Вычисление определенных интегралов

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

6.1. Постановка задачи, общая характеристика методов

Требуется вычислить интеграл вида

,

(6.1)

где  f(x) - подынтегральная функция, непрерывная на [a, b];

a, b - нижний и верхний пределы интегрирования.

Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f(x) на промежутке [a, b] изменения х (рис.6.1).

К численному вычислению интеграла (чис­ленному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла

 

через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид.

Рис.6.1, Геометрическая

интерпретация определенного

интеграла

Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции  f(x) аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первоообразную в элементарных функциях, т. е.

,

где S - приближенное значение интеграла (6.1);

R - погрешность численного вычисления интеграла J.

При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [a, b] разбивается на некоторое число N интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция  f(x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.6.2).

Рис.6.2. Геометрическая сущность

численного интегрирования

Рис.6.3. Зависимость погрешности от

числа разбиений

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.

1-я группа:  методы Ньютона-Котеса. Они основаны на полиномиальной аппроксимации. Методы этой группы отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять значения подынтегральной функции  f(x). Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

2-я группа: сплайновые методы. Эти методы различаются типами выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются на многих этапах обработки данных.

3-я группа: методы Гаусса-Кристоффеля. Это методы наивысшей алгебраической точ­ности. Они используют не равноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования. Алгоритмы этой группы методов требуют большей оперативной памяти ЭВМ, чем алгоритмы 1-ой группы.

4-я группа: методы Монте-Карло. В них используется вероятностный, случайный выбор узлов аппроксимации.

5-я группа: это специальные методы, специализированные под данный вид подынтегральной функции. Они характеризуются высокой точностью, но и большой сложностью алгоритмов и программной реализации.

При увеличении числа N, т. е. при уменьшении длины интервала разбиения, погрешность аппроксимации R будет уменьшаться, но при этом будет возрастать погрешность суммирования Rs частичных интегралов. Начиная с некоторого No, эта погрешность становится преобладающей, и тогда суммарная погрешность =R+Rs численного интегрирования будет возрастать (рис.6.3.). Поэтому не следует считать, что неограниченное увеличение N будет давать все более точный результат.

6.2. Методы прямоугольников

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция  f(x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т. е. константой. Такая замена является неоднозначной, т. к. константу можно выбрать равной значению f(x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т. е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку на оси OX обозначим через x0, точку b - через xn, а точки разбиения промежутка [a, b] - через x1, x2,..., xn-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [a, b]. Обозначим ее через h:

; xi= xi-1 + h, i =1,2,...,N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i-го прямоугольника

Si = h f(xi), i = 0,1,2,...,n-1,

(6.2)

а для всего промежутка [a, b]:

Аналогично, в методе правых прямоугольников

Si = h f(xi), i = 1,2,...,n; .

(6.3)

и в методе средних прямоугольников

Si = h), i = 0,1,2,...,n-1; ,

(6.4)

где , i = 0,1,2,...,n-1.

Приведенные формулы для S являются вычислительными формулами методов прямоугольников.

На рис.6.5. приведена блок-схема вычисления определенного интеграла методом средних прямоугольников.

Рис.6.5. Алгоритм метода средних прямоугольников

Алгоритмы для методов левых и правых прямоугольников отличаются от изображенного на рис.6.5 лишь одним блоком (он выделен жирной линией). Для метода левых прямоугольников здесь должно стоять X=A, для метода правых прямоугольников должно быть X=A+h.

Оценим точность этих методов. В методе средних прямоугольников для каждого интервала разбиения получаем c учетом выражения для Si в (6.4):

.

(6.5)

Для оценки Ri разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около средней точки

(6.6)

В малой окрестности точки  этот ряд с высокой точностью представляет функцию f (x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под знак интеграла вместо  f (x) ее тейлоровское разложение (6.6) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. T. е. точное значение интеграла на интервале [xi,xi+1] рав­но:

Подставим пределы интегрирования:

или, так как :

Все члены полученного при интегрировании ряда, имеющие (x-x i) в четной степени, обращаются в нуль. Поэтому получаем:

(6.7)

Сравнивая (6.5) и (6.7), можно записать выражение для погрешности Ri:

При малой величине шага интегрирования h основной вклад в значение Ri дает первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале [xi,xi+1] и обозначается R0i:

.

