Задание Д12-17

ЗАДАНИЕ Д12-17

Дано: m1= 16 кг, m2= 10 кг, m5= 4 кг, с1= 800 Н/м. АВ=, 1,2 м, R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,.

Найти: частоту k и период t малых колебаний системы около положения равновесия и значение lст.

РЕШЕНИЕ:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота j колеса 2 от равновесного положения (при равновесии j=0, s5=0, sK=0). Рассматривая малые колебания считаем угол j малым.

Т. к. все действующие на систему силу потенциальны (силы тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через потенциальную энергию системы. Тогда

, где (1)

2. Кинетическая энергия системы .

Т. к. колеса 1, 2 вращаются вокруг оси, а груз 5 движется поступательно, то

; ; , где , .

Выразим все скорости через обобщенную скорость . Тогда, и . Ввиду малости j можно считать, что . Следовательно, или , где . Отсюда

, и . (2)

3. Потенциальная энергия системы. Для пружины , где l – удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести , где – координата ц. тяжести (ось Z направлена вертикально вверх).

Для всей системы

Учтем, что , а . Таким образом

.

4. Определим обобщенную силу Q и lст. . (3)

Т. к. при равновесии, когда j=0 должно быть и Q=0, то и отсюда .

Тогда

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляем в (1) значения производных (2) с учетом (3) получаем

или . Обозначим и уравнение Лагранжа примет вид . (4)

Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (4), то в нем k является круговой частотой, а период колебаний . Таким образом

(1/с); (с);

м = 8,2 см.