Практическая работа № 1
по дисциплине «Небесная механика»
для студентов гр. КГ-31 (осенний семестр 2011/2012 у. г.)
Тема. Углы Эйлера.
Цель. Практическое освоение элементов векторной алгебры на задаче определения углов Эйлера.
I. Содержание теоретической части задания
1. Математическое определение углов Эйлера. Примеры применения углов Эйлера в небесной механике и космической геодезии, в астрометрии и высшей геодезии, в фотограмметрии и авиации.
2. Введение исходной системы координат Oxyz , относительно которой изучается ориентировка твердого тела.
3. Введение штриховой системы координат Ox’y’z’ с помощью двух радиус-векторов, жестко связанных с твердым телом r1={x1, y1, z1} и r2={x2, y2, z2}.
4. Введение трех углов Эйлера i, Ω, ω в классической геометрической интерпретации.
5. Практическое определение (вычисление) ориентировки твердого тела по двум заданным радиус-векторам,
которые жестко связаны с твердым телом.
5.1. Принципы практического вычисления угла между двумя произвольными векторами, заданными своими прямоугольными координатами, на интервале от 0 до 2π радиан.
5.2. Вывод формул для однозначного вычисления трех углов Эйлера (с формулами для промежуточного контроля):
5.2.1. Формула для вычисления угла наклона i.
5.2.2. Формула для вычисления угла прецессии W,.
5.2.3. Формула для вычисления угла чистого вращения w.
6. Вывод формулы для заключительного контроля вычисления трех углов Эйлера с помощью матриц поворота.
II. Содержание практической части задания
1. Исходные данные по заданному варианту в виде прямоугольных координат двух радиус-векторов r1={x1, y1, z1} и r2={x2, y2, z2}.
2. Введение ортов i, j, k осей исходной системы координат Oxyz.
3. Вычисление ортов i', j’, k’ осей штриховой системы координат Ox’y’z’ в проекциях на оси исходной системы координат и контроль вычисления ортов.
4. Вычисление углов Эйлера i, W, w в области их определения (по формулам, полученным в пункте 5.2).
4.1. Вычисление угла наклона i.
4.2. Вычисление угла прецессии W..
4.3. Вычисление угла чистого вращения ω.
5. Заключительный контроль вычисления углов Эйлера (с помощью матриц поворота и с оценкой допустимой погрешности контроля).
III. Задание для самостоятельной работы
1. Получить формулы для вычисления ортов осей штриховой системы координат в проекциях на оси исходной системы отсчета.
2. Получить формулы для однозначного вычисления углов Эйлера.
3. Получить формулы для заключительного контроля вычисления трех углов Эйлера.
4. Оценить погрешность исходных данных.
5. Оценить допустимые пределы расхождений контрольных вычислений на промежуточных и заключительном этапах.
Методические указания
(к оформлению и составлению отчета по практической работе)
1. Титульный лист (академия, институт, кафедра, номер задания, наименование дисциплины, тема задания, студент, преподаватель, год).
2. Содержание (с указанием страниц).
3. Текст задания (приложить без сокращений).
4. Выполненное задание представить:
- в виде краткого отчета в двух частях – теоретической и практической,
- с выделением заголовков по каждому пункту и подпункту отчета,
- с графическим и текстовым пояснением всех элементов рисунков и переменных величин в формулах.
5.Расчеты выполнить на ПЭВМ с помощью системы Mathcad.
File:Ugly_Eylera 11_12.doc Задание составил проф.
Практическая работа № 2
по дисциплине «Небесная механика»
для студентов гр. КГ-31 (осенний сем. 2011/2012 у. г.)
Тема: «Определение параметров орбиты искусственного спутника Земли
по вектору положения и вектору его скорости»
Цель работы
Освоение на практике теоретических положений невозмущенного (кеплерового) движения космического аппарата (КА).
Содержание работы
Даны начальные условия движения (НУ) космического аппарата (КА) для начального момента времени tо(UTC) по шкале всемирного координированного времени UTC. Начальные условия заданы в виде вектора положения r0 = {xo yo zo} и вектора скорости r0 = {xo yo zo} искусственного спутника Земли (ИСЗ) в инерциальной системе координат (Oxyz), связанной с центром масс Земли O, с осью ее вращения OP и точкой весеннего равноденствия g. Дан гравитационный параметр Земли m=fM, полностью характеризующий центральное поле тяготения Земли.
