Методические указания к курсу «Физика квазикристаллов» для студентов физического факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсу «ФИЗИКА КВАЗИКРИСТАЛЛОВ»

для студентов

физического факультета

Ростов-на-Дону

2007

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры физики кристаллов и структурного анализа и кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры теоретической и вычислительной физики .

Ответственный редактор доктор физ.-мат. наук

Компьютерный набор и верстка

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и вычислительной физики физического факультета ЮФУ, протокол от 01.01.01 г.

Настоящие методические указания содержат общие представления о физических свойствах квазикристаллов и о связи этих свойств с особенностями квазипериодических структур. Основная задача курса – создание у студентов фундаментальной теоретической базы, соответствующей относительно новой области физики конденсированного состояния. Рассмотрение проводится на конкретных примерах и простейших квазикристаллических объектах и имеет целью иллюстрацию общих теоретических концепций и симметрийных методов. В данных методических указаниях обсуждается описание структуры квазикристаллов в многомерном фазовом пространстве и приводится теоретико-групповой алгоритм построения квазикристаллической решетки. Далее рассматриваются некоторые элементы теории упругости квазикристаллов, в том числе приводится теория распространения звуковых волн, взаимодействующих с фазонными модами. Заключительный раздел посвящен теории превращения квазикристалл – кристалл.

1  ОТКРЫТИЕ КВАЗИКРИСТАЛЛОВ, ИХ СИММЕТРИЯ

Квазикристаллы впервые были получены в 1984 г. путем быстрого охлаждения расплава Al86Mn14 [1]. Электронограмма образца Al86Mn14 с подходящей ориентацией показывает наличие оси симметрии пятого порядка (рис. 1), невозможной в обычных кристаллах по причине ее несовместимости с трансляционной симметрией [2, c. 35]. Тем не менее, четкие брэгговские отражения (смотри рис. 1) свидетельствуют о присутствии дальнего порядка. После 1984 г. икосаэдрическая симметрия была обнаружена и в других бинарных сплавах алюминия, полученных при быстром охлаждении, в том числе в системах Al‑(Ti, V,Co, Ni, Cu).

Рис. 1 – Электронограмма быстро охлажденного расплава Al86Mn14 [1]

Дальнейшие структурные исследования привели к открытию квазикристаллов с октагональной, декагональной и додекагональной симметрией. Такие системы являются периодическими вдоль оси старшего (8, 10 или 12) порядка, а дальний непериодический порядок проявляется в плоскости перпендикулярной этой оси. Таким образом, к 90-м годам стало очевидно, что периодичность, т. е. наличие трансляционной симметрии, не является необходимым условием для формирования дальнего порядка в твердых телах.

В настоящее время квазикристаллами называют твердые тела, обладающие дальним порядком нетрансляционного типа, сочетающимся с некристаллографической поворотной симметрией пятого, восьмого, десятого и двенадцатого порядков [3,4]. Квазикристаллы обнаруживаются в многокомпонентных (как минимум бинарных) металлических сплавах.

Первые полученные путем быстрого охлаждения икосаэдрические квазикристаллы были метастабильны и теряли устойчивость при отжиге, который обычно приводил к фазовому переходу в кристаллическую фазу. Более того, так как для успешной кристаллизации скорость понижения температуры должна была достигать порядка 106 К/с, то получение крупных однодоменных образцов было невозможно, и первые квазикристаллы имели размеры около 1 мкм, что затрудняло исследование их физических свойств. Возможность получать стабильные квазикристаллы появилась при применении метода медленного охлаждения. Первым успешно полученным с помощью этого метода квазикристаллом был сплав с приблизительным составом Al6CuLi3, одно зерно которого имело размер порядка 200 мкм. Далее этим же методом были получены стабильные икосаэдрические Ga‑Mg‑Zn, Al‑Cu‑(Fe, Os, Ru), Al‑Pd‑Mn и декагональные Al‑Cu‑Co, Al‑Cu‑Rh квазикристаллы. Стабильность квазикристаллов была доказана длительным отжигом (около 1000 ч) при температуре 700 – 800 ° С. При этом, как показывали дифракционные измерения, не только не происходило фазового перехода в кристаллическую фазу, но и квазикристаллический порядок становился более совершенным. Отжиг приводил к уменьшению полуширин линий брегговских отражений, что, как известно, свидетельствует о росте величины пространственной когерентности структуры.

