

;

.

Напряжение в любой точке линии без потерь [3]

,

или

.

Следовательно,

.

Узел напряжения там, где , т. е. или м.

Задача 11.6

Короткозамкнутая однородная линия без потерь имеет параметры  мГн/км,  Ф/км. Определить входное сопротивление такой линии длиной и .

Решение

В линии без потерь и . Тогда входное сопротивление [3]

,

где Ом.

Так как , то при и .

Следовательно, при входное сопротивление Ом имеет индуктивный характер.

При , т. е. входное сопротивление Ом имеет емкостный характер.

Задача 11.7

В начале линии с параметрами  Ом,  км-1, длиной  км приложено напряжение В. Линия нагружена на сопротивление, равное волновому.

Определить напряжение и ток в начале линии и на расстоянии 100 км от начала линии в моменты времени и с, действующие значения тока в начале и в конце линии.

Решение

Так как имеем нагрузку, то в линии присутствует только падающая волна:

, (11.17)

,

где  А; .

Следовательно,

. (11.18)

Используя выражения (11.17) и (11.18), найдем напряжение и ток в начале линии и на расстоянии 100 км при и  с.

При и : ; мА;

и км:  В; мА;

с и :  В; мА;

с и км: В; мА.

Действующие значения тока в различных точках линии

.

Следовательно, при мА, при  км  мА.

Задача 11.8

Однородная линия с параметрами  Ом и , длиной км разомкнута на конце и подключена к источнику с напряжением кВ.

Определить ток в начале линии , записать выражения мгновенных значений прямых и обратных волн напряжения и тока для любой точки линии.

Решение

Входное сопротивление линии для режима холостого хода

,

где ;

;

;

;

;

.

Найдем параметры холостого хода:

 Ом,

 А.

Определим значения напряжения и тока для прямых и обратных волн:

 кВ;

 А;

 кВ;

 А.

Мгновенные значения напряжений и токов

 кВ;

 А;

 кВ;

 А.

Задача 11.9

Воздушная линия без потерь длиной  км с волновым сопротивлением  Ом подключается к источнику постоянного напряжения  кВ и нагружена на активное сопротивление  Ом (рис. 11.1).

1. Построить графики распределения и вдоль линии в момент  мс.

2. Построить графики распределения и в точке A, отстоящей от начала линии на 60 км.

Решение

При замыкании ключа возникают прямые волны напряжения и тока

 кВ,

 А.

Волна подходит к нагрузке в момент

 мс.

Коэффициент отражения

.

Отраженные волны:

 кВ,

 А.

Напряжение и ток в линии после возникновения отраженных волн

 кВ,

 А.

Соответственно в нагрузке кВ; А.

Проверка: кВ.

К заданному моменту времени  мс фронт отраженной волны проходит путь

 км.

Эпюры распределения и представлены на рис. 11.2. Графики изменения напряжения и изображены на рис. 11.3. От момента замыкания ключа до момента

 с

ток и напряжение в точке наблюдения равны нулю (падающая волна еще не дошла до этой точки). До момента появления отраженных волн

 с

напряжение и ток будут постоянными: кВ, А.

С момента появления отраженных волн и напряжение и ток определяются выражениями

 кВ,

 А

до момента

 с,

пока вторые отраженные волны от источника не появятся в точке наблюдения.

В установившемся режиме

 кВ;  А.

Задача 11.10

Линия без потерь длиной  км с волновым сопротивлением  Ом и индуктивной нагрузкой  Гн подключается к источнику постоянного напряжения кВ (рис. 11.4а).

Найти законы изменения отраженных волн напряжения и тока .

Решение

В момент подхода прямой волны к нагрузке начинается переходный процесс в реактивном элементе. Схема замещения имеет вид (рис. 11.4б). Так как , то

 А.

Здесь время заменено новой переменной , отсчитываемой от начала переходного процесса в схеме замещения. Отраженные волны тока и напряжения изменяются по законам

 А;

 кВ.