(6.8)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем промежутке [a, b] определится как сумма:

.

(6.9)

Здесь использован тот же метод средних прямоугольников, но для функции .

Степень шага h, которой пропорциональна величина R0, называется порядком метода интегрирования. Как видно из (6.9), метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=xi:

Интегрируя это разложение почленно на интервале [xi,xi+1] получаем

Здесь первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников (см. формулу (6.2)) , а второе слагаемое является главным членом погрешности:

.

(6.10)

Тогда на всем промежутке интегрирования [a, b] главный член погрешности R0 получается суммированием частичных погрешностей R0i :

,

(6.11)

т. е. метод левых прямоугольников имеет первый порядок. Метод правых прямоугольников также имеет первый порядок.

Сравнение (6.9) и (6.11) показывает, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность по сравнению с методом левых или правых прямоугольников и за счет коэффициента в знамена> 2), и за счет интеграла от производной, т. к. для большинства функций выполняется неравенство

.

Следовательно, использование метода средних прямоугольников является предпочтительным, но использовать его удается не всегда. Если значения  f(x) определяются из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников напрямую при­менить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в срединных точках. В этой ситуации приходится применять либо какие-нибудь средства интерполяции, что приводит к дополнительным расходам машинного времени и памяти, либо другие методы численного интегрирования.

6.3. Метод трапеций

В этом методе подынтегральная функция f(x) на интервале [xi,xi+1] заменяется полиномом первой степени, т. е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения  f(x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:

Рис.6.6. Геометрическая

интерпретация метода

трапеций

,

т. е. ,

а численное значение интеграла на всем [a, b]

.

Это вычислительная формула метода трапеций.

(6.12)

(6.13)

Блок-схему алгоритма метода трапеций предлагается студентам разработать самим.

Оценим погрешность  Ri. Для этого разложим функцию  f(x) в ряд Тейлора около точки xi :

(6.14)

Тогда

(6.15)

С помощью разложения (6.14) вычислим подынтегральную функцию в точке  xi+h :

откуда

(6.16)

Подставляя произведение (6.16) в выражение (6.15), получим

(6.17)

Сравнивая (6.12) и (6.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла

.

Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид

,

(6.18)

т. е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.

6.4. Экстраполяционный переход к пределу

Формулу (6.18) для погрешности метода трапеций можно записать в виде

,

где С - величина, не зависящая от шага разбиения h.

Для уточнения метода трапеций можно применить следующую манипуляцию: вычисляются два значения  Sh и Sk одного и того же интеграла для разных разбиений. Тогда можно записать:

и .

(6.19)

Если вычесть эти два уравнения друг из друга, то можно определить С:

.

Тогда, подставляя это значение С в одну из формул (6.19), получаем:

Вычисленное таким образом значение интеграла является гораздо лучшим приближением, чем  Sh или Sk.

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу или уточнением по Ричардсону.

6.5. М е т о д С и м п с о н а

В этом методе подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом второй степени  - т. е. параболой, проходящей через точки , , , где i = 0,1,2,...,n-2; , т. е.

(6.20)

Поэтому данный метод еще называют методом парабол.

Для записи полинома воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (см. раздел 5.Аппроксимация зависимостей) для трех узлов (на примере i=0, i+1=1, i+2=2):

(6.21)

где f01, f012 - разделенные разности:

;

(6.22)

h - шаг разбиения промежутка интегрирования.

Введем новую переменную z =  x - x0. Тогда x = z + x0 и полином (6.21) принимает вид:

.

(6.23)

Интеграл от полинома (6.23) с учетом (6.22) имеет вид:

(6.24)

Соотношение (6.24) называют квадратурной формулой Симпсона.

Для всего промежутка интегрирования [ a, b ] при четном значении n количества интервалов его разбиения эта формула имеет вид:

(6.25)

Для удобства программирования эту формулу можно записать так:

,

причем суммирование идет по нечетным значениям i и по четным значениям j.

Погрешность метода Симпсона имеет вид

,

т. е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности. При малых значениях четвертой производной от подынтегральной функции на промежутке интегрирования этот метод позволяет получить высокую точность. Если же четвертая производная велика, то методы второго порядка могут дать большую точность. При малых значениях четвертой производной здесь также можно применить уточнение по Ричардсону и еще более улучшить результаты интегрирования.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.