Современные методы выращивания квазикристаллов позволяют получать достаточно большие (от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров) стабильные однодоменные образцы. Наиболее широко исследуются сплавы с декагональной симметрией Al‑Ni-Co и икосаэдрической симметрией Al‑Pd‑Mn, Al‑Ga‑Pd‑Mn, (Y, Gd, Tb, Dy, Ho, Er)‑Mg‑Zn.

2  ОПИСАНИЕ АПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В МНОГОМЕРНОМ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Квазикристаллы можно рассматривать как несоразмерные структуры с высокой поворотной симметрией. Дифрактограммы как квазикристаллов, так и несоразмерных структур индексируются линейной комбинацией N (для всех известных случаев N не превосходит шести) базисных векторов bi обратного пространства. Выполнив определенную структурную идеализацию и используя пространство с большей размерностью N, как несоразмерные структуры, так и квазикристаллы можно описать периодической функцией плотности (по аналогии с описанием обычных кристаллов в 3-х мерном пространстве). Например, икосаэдрическую структуру, электронограмма которой представлена на рис. 1, можно описать шестимерной периодической функцией плотности, соответствующей шестимерной пространственной группе, а все положения {q} брэгговских рефлексов ее дифрактограммы индексировать шестью индексами Миллера.

Функция плотности квазикристалла икосаэдрической симметрии разлагается в ряд Фурье и имеет вид, аналогичный функции плотности обычного кристалла:

, (1)
где Aq – комплексная структурная амплитуда и суммирование идет по всем векторам q, которые выражаются через целочисленную линейную комбинацию шести базисных векторов обратного пространства bi:

.

Единственное отличие функции плотности (1) от кристаллического случая состоит в том, что число базисных векторов обратного пространства превышает размерность физического пространства, в котором существует квазикристалл. Функции, которые раскладываются в подобные ряды Фурье, называются квазипериодическими.

Структуру с икосаэдрической симметрией удобно расположить относительно осей координат так, как это показано на рис. 2. При выбраной установке базисные векторы обратного пространства направлены из центра икосаэдра в его вершины: b1 = η (τ, 0, 1); b2 = η (τ, 0, -1); b3 = η (1, τ, 0); b4 = η (0, 1, τ); b5 = η (0, -1, τ); b6 = η (1, -τ, 0), где и . При этом векторы прямого пространства ai обычно выбираются параллельно bi и имеют единичную длину. В отличие от кристаллического случая ai bi = π и ai bj ¹ 0, если i ¹ j.

Рис. 2 – Геометрическая фигура – икосаэдр

Выбор векторов обратного пространства квазикристалла не однозначен. Ту же самую функцию плотности можно переписать, используя векторы обратного пространства в τ3 раз большей или меньшей длины. Тогда первый набор базисных векторов выражается целочисленным линейным образом через второй и наоборот (проделайте проверку сами). Также интересно отметить, что, подобно кубическим кристаллическим структурам с различными решетками Браве, в природе существуют икосаэдрические структуры с закономерным отсутствием (погасанием) некоторых гармоник функции (1). Так, существует аналог кубической объемноцентрированной решетки, (все индексы Миллера являются одновременно либо четными, либо нет) и существует аналог гранецентрированной решетки (сумма всех шести индексов Миллера является четной). Заметим, что функцию плотности гранецентрированной икосаэдрической структуры можно переписать без дополнительных погасаний, используя 15 базисных векторов обратного пространства, направленных в средины ребер икосаэдра. Аналогично, функцию плотности объемноцентрированной икосаэдрической структуры можно переписать без дополнительных погасаний, используя 10 базисных векторов обратного пространства, направленных в центры граней икосаэдра.

