Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

Московский городской педагогический университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики его обучения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория функций действительного переменного (ДПП. Ф.02)

Специальность: 050201.65

«Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»,

Специалитет, квалификация - учитель математики.

Математический факультет, Курс 3, Семестр 6

Часть I. Программа учебной дисциплины

Москва, 2008

Программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 5 ноября 2008 года, протокол

Программа повторно обсуждена, уточнена и утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 17 декабря 2009 г., протокол №5.

Программа утверждена на заседании ученого совета математического факультета 25 декабря 2009 г., протокол №5.

Составители:

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

Заведующий кафедрой:

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .

Рецензент:

, профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа МПГУ

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Теория функций действительного переменного (ДПП. Ф.02)

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. Пояснительная записка. Цели и задачи дисциплины. с. 4

2. Требования к уровню освоения дисциплины. с. 7

3. Распределение курса по темам и организационным формам обучения. с. 10

4. Основное содержание дисциплины с. 11

5. Список рекомендуемой литературы с.13

Пояснительная записка

Программа курса «Теория функций действительной переменной» соответствует требованиям ГОС ВПО от 01.01.01 года, номер государственной регистрации № 000 пед/сп.(новый). Общее количество часов на дисциплину составляет 85 часов (42 часа аудиторных занятий и 43 часа самостоятельных занятий студентов).

Необходимым условием освоения дисциплины является знание курса математического анализа за 1 - 4 семестры и курса алгебры за 3 - 4 семестры обучения.

Цели и задачи дисциплины

Цель изучения дисциплины состоит в изложении основ теории функций действительной переменной, установлении структуры числовых и плоских множества, ознакомлении будущих учителей математики с тремя фундаментальными характеристиками бесконечных числовых множеств («количество» элементов или мощность множества, тип расположения точек множества, «длина» или мера множества ).

Задачи курса:

- ознакомить студентов с элементами истории теории действительных чисел, с основными способами построения поля действительных чисел;

- привести примеры разнообразных числовых множеств, классифицируя их по мощности («количеству» элементов);

- показать наличие бесконечных множества, различных по мощности и бесконечность различных мощностей бесконечных множества;

- доказать основные теоремы об операциях над счетными и континуальными множествами, сформировать достаточно емкую базу данных различных счетных и континуальных множеств;

- сформировать основной технический аппарат исследования мощностей множеств – разнообразные способы использования теоремы Кантора-Бернштейна и теоремы о промежуточных мощностях;

- дать представление о борелевской классификации числовых множеств, привести описание борелевских множеств нулевого класса (открытые и замкнутые множества);

- закрепить знания основных структур классического математического анализа (предел последовательности и функции, непрерывность функции) и перенести эти понятия на случай произвольных метрических пространств;

- дать характеризацию компактных подмножеств конечномерного евклидова пространства в терминах непрерывных числовых функций;

- сформировать умения и навыки исследования числовых множеств (нахождение внутренних, граничных, предельных точек);

- привести аксиоматический подход к определению меры Лебега и сравнить его с конструктивным подходом, осованным на понятии внешней меры Лебега.

- дать представление о способах построения интеграла Лебега, провести сравнение с интегралом Римана;

- ознакомить с частными методиками и содержанием элективных курсов по элементам теории счетных и континуальных числовых множеств в старшей профильной школе.

Основной объект изучения настоящего курса - числовые множества, т. е. подмножества числовой прямой. Одна из основных целей при этом состоит в объяснении того, что на прямой, кроме про­межутков, сходящихся последовательностей и отдельно стоящих точек, есть "очень много" и других, очень разных множеств, т. е. что числовая пря­мая - весьма нетривиальный математический объект.

Сравнение множеств производится в трех основных частях курса по следующим трем параметрам : по "количеству" элементов, т. е по мощности множеств, по их расположению на прямой (открытые, замкну­тые, компактные, борелевские и т. д. множества), и по тому, сколько места на прямой занимает множество (измеримость и мера Лебега).

В изложении теории мощностей предлагается не спешить с общей теоремой Кантора-Бернштейна, а уделить большее внимание конкретной технике обращения со счетными и с континуальными множествами. В теме "Чис­ловые множества" изложение начинается с повторения основных видов расположения точки относительно множества (см. "Математический ана­лиз", 2 курс). Затем рассказывается о структуре открытых числовых множеств и о решении континуум-гипотезы в классе замкнутых множеств; здесь происходит "зацепление" с теорией множеств. Наконец, в основном в качестве пропедевтики к следующей теме "Элементы теории меры", подробно анализируется канторово множество.

