Задача №1

Задача №1

Найти все действительные x, y, z удовлетворяющие системе:

x + y +z = 3

2xy – 2y – z2 = 4

Решение:

x + y +z = 3 y = 3 – x –z

2xy – 2y – z2 = 4 y =

Отсюда:

3 – x –z = ; (3 – x –z)(2x-2) = 4- z2;

6x – 6 - 2x2 + 2x - 2xz + 2z = 4-z2

-z2 + z(2-2x) – 10 + 8x – 2x2 = 0

Решаем получившееся уравнение как квадратное, относительно z:

-z2 + z(2-2x) – 10 + 8x – 2x2 = 0

ax + by + c =0

D = (2-2x)2 – 4(2x2 – 8x + 10) = 4 – 8x + 4x2 – 8x2 + 32x – 40 = 4x2 – 24x + 36 = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2

Z = = =

Z1 = ; Z2 =

1.  Подставим значение z1 в первое уравнение:

x + y + = 3

x + 2y – 7 =0

x = 7 – 2y

Подставим значения z1 во второе уравнение:

2xy – 2y - = 4 8xy – 8y – x2 – 2x = 17

Тогда имеем:

x = 7 – 2y

8xy – 8y – x2 – 2x = 17

Поэтому:

8(7-2y)y – 8y – (7-2y)2 – 2(7-2y) =y2 + 80y – 80 =0 y2 – 4y + 4 =0 y = 2

То есть, y = 2

x = 7 – 2y, Отсюда x=3

x = 7 – 2*2; x = 3

подставив значение x в z1, получаем:

Z1 = = -2

2.  Подставим значение z2 в первое уравнение:

x + y + = 3

2x + 2y – 3x – 5 = 6

x = 2y - 11

Подставим значения z2 во второе уравнение:

2xy – 2y - = 4

8xy – 8y – 9x2 – 30x = 29

Поэтому:

x = 2y - 11

8xy – 8y – 9x2 – 30x = 29

Тогда: 8(2y-11)y – 8y – 9(2y – 11)2 – 30(2y – 11) = 29

-20y2 + 240y – 788 = 0

5y2 – 60y + 197 = 0

D = -3940 ≤0 т. е. уравнение не имеет корней

Ответ: x = 3; y = 2; z = -2.

Задача №2

Решить уравнение: x2 + =

1.  Первый способ решения:

Если 4 + 2 = (a+b)2, т. к. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, тогда 2ab = , потому, что не можем получить из a2 или b2. Из этого следует, что ab = , допустим a = 1, а b = .

Поэтому:

(1+)2 = 1+2 + 3 = 4 + 2.

X2 + =

X2 + = 1 +

Тогда x = 1.

Ответ: 1

2.  Второй способ решения:

Возводим обе часть уравнения в квадрат, учитывая х2 + >0

X4 + 2x2 + 3 = 4 + 2

X4 + 2x2 = 0

(X4 – 1) + 2(x2 – 1) = 0

(x2 – 1) (x2 + 1) + 2 (x2 – 1) = 0

(x2 – 1)( (x2 + 1) + 2) = 0

Решаем получившееся уравнение:

(x2 – 1) = 0, x2 = 1, x = 1.

(x2 + 1) + 2  ≠ 0.

Ответ: 1

Задача №3

Найти наименьшее значение выражения:

Решение:

Введем новую переменную t, t = x2+1. Тогда t-1 = x2, где t ≥ 1.

Получаем:

Введем функцию:

y = , t  ≠ 0

Найдем производную:

= =

Находим стационарные точки:

= 0; t1 = 0 и t2 = 10

max	min

 

10

y´+ ‒ +

0

 

Так как t = x2+1, x2+1 = 10.

X1=3 и x2 = -3.

Y =

Ответ:

Н

Е

C

B

Задача №4

α

2

2

1

1

а

D

A

 

Решение:

1.  Докажем, что получившаяся фигура – прямоугольник.

Четырехугольник KNMR – параллелограмм, т. к. его стороны

образованы попарно параллельными биссектрисами: АЕ//ТС (соответственные углы ВАК и СТD равны), ВР//НD ( соответственные углы ВРА и НDА равны).

В данном параллелограмме сумма углов А и В равна 180 градусам, т. е. сумма углов 1 и 2, в треугольнике АВК, равна 90 градусам. Исходя из этого, угол АВК = 90 градусов, значит вертикальный ему угол KNR, тоже равен 90 градусам. Таким образом, KNMR – прямоугольник.

2.  Рассмотрим треугольник ATS, с прямым углом AST.