Из формулы (1) видно, что функция плотности квазикристалла является периодической функцией N фаз ni = rbi, где r – вектор прямого пространства, т. е. инвариантна относительно преобразования трансляционной симметрии в шестимерном пространстве (где i = 1,..,6). Из N-мерного фазового пространства E, впервые введенного в рассмотрение Вольфом [5] для несоразмерных структур, может быть выделено два подпространства: физическое прямое пространство размерности d (d = 3 для икосаэдрического случая и d = 2 для плоских квазикристаллов), называемое также параллельным или внутренним E||, и его ортогональное дополнение размерности N – d, называемое перпендикулярным или внешним пространством E┴. Компоненты радиус вектора r в формуле (1) выражаются линейно через координаты точек параллельного пространства. Обычно пространство фаз масштабируют коэффициентом с размерностью длины, а оси координат располагают так, чтобы физическое прямое пространство являлось сечением пространства E. Геометрия пространства E определена относительными ориентациями двух образующих его подпространств, которые являются неприводимыми относительно группы точечной симметрии квазикристалла.

Будем считать, что структура квазикристалла моделируется точечными атомами, отстоящими друг от друга на некоторое минимальное расстояние. Поскольку квазикристаллическая функция плотности является периодической в фазовом пространстве E, то оно должно быть периодически заполнено поверхностями размерности N – d, называемыми «атомными поверхностями». Точки пересечения атомных поверхностей с параллельным (физическим) пространством соответствуют координатам точечных атомов. Таким образом, в рамках многомерной кристаллографии, как несоразмерные структуры, так и квазикристаллы можно получить методом сечения многомерного фазового пространства E, в котором оба типа структур являются периодическими, так как их функции плотности представимы в виде (1). Сказанное выше можно проиллюстрировать на одномерном примере (см. рис. 3 а, б).

Рис. 3 а – Одномерная несоразмерно модулированная структура в двумерном фазовом пространстве;

б – одномерный квазикристалл в двумерном фазовом пространстве

Топологические свойства несоразмерных кристаллов и квазикристаллов различны. Несоразмерным кристаллам могут соответствовать непрерывные атомные поверхности (волнистые линии на рис. 3 а), тогда как атомные поверхности в квазикристаллах разрывные. Данная топологическая особенность квазикристаллов в многомерном пространстве обусловлена их более высокой поворотной симметрией. Ясно, что концы отрезков, имитирующих плоские атомные поверхности на рис. 3 б, можно соединить друг с другом перпендикулярными линиями, сделав атомные поверхности непрерывными. Однако уже для октагональной симметрии такое соединение имеет особенности в вершинах атомных поверхностей. Приближение плоских атомных поверхностей, использованное при построении рис. 3 б, оказывается достаточно точным при описании реальных квазикристаллических структур. Так происходит потому, что в таком приближении оказывается возможным только ограниченное количество типов локального порядка (или кластеров), что соответствует реальным квазикристаллическим структурам. На рис. 3 б размер атомных поверхностей выбран равным величине проекции одной квадратной ячейки на пространство E┴. В таком случае оказывается возможным всего два типа межпозиционных расстояний – длинное L и короткое S.

Далее рассмотрим более подробно наиболее простой для понимания случай октагональной квазикристаллической симметрии.

Задание 1:

а)  Написать компьютерную программу, выполняющую построение двумерного фазового пространства одномерной несоразмерно модулированной структуры, в которой координаты позиций определяются законом: , где i – номер позиции, а – период и q – волновой вектор, несоразмерный 2π / a.

б)  Написать компьютерную программу, которая рассчитывает координаты позиций одномерного квазикристалла, показанного на рис. 3 б.

3  МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ОКТАГОНАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

Октагональной симметрией обладает сплав Cr-Ni-Si [6]. На рис. 4 представлена соответствующая электронная микрофотография высокого разрешения. Данную структуру можно интерпретировать как мозаику, состоящую из квадратов и 45–градусных ромбов, т. е. на основе октагональной мозаики Пенроуза.

Рассмотрим способ построения квазикристаллических решеток, основанный на теоретико-групповом анализе. Метод позволяет установить связь между минимальным межпозиционным расстоянием и ограничениями, накладываемыми на допустимые индексы позиций.