Существуют весьма различные подходы к построению меры Лебега на прямой. Наш подход состоит в определении внешней меры множества как инфимума длин открытых покрытий этого множества, а измеримость множества определяется как наличие его открытых покрытий таких, что внешняя мера разности между покрытием и множеством сколь угодно мала. Такой подход напоминает традиционный, но позволяет обойтись без внутренней меры и без разделения случаев ограниченного и неограниченного множеств. Абстрактную точку зрения на меру Лебега ( продолжение конечно аддитивной меры с полукольца ) излагать не планируется, а меру Лебега плоских множеств, как и интеграл Лебега, предполагается изложить в обзорном порядке.

Требования к уровню освоения дисциплины «Теория функций действительной переменной».

Иметь представления:

- об истории развития теории множеств и сравнения бесконечных множеств, о результатах Г. Кантора, К. Вейерштрасса, К. Жордана, А. Лебега, Э. Бореля, , Б. Римана;

- о формулировке континуум-гипотезы, ее обобщений и истории ее решения;

- о диагональном канторовском процессе, о доказательстве теоремы Кантора-Бернштейна;

- о борелевской классификации числовых множеств, существовании не борелевских числовых множеств;

- о схеме построения меры Лебега плоских множеств и ее свойствах;

- об интерпретации вероятностных пространств, как пространств с нормированной, счетно-аддитивной, положительной мерой;

- о сравнении интеграла Римана и интеграла Лебега функций действительной переменной.

Знать:

- определения основных типов отображений множеств (иньекция, сюръекция, биекция) и сравнения бесконечных множеств в терминах этих отображений;

- понятие равномощных множеств, счетных и континуальных множеств;

- свойства операций над счетными и континуальными множествами (декартово произведение, объединение), связь между счетными и континуальными множествами;

- доказательство теоремы о промежуточных мощностях, доказательство существования трансцендентных чисел;

- определения и свойства открытых, замкнутых и компактных числовых множеств и подмножеств метрических пространств;

- связь между сходящимися и фундаментальными последовательностями в метрических пространствах;

- аксиоматический подход к определению меры Лебега числовых множеств;

- свойства внешней меры Лебега и свойства измеримых по Лебегу множеств;

- свойства меры Лебега и ее отличия от меры Жордана;

Уметь:

- проверять иньективность, сюрьективность, биективность простейших числовых функций;

- строить биекции между простейшими числовыми множествами, т. е. проводить по определению доказательства их счетности или континуальности;

- доказывать несчетность числового отрезка и любого невырожденного числового промежутка;

- доказывать счетность (континуальность) декартова произведения двух счетных (континуальных) множеств;

- использовать теорему о промежуточных мощностях для доказательства счентости или континуальности числовых множеств, и множеств, связанных с ними;

- находить внутренние, внешние, предельные и граничные точки основных числовых множеств;

- проверять открытость (замкнутость) основных числовых множеств;

- вычислять длины конструктивно заданных открытых числовых множеств;

- доказывать основные свойства длины, внешней меры Лебега и меры Лебега числовых множеств.

Иметь навыки (обладать компетенциями):

- изображения на числовой прямой различных точечных множеств;

- конструирования числовых множеств с наперед заданными мощностыми характеристиками;

- восстановления (неоднозначного) числовых множеств по заданным множествам их внутренних, предельных и т. п. точек;

- нахождения мощности множеств последовательностей элементов различных множеств;

- использования теоремы Кантора – Бернштейна и теорем о промежуточных мощностях;

- вывода из аксиом простейших свойств меры Лебега и измеримых множеств.

Распределение курса по темам и организационным формам обучения

№

Учебная тема

Вид занятий

Лек-ции

Семи-

нары

СРС

1

Мощности бесконечных множеств и их сравнение. Счетные и континуальные множества.

12

6

10

2

Дескриптивная теория числовых множеств.

Открытые, замкнутые и компактные множества в метрических и в полных метрических пространствах. Структура открытых и замкнутых числовых множеств.

8

4

16

3

Элементы теории меры числовых множеств. Аксиоматический и конструктивный подходы к построению меры Лебега. Свойства меры Лебега.