Требуется:
1. Определить по НУ (r0 , r0,to) и гравитационному параметру Земли m=fM из решения дифференциального уравнения движения ИСЗ в векторной форме d2r/dt2+(m/r3)r=0 следующие константы интегрирования:
· векторную константу площадей c ={cx, cy, cz},
· вектора Лапласа l={lx, ly, lz},
· константу энергии h,
· большую и малую полуоси орбиты a и b,
· фокальный параметр орбиты p и ее эксцентриситет e,
· расстояние до перигея и апогея орбиты rp и ra ,
· среднее движение спутника n ,
· период обращения спутника T ,
· наклонение орбиты i,
· долготу восходящего узла орбиты W,
· аргумент перигея орбиты w,
· аргумент широты спутника u0 в начальный момент времени t0,
· истинную аномалию спутника v0 в начальный момент времени t0,
· эксцентрическую аномалию спутника E0 в начальный момент времени t0,
· среднюю аномалию спутника M0 в начальный момент времени t0,
· моменты времени tp и ta прохождения спутника через перигей π и апогей a, орбиты спутника,
· моменты времени tW и tW ' прохождения спутника через восходящий Ω и нисходящий Ω’ узлы орбиты спутника.
2. Из множества вычисленных констант интегрирования движения спутника по орбите {c, cx, cy, cz,l, lx, ly, lz, h, a, b, p, e, rπ, ra, n, T, i, W, ω, u0, v0, E0, M0, tπ, ta, tW, tW,} выбрать шесть независимых констант – шесть кеплеровых элементов орбиты, например такие {a, e, i, W, ω, tπ}.
3. Выполнить заключительный контроль вычислений путем расчета векторов положения r0 и скорости r0 спутника на начальный момент времени tо на основе шести кеплеровых элементов орбиты {a, e, i, W, ω, tπ}.
Задание для самостоятельной работы.
1. Проконтролировать промежуточные вычисления с помощью формул, выведенных самостоятельно.
2. Согласовать точность контроля с погрешностью исходных данных: 1) оценить допустимые расхождения в контрольных формулах, 2) сравнить допустимые и фактические расхождениями в контролях, 3) принять решение о допустимости фактических расхождений в контрольных формулах.
3. Сделать заключительный контроль вычисления шести кеплеровых элементов орбиты {a, e, i, W, ω, tπ} путем перехода от кеплеровых элементов к прямоугольным координатам вектора положения спутника r0 = {xo, yo, zo} и составляющим его скорости r0 = {xo, yo, zo} на начальный момент времени tо.
4. Нарисовать два чертежа:
· на плоском рисунке 1 (в плоскости орбиты) показать:
векторы l, ro, ŕo , эллипс орбиты, линию апсид, линию узлов, большую и малую полуоси орбиты, фокальный параметр, а также точки и углы: начальное положение спутника m, перигей p, апогей a, восходящий W и нисходящий Ω’ узлы орбиты, истинную аномалию vo, эксцентрическую аномалию Eo, среднюю аномалию Мо, аргумент широты спутника u0, аргумент перигея орбиты w;
· на пространственном рисунке 2 показать в трехмерной инерциальной системе координат (Oxyz) орбиту спутника, экваториальную плоскость, а также углы i, W, w, u0,v0,, векторы c, l, r0, r0, и точки m, p, a, W.;
· на обоих рисунках изобразить элементы орбиты в соответствии с числовыми значениями, полученными в заданном варианте.
Задание составил профессор
Практическая работа № 3
по дисциплине «Небесная механика»
для студентов гр. КГсеместр, 2011/2012 у. г.)
Тема. Расчет трассы ИСЗ в географических координатах.
Цель работы. Освоение на практике теории невозмущенного (кеплерового) движения космического аппарата (КА) на примере расчета трассы спутника.
Содержание работы.
Даны начальные условия (НУ) движения (КА) на дату d=(6+N) марта 2012 года (N - номер варианта) в виде кеплеровых элементов орбиты {a, e, i, W, w, tp} относительно небесной системы координат Oxgygzγ, которая связанна с центром масс Земли O, осью ее вращения OP и точкой весеннего равноденствия g. Движение КА происходит в центральном поле тяготения Земли c гравитационным параметром μ=fM. Система времени – UTC (всемирное координированное время).
Требуется.