Рис. 4 – Электронная микрофотография высокого разрешения октагональной фазы сплава Cr‑Ni‑Si [6]

Чтобы удовлетворить требованиям октагональной симметрии и обобщить понятие трансляционного порядка, будем считать, что позиции (j) квазикристаллической решетки задаются следующим образом:

(2)

где ni j – целые числа, ai – базисные векторы (рис. 5 а), выбранные в следующей форме: , i =0,1,2,3.

Рис. 5 – Базисные векторы октагональной квазикристаллической решетки

а – проекция на параллельное подпространство;

б – проекция на перпендикулярное подпространство

В декартовых координатах выражение (2) имеет вид:

. (3)

Рассмотрим симметрийные свойства формул (2-3). Если ni j все возможные произвольные целые числа, то между позициями не существует минимального расстояния, и в любой окрестности любой точки находится бесконечное множество позиций. Поэтому для описания порядка в твердом теле необходимо ввести ограничения на коэффициенты ni j. Для определения вида простейшего линейного ограничения разложим перестановочное представление индексов позиций на неприводимые представления. Матрицы генераторов этого представления для точечной группы С8V имеют следующий вид:

Разложение перестановочного представления по неприводимым представлениям точечной группы С8V содержит базисы двух разных двумерных представлений R5 и R7 (Таблица 1).

Таблица 1 Генераторы неприводимых представлений точечной группы C8v

	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
C8	1	1	-1	-1
sy	1	-1	1	-1

Соответствующие базисные функции имеют вид:

(4)

Первая и вторая пары функций в (4) соответствуют разным неприводимым представлениям и преобразуются независимо при преобразованиях симметрии группы С8V. Значения функций ψ1, ψ2 определяют координаты позиции x j и y j. С другой стороны линейные ограничения, наложенные на допустимые значения функций φ1 и φ2, приводят к сужению множества допустимых позиций квазирешетки. Если области значений этих функций попадают внутрь плоской ограниченной фигуры, то между позициями квазирешетки появляется минимальное расстояние. Также отметим, что, для того чтобы квазирешетка имела симметрию С8V, группа симметрии ограничения должна быть не ниже этой группы.

Пространство с базисными функциями φ1 и φ2 соответствует перпендикулярному пространству E^, а формулы (4) совпадают с формулами линейного проектирования пространства E на пространства E|| и E^ соответственно. Если в перпендикулярном пространстве выбрать базис векторов единичной длины ai^ в соответствии с рис. 5 б, то под перпендикулярными координатами j-го узла квазикристаллической решетки будем понимать вектор:

. (5)

Линейное ограничение на допустимые значения функций φ1 и φ2 сводится к тому, чтобы вектор (5) попал внутрь замкнутой ограничивающей фигуры с симметрией С8V. Центр этой фигуры может быть смещен относительно начала координат пространства E^ на произвольный вектор w = (w1, w2) = const. Такое смещение не меняет макроскопической симметрии решетки. Вектор w соответствует однородному фазонному сдвигу. Его изменение соответствует относительному движению базисных волн плотности октагональной квазирешетки друг относительно друга.

Особенностью ближнего порядка в подобной модели квазикристалла является то, что минимальные расстояния между позициями зависят от формы ограничивающей фигуры. Координаты вектора, соединяющего любые две позиции (1) и (2) на плоскости ху, можно рассматривать как проекции вектора четырехмерного пространства E с компонентами (ni1 – ni2) на реальное пространство E||. Если позиции (1) и (2) принадлежат искомой квазикристаллической решетке, то соответствующий вектор в E^ принадлежит ограничивающей фигуре. Таким образом, метод позволяет моделировать квазикристаллические решетки с различным минимальным расстоянием между ближайшими позициями. Локальный порядок в решетке при этом меняется. На рис. 6 а и рис. 6 б показаны модели квазикристаллических решеток октагональной симметрии, отличающиеся типами минимальных расстояний между ближайшими соседями.

Рис. 6 – Модели квазикристаллических решеток октоганальной симметрии с различными типами минимальных расстояний между ближайшими соседними позициями

Модель, представленная на рис. 6 б, соответствует электронной микрофотографии, полученной для сплава Cr-Ni-Si (рис. 4). В данном случае правильная октагональная форма атомной поверхности, подобно рис. 3 б, определяется проекцией на перпендикулярное пространство одной ячейки четырехмерного фазового пространства. При этом из шестнадцати вершин четырехмерного куба восемь вершин проектируются на вершины восьмиугольника, а еще восемь вершин попадают внутрь атомной поверхности.