В момент времени   А, кВ;

при  А, кВ.

Задача 11.11

Волна прямоугольной формы достигает конца линии без потерь длиной км с волновым сопротивлением  Ом, нагруженной на параллельно включенные  Ом и  мкФ (рис. 11.5). Напряжение источника кВ.

Определить закон изменения отраженной волны напряжения и тока во времени.

Решение

Согласно схеме замещения (рис. 11.6)

,

,

 кВ.

Характеристическое уравнение имеет вид

;

 с-1.

Следовательно,

.

При

,

откуда  кВ, и

 кВ.

Отраженная волна

 кВ.

Найдем решение через операторный коэффициент отражения

;

;

; ;  с-1.

Используя теорему разложения, имеем

,

откуда

 кВ;

 А.

Задача 11.12

К концу однородной линии без потерь с волновым сопротивлением  Ом, нагруженной на конденсатор емкостью  мкФ, подходит волна напряжения , где  кВ,  с-1.

Записать аналитические выражения для отраженных волн напряжения и тока.

Решение

Схема замещения представлена на рис. 11.7. Ток нагрузки найдем с помощью интеграла Дюамеля:

, (11.19)

где  кВ, .

Переходная проводимость

,

где с-1.

Следовательно,

или

.

Из соотношения , зная, что

 А,

получаем

 А,

 кВ.

Задача 11.13

Линия без потерь длиной  км и волновым сопротивлением  Ом соединена с линией без потерь длиной  км и волновым сопротивлением  Ом. В месте стыка включен резистор с сопротивлением  Ом, последовательно со второй линией включена катушка с индуктивностью  Гн. Начало первой линии подключается к источнику постоянного напряжения  кВ, вторая линия нагружена на конденсатор емкостью  мкФ (рис. 11.8).

Построить эпюры падающих, преломленных и отраженных волн для  мс.

Решение

1. Для заданного момента времени t построим диаграмму движения волн. За момент времени принимаем момент возникновения отраженных волн на стыке линий.

 км,

 км,

где  с.

Таким образом, существует при с,

существует при с,

существует при с.

2. Расчет падающей волны:

 кВ;  А.

3. Схема для расчета отраженных и преломленных волн представлена на рис. 11.10. Расчет проведем классическим методом:

а) начальное условие ,

 А.

б) характеристическое уравнение

,

откуда с-1.

в) следовательно, переходная функция тока в общем виде

, (11.20)

при уравнение (11.20) принимает вид

,

откуда .

Тогда

 А, (11.21)

 кВ, (11.22)

 кВ,

 кВ,

 А,

 А,

 А, (11.23)

 кВ. (11.24)

4. Для расчета волн, отраженных от нагрузки второй линии, составим электрическую схему (рис. 11.11а) и операторную схему замещения, для которой (рис. 11.11б).

Найдем , представив (11.22) в операторной форме:

.

Тогда

,

,

.

Используем теорему разложения:

,

,

,

,

,

.

Следовательно,

 А. (11.25)

Учитывая, что

 А, (11.26)

 кВ. (11.27)

5. Запишем полученные временные зависимости (11.21)-(11.24), (11.26) и (11.27) в функции x, для чего вместо переменной t введем. Учитывая, что  с для , , и (для них координата в стыке линий), а  с для , (для них координата в конце второй линии), то

 кВ,  А,

 кВ, (11.28)

 А, (11.29)

 кВ, (11.30)

 А, (11.31)

 кВ, (11.32)

 А, (11.33)

6. Рассчитаем значения волн вдоль линии в соответствии с полученными выражениями (11.28)-(11.33) для трех значений x:

; ; .

Для и км,

для и км,

для и км.

Следовательно,

кВ,  А,  кВ,  А,  кВ,  А,

кВ,  А,  кВ,  А,  кВ,  А,

кВ,  А,  кВ,  А,  кВ,  А.

По найденным значениям построим эпюры напряжений преломленных и отраженных волн (рис. 11.12).