1. Рассчитать трассу КА на интервале двух оборотов спутника и выбрать город, в зоне видимости которого будет проходить спутник.
2. Выбрать наземный пункт (НП) М произвольно (по любой мировой географической карте), но так, чтобы часть траектории спутника попадала в зону радиовидимости пункта М. Координаты НП – геодезическую долготу L и геодезическую широту B снять с карты с точностью до одного градуса. Геодезическую высоту H приравнять высоте над уровнем моря, снятой с карты с погрешностью 0,1 км.
Для выбора наземного пункта рассчитать приближенно сферический радиус β зоны радиовидимости в градусах, как функцию β= β(R, r, hmin) среднего радиуса Земли R=aE , среднего радиуса орбиты r=a и маски hmin=15o.
Зону радиовидимости нанести на трассу спутника j=j(l) приближенно. Центр зоны нанести по координатам НП М (l=L, j=B). Границу зоны провести от руки по четырем точкам – северной ZN , южной ZS, западной ZW и восточной ZE, приняв lN=L, jN=B, lS=L, jS= -B, lW=L –β/cosB, jW=B, lE=L +β/cosB, jE=B.
Методические указания
1. Для расчетов использовать исходные данные из практической работы № 2 по небесной механике на тему «Определение параметров орбиты искусственного спутника Земли по вектору положения и вектору его скорости») в виде шести кеплеровых элементов орбиты a, e i,W, w, tp на дату d, которую принять равной 6 марта 2012 года плюс номер варианта N. В расчетах использовать теорию и методику, изложенные в лекциях по небесной механике.
2. Трассу КА рассчитать для заданной по варианту даты d в общеземной геоцентрической экваториальной системе координат OxG yG zG в виде сферических геоцентрических координат lk, jk, rk (где lk - геоцентрическая долгота, jk - геоцентрическая широта и rk – геоцентрическое расстояние до спутника) на заданные моменты времени tk :
tk = tπ+kDt, k=1, 2, …, K+1, Dt=N∙T/K1,
где Dt – шаг трассы, K1 – заданное число точек трассы на одном обороте спутника,N – заданное число оборотов спутника, T – период обращения КА по орбите.
Результаты расчетов трассы представить в двух вариантах:
а) в виде таблицы {k, lk, jk, rk, tk, uk, vk, Sk, m}, где uk, Sk – аргумент широты спутника и звездное время на Гринвиче в момент tk ;
в) в виде графика j=j(l) в произвольной плоской прямоугольной проекции с осью абсцисс l - вдоль экватора и осью ординат j - ортогонально экватору (размеры графика – А4 в альбомной ориентации, на графике подписать номера k точек трассы и оси абсцисс l и ординат j).
3. Проконтролировать расчет трассы КА.
4. Для выбора наземного пункта М использовать любую географическую карту мира. В качестве пункта М выбрать какой-нибудь крупный город так, чтобы часть трассы попадала в зону радиовидимости пункта М. С карты снять координаты наземного пункта М – геодезическую долготу L и геодезическую широту B - с точностью до одного градуса. Геодезическую высоту H приравнять высоте над уровнем моря, снятой с карты с погрешностью 0,1 км. При выборе наземного пункта рассчитать приближенно сферический радиус β зоны радиовидимости в градусах, как функцию β= β(R, r, hmin) среднего радиуса Земли R=aE , среднего радиуса орбиты r=a и маски hmin=15o по формуле
β = arccos(R/r) - hmin.
Зону радиовидимости нанести на трассу спутника j=j(l) приближенно. Центр зоны нанести по координатам НП М (l=L, j=B). Границу зоны провести от руки по четырем точкам – северной ZN , южной ZS, западной ZW и восточной ZE, приняв lN=L, jN=B+β, lS=L, jS=B-β, lW=L –β/cosB, jW=B, lE=L +β/cosB, jE=B.
5. Определить графически в трех точках трассы m, q, p (m – точка восхода спутника над горизонтом наблюдателя М, q – точка кульминации, p – точка захода за горизонт) время прохождения ti и азимут Аi (i=m, q, p) с точностью: время до 0,1m, азимут до 15о.
6. Расчеты выполнить в системе программирования MathCAD 14.
File: Задание №3 Расчет трассы ИСЗ_2012.doc Задание составил проф.