Задание 2:

а)  Написать компьютерную программу, которая строит октагональную квазикристаллическую решетку, соответствующую рис. 6 б.

б)  Что происходит с позициями данной решетки при однородном изменении величин w1, w2?

в)  Как выглядит первая гармоника функции плотности (1) для такой решетки?

г)  Наложить графическое представление первой гармоники на рис. 6 б.

д)  Построить Фурье-образ квазирешетки, представленной на рис. 6 б. Для численного расчета использовать конечный фрагмент решетки, включающий примерно 10000 узлов. Расчитывать структурные амплитуды с индексами Миллера, не превосходящими по модулю 10.

4  ФАЗОНЫ В НЕСОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ И КВАЗИКРИСТАЛЛАХ

Термин фазон впервые был введен в несоразмерных структурах, открытых в сегнетоэлектрических кристаллах незадолго до открытия квазикристаллов. Самый простой пример несоразмерной фазы – это замороженная волна смещений с периодом, несоизмеримым с параметрами элементарной ячейки (рис. 7).

Рис. 7 – Образование несоразмерной фазы [7]. Позиции, представленные большими окружностями, остаются на месте. Позиции, представленные черными кружками, смещены в вертикальном направлении по гармоническому закону

В таком плоском кристалле отсутствует трансляционная симметрия, при этом расположения атомов строго упорядочены. Поэтому его плотность можно представить в виде ряда Фурье с тремя базисными векторами, два из которых – векторы обратного пространства квадратной решетки, а третий – волновой вектор волны смещений.

Особенностью несоразмерной фазы может являться наличие дополнительной акустической ветви колебаний. В бесконечном кристалле из-за несоизмеримости длины данной волны с основным периодом решетки существует бесконечный набор типов локального порядка (или в первом приближении набор межатомных расстояний). При перемещении как целого замороженной волны вероятность встретить какой-либо из типов локального порядка не меняется и в среднем характер картины смещений остается прежним. Таким образом, если переместить как целое волну смещений на рис. 7, то свободная энергия системы, определяемая взаимным расположением атомов, не изменится. Как следствие не возникает возвращающих сил, и частота соответствующего колебания равна нулю. Поскольку такое смещение означает изменение фазы замороженной волны, то его называют однородным фазонным сдвигом, или просто однородным фазоном [7, с. 224].

При неоднородном смещении замороженной волны потенциальная энергия кристалла изменяется, причем при слабо неоднородной деформации изменение будет малым, т. е. энергия фазонов с малыми волновыми векторами также мала. Зависимость энергии фазона от волнового вектора и амплитуды такая же, как и у акустического колебания. (Вспомните, какой вид эта зависимость имеет для акустического колебания?) Отличие между модами состоит в специфическом затухании фазонной моды. При акустическом колебании с волновым вектором k = 0 отсутствует диссипация энергии. Коэффициент затухания в области малых векторов k пропорционален k2, и, следовательно, добротность акустической моды обращается в бесконечность при k стремящемся к нулю. В случае же однородного фазонного сдвига происходит перемещение одних атомов относительно других (например, черных относительно белых на рис. 7), что всегда связано с диссипацией энергии. Коэффициент затухания имеет конечное значение при k = 0, и добротность фазонной моды в данном случае равна нулю. Таким образом, не всегда можно говорить о фазонных колебаниях решетки. Если коэффициент затухания соответствующей моды (мнимая часть частоты ω) больше собственной частоты (действительной части ω), то это уже не колебания, а движения релаксационного типа. В длинноволновом пределе фазоны – это тепловые флуктуации в кристалле, имеющие релаксационный характер [7, с. 225].