10

2

17

ИТОГО: 85 ЧАСОВ

30

12

43

Текущая аттестация качества знаний осуществляется в форме текущего опроса, проверки домашних заданий, тестов, коллоквиума по теме «Счетные и континуальные множества», самостоятельной работы по теме «Структура открытых и замкнутых числовых множеств». По итогам текущей аттестации производится допуск (недопуск) к итоговой аттестации.

Итоговая аттестация осуществляется в виде экзамена, который состоит из трех вопросов по трем основным учебным темам. Один из них проверяет знание определений, второй – формулировки теорем, третий – доказательство одной из теорем.

Основное содержание дисциплины

Учебная тема №1. «Мощности бесконечных множеств и их сравнение. Счетные и континуальные множества». [1]

Постановка задачи о сравнении бесконечных множеств. Иньектив­ные, сюрьективные и биективные отображения. Примеры равномощных и неравномощных множеств. Несчетность отрезка числовой прямой. Существование множеств сколь угодно большой мощности.

Счетные множества. Критерий счетности бесконечного множества. Операции, сохраняющие счетность множеств. Счетность множества алгебраических чисел. Существование трансцендентных чисел.

Континуальные множества. Континуальность числовых промежутков. Добавление или удаление счетного множества из континуального.

Операции, сохраняющие континуальность множеств. Континуальность множества всех подмножеств счетного множества. Континуум-гипотеза.

Теорема Кантора-Бернштейна - основная теорема теории мощностей множеств. Следствия и примеры ее использования. Континуальность плоскости и пространства. Континуальность множества всех непрерывных функций на невырожденном промежутке.

Учебная тема №2. «Дескриптивная теория числовых множеств».

Расположение точки относительно множества. Внутренние, внешние, граничные и предельные точки множества. Внутренность, замыкание и граница множества; производное множество.

Открытые и замкнутые множества и их свойства. Критерий непрерывности функции в терминах открытых множеств. Структура открытых подмножеств прямой.

Разложение замкнутого множества в объединение совершенного и не более чем счетного множеств. Решение континуум-гипотезы в классе замкнутых множеств.

Канторово совершенное множество и его свойства. Компактные числовые множества и свойства непрерывных функций на них. Проблема классификации числовых множеств. Представление о борелевских множествах.

Учебная тема №3. «Элементы теории меры числовых множеств».

Аксиоматический подход к определению меры числовых множеств. Свойства измеримых множеств и свойства меры, вытекающие из аксиом.

Схема построения меры Лебега на прямой. Длина открытых множеств и ее свойства. Внешняя мера Лебега и ее свойства. Класс измеримых по Лебегу множеств. Операции, сохраняющие изме­римость множеств по Лебегу.

Мера Лебега и ее свойства: счетная аддитивность, неперерывность сверху и снизу, полнота.

Схема построения меры Лебега плоских множеств. Сравнение меры Лебега и меры Жордана. Инвариантность площади многоугольника относительно его разбиения на треугольники.

Схема построения интеграла Лебега. Сравнение с интегралом Римана. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

Основная литература:

1) . Теория функций вещественной переменной: Учебник. – СПб.: Лань, 1999. – 560 с.

2) , Фомин теории функций и функционального анализа. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 572 с.

3) У. Рудин. Основы математического анализа, 3-е изд., Пер. с англ. - .М.: Лань. 2004.— 320 с. 

4) Семенов лекций по математическому анализу (мощность и мера числовых множеств). М., МГПУ, 2003.

5) Семенов занятия по курсу математического анализа (мощность и мера числовых множеств). М., МГПУ, 2003.

Дополнительная литература:

1) , Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория Знаний, 2003. – Т. 1 680 с., Т. 2. – 864 с., Т. 3. – 728 с.

2) , Курс математического анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 592 с.

3) , Теория функций действительной переменной, М.: Наука, 1971, - 121 с.

Интернет-ресурсы:

1) Википедия http://ru. wikipedia. org/wiki/ТФДП  

2) Образовательный математический сайт «Экспонента»

http://www. *****/educat/class/courses/student/tfkp/

3) Бибилотечный сайт МЦМНО http://*****/lib/86

4) Мир математических уравнений

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/complex.htm ·

5) Единое окно доступа к образовательным ресурсам

http://window. *****/window/library? p_rid=47134

[1] Каждый абзац примерно соответствует 1-2 аудиторным лекциям и 1-2 практическим занятиям