Практическая работа № 4
по дисциплине «Небесная механика»
на тему «Расчет географических координат точек на границе зоны радиовидимости искусственного спутника Земли для данного наземного пункта»
Цель. Практическое освоение теории прогнозирования невозмущенного движения искусственных спутников Земли относительно наземного пункта на примере расчета географических координат на границе зоны радиовидимости искусственного спутника Земли (ИСЗ).
Содержание. Рассчитать сферический радиус зоны радиовидимости ИСЗ, географические координаты зоны по начальным условиям (НУ) движения спутника относительно заданного наземного пункта M приближенную эфемериду ИСЗ в топоцентрической горизонтальной системе координат. В качестве исходной информации использовать трассу ИСЗ и элементы орбиты {a, e, i, Ω, ω, tπ; d} из предыдущей практической работе № 3 для заданного варианта.
Методические указания.
1. Зону радиовидимости спутника представить:
1) в виде таблицы {Ai, λi, φi}, i=1, 2, …, k, где Ai – азимут, λi, φi – географические долготы и широты точек mi , расположенных на границе зоны радиовидимости, k – заданное число точек mi.
2) в виде замкнутой кривой в плоской прямоугольной проекции произвольного вида с наложением на трассу спутника, построенную в предыдущей практической работе № 3.
2. На рисунке в зоне радиовидимости показать:
1) фрагменты трассы для двух прохождений спутника над горизонтом наблюдателя М,
2) точки входа, кульминации и выхода спутника из зоны радиовидимости на двух прохождениях,
3. Составить приближенную эфемериду двух прохождений ИСЗ для заданного наземного пункта М в виде таблицы (Tk, hk, Ak), где k=1 – точка восхода, k=2 – точка кульминации, k=3 – точка захода спутника за горизонт наблюдателя М.
File: Задан_4_Зона радио_2012.doc.
1.04.2012 г Задание составил
Практическая работа № 5
по дисциплине «Небесная механика»
для студентов группы КГ-31 (весенний семестр, 2011/2012 у. г.)
на тему «Расчет эфемериды ИСЗ в топоцентрической горизонтальной сферической системе координат»
Цель. Практическое освоение теории прогнозирования движения космических аппаратов относительно наземного пункта на примере расчета видимой траектории спутника относительно горизонта наблюдателя.
Содержание. Рассчитать видимую траекторию ИСЗ относительно наземного пункта М в трех точках орбиты (k=1, 2, 3, где k=1 - точка восхода, k=2 - точка кульминации, k=3 – точка захода спутника за радиогоризонт) в двух прохождениях спутника через зону радиовидимости в топоцентрической горизонтальной системе координат MxHyHzH.
Методические указания.
Орбита ИСЗ задана на дату D кеплеровыми элементами {a, e, i, Ω, ω, tπ}, полученными в предыдущей работе № 2 для заданного варианта, относительно небесной системы координат в центральном поле тяготения Земли с гравитационным параметром μ=FM.
Положение наземного пункта задано относительно общего земного эллипсоида с параметрами {aE,, eE} в виде геодезических координат {L, B, H}, полученными в предыдущей работе № 3 для заданного варианта.
Модель вращения Земли задана одним главным параметром - ωE – угловой скоростью вращения Земли. Второй главный параметр вращения Земли So – звездный угол (или истинное звездное время на меридиане Гринвича в ноль часов текущей даты D) рассчитать по приближенной формуле с точностью 0,1о.
Для расчета точек восхода, кульминации и захода спутника за горизонт наблюдателя использовать приближенный момент кульминации спутника Tq и маску hmin из предыдущей работы № 4.
Видимую траекторию (эфемериду ИСЗ) на двух прохождениях рассчитать в виде таблицы
{tk, Ak, hk, ρk}, k=1, 2, 3
с точностью 0,1о. В эфемериде ИСЗ t – момент времени по шкале UTC, A – геодезический азимут спутника, отсчитываемый от точки севера по ходу часовой стрелки через точку востока от 0 до 2π, h – угловая высота спутника над геодезическим горизонтом наблюдателя.
Видимую траекторию представить также на рисунке в виде зенитально-азимутальной проекции топоцентрической небесной полусферы на плоскость геодезического горизонта наблюдателя.
Дальнейшие методические указания к выполнению работы даны в «Образце работы № 5».
File: Задан_5_Видимая траект ИСЗ_2012.doc
8.04.2012 г. Задание составил