Итак, в несоразмерных кристаллах, модуляция которых связана с гладкой функцией атомных смещений, фазонные моды могут быть коллективными распространяющимися возбуждениями и всегда соответствуют непрерывным атомным смещениям. Дисперсия фазонной моды может быть измерена путем неупругого нейтроновского рассеяния подобно дисперсии акустических фононов. Такие коллективные распространяющиеся фазонные моды наблюдаются в некоторых несоразмерных системах [8]. При достаточно больших длинах волн фазоны – всегда передемпфированные моды.

В квазикристаллах вследствие разрывности «атомных поверхностей» фазоны отвечают определенным локальным перегруппировкам структурных элементов – элементарных блоков и реализуются как атомные перескоки между равноправными разрешенными с точки зрения квазикристаллической симметрии позициями. Экспериментальные исследования при помощи квазиупругого нейтроновского рассеяния подтверждают существование отдельных фазонных прыжков [9]. При исследовании термических фазонных флуктуаций в сплаве Al‑Cu‑Co путем прямых наблюдений с помощью просвечивающего электронного микроскопа высокого разрешения была построена декагональная укладка [10] (расположение светлых пятен на рис. 8) и наблюдались фазонные флуктуации. При температуре 1120 К происходила перестройка структуры, состоящая в переключении между двумя квазикристаллическими позициями. Такое переключение позиций приводит к локальной смене расположения элементарных блоков, составляющих декагональную укладку (рис. 8). Наблюдение проводилось через неравномерные интервалы времени от нескольких секунд до 10 минут.

Рис. 8 – Перестройка структуры, состоящая в переключении между двумя квазикристаллическими позициями декагональной укладки. Эксперимент осуществлен при помощи просвечивающего электронного микроскопа в сплаве Al‑Cu‑Co при температуре 1123 К [10]

Анализ данной перестройки в рамках многомерной кристаллографии показывает, что наблюдаемое обратимое переключение между позициями соответствует термическим флуктуациям фазонов и абсолютно аналогично переключению между длинными L и короткими S отрезками, возможному в модели одномерного квазикристалла (рис. 3 б) при флуктуациях пространства E|| в перпендикулярном направлении.

К настоящему моменту достоверно установлено, что длинноволновые фазонные возбуждения в квазикристаллах являются скореллированными атомными прыжками или коллективными диффузионными модами. Такие моды имеют только мнимую часть частоты колебаний и затухают экспоненциально со временем. Время жизни фазонной моды (Im ω–1) обратно пропорционально квадрату волнового вектора фазонного колебания [11].

На дифрактограммах фазоны проявляются в уширениях и сдвигах дифракционных пиков. Простейшая модель дифракции на идеальном квазикристалле дает бесконечно узкие d-функциональные брэгговские пики, соответствующие бесконечной корреляционной длине. Однако в реальных квазикристаллических образцах, например, в сплаве Al‑Mn наблюдались рефлексы шириной порядка 0.01 Å-1, что соответствует длинам корреляции 100 – 300 Å. Кроме того, наблюдалось смещение пиков из положений, соответствующих идеальной квазикристаллической структуре. Для объяснения полученных экспериментальных данных было предположено существование фазонных деформаций, вмороженных в квазикристаллический образец при получении [12]. При обычной температуре время релаксации таких деформаций путем диффузионного движения атомов достаточно велико и в условиях быстрой закалки расплава данная релаксация не успевает произойти.

Итак, фазонная мода в квазикристаллах соответствует одновременным скоррелированным атомным перескокам или диффузии, а не непрерывным атомным смещениям. При комнатной температуре фазонные степени свободы в квазикристалле заморожены, и их активация с ростом температуры сильно влияет на физические свойства вещества. Например, экспериментальное исследование поведения удельной теплоемкости икосаэдрического сплава Al‑Pd‑Mn и декагонального Al‑Cu‑Co показало сильное отклонение от закона Дюлонга и Пти [13]. В температурном диапазоне от 550 до 700 K удельная теплоемкость при постоянном объеме сплава Al‑Pd‑Mn почти постоянна и приблизительно равна 3kB на атом, что соответствует закону Дюлонга и Пти. Однако при возрастании температуры до 1080 K данная удельная теплоемкость возрастает до 5kB на атом. Похожее поведение удельной теплоемкости наблюдалось и в сплаве Al‑Cu‑Co. Одной из