TS = х, т. к. прямые ST и KN – параллельные прямые между параллельными прямыми АЕ и ТС.

AN = AD – DT = , т. к. CDT – равнобедренный треугольник (признаку параллелограмма),

Выразим х через sin угла (угол под №1):

Sin =; х = (b-a) sin .

3.  Рассмотрим треугольник PFD, где угол PFD - прямой.

PF = у, т. к. прямые PF и NM - параллельные прямые между параллельными прямыми ВР и НD.

PD = AD – АР = b-a. (т. к. треугольник АВР также равнобедренный).

Выразим у через sin угла (угол FDP, т. к. PDC = 180 – α, а sin(180 – α) = sin α).

Sin =; у = (b-a) sin .

4.  Находим площадь прямоугольника.

S = x*y =( (b-a) sin )*( (b-a) sin ) =

Ответ: .

Задача №5

Обозначим первое, второе и третье числа через a, b и c соответственно;

А некоторый остаток через z.

Тогда a = c*q1 + z; b = c*q2 + z.

а - b = c*q1 + z - c*q2 + z = c(q1 – q2).

Разность первого и второго чисел будет делиться на третье число т. к. эта разность состоит из произведения третьего числа на (q1 – q2).

Задача №6

Разделим все уравнение (3a – 1)x2 + (3a – 1)x + a2 = 0 на (3а -1).

Получаем: x2 + x + = 0

Находим дискриминант:

D = 1 - = ≥ 0

Далее:

x13+x23 = -1

x13+x23 = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22 ) = -1

По теореме Виета мы знаем, что x1 + x2 = - b = -1

Тогда, x12 – x1x2 + x22 = 1; x12 + x22 = x1x2 +1 =

(x1 + x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22

Так же мы знаем, что x1x2 = с =

x12+ x22 + = 1

Находим корни уравнения x2 + x + = 0.

x1,2 =

x12+x22 = = = =

Зная, что x12+x22 = = решим уравнение:

=

= 0

-3a2=0

a2=0

a=0

Задача №7

Составим, где x – кол-во гирек массой 1г, у – кол-во гирек массой 10г, z – кол-во гирек массой 50г

x + y + z = 100,

x + 10y + 50z = 500

Отняв от второго уравнения первое, получим:

9y + 49z = 400

9y = 400 – 49z

y =

Мы знаем, что y и z - натуральные числа, поэтому можно подобрать подходящие числа.

Z меньше 8, т. к. иначе, мы получим отрицательное число.

y = ;

при z = 1

y = ; подходящее число

y = ∉ N; y = ∉ N; y = ∉ N; y = ∉ N;

y = ∉ N; y = ∉ N;

Подставив полученные значения y и z (39 и 1), в первое уравнение – найдем х:

x + 39 + 1 = 100; х = 60.

Ответ: 60 гирек массой 1г; 39 гирек массой 10г; 1 гирька 50г

Задача №8

Формула для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника:

180(n-2)

Сумма внешних углов многоугольника всегда равно 360.

Тогда получаем, что отношение суммы внутренних углов к сумме внешних углов равно .

Докажем, что это отношение не может быть равно :

;

4(n-2) = 30

4n – 8 = 30

4n = 38

n = = 9,5;

Чего не может быть, т. к. n ∈ N

Задача №9

Решить:

coscoscos

Решение:

Заменим

Получаем: сosαcos2αcos4α

Теперь одновременно умножим и разделим это выражение на 2sinα:

= .

Умножим и разделим получившееся выражение на 2:

= .

Умножим и разделим получившееся выражение на 2:

= = .

Подставим вместо α - :

= =

Ответ: -1/8

Задача №10

Представим (1+х2-х3)9 как – ((х3-1) –х2)9 = - (((х3-1)-х2)3)3

- ((х3-1)-х2)3 = -((х3-1)3-3(х3-1)2х2+3(х3-1)х4-х6= х9 – 3х6 + 3х3 – 1 – 3х8 + 6х5 – 3х2 + 3х7 – 3х4 – х6 = х9 – 3х8 + 3х7 – 4х6 + 6х5 - 3х4 + 3х3 – 3х2 +1).

При дальнейшем возведении в куб, коэффициент 8 мы получим из пар этих чисел.

И так как сейчас они имеют коэффициенты 4 и 3, 6 и 3, то окончательный коэффициент будет равен:

-((-4)*(-3) + 6*3) = -(12+18) = - 30

Ответ: -30

Выполнила

Фамилия Акчурина

Имя Сабина

Отчество Ильдаровна

Класс 10

Школа МОБУ СОШ №2

Село Киргиз-Мияки

Район Миякинский

Ф. И.О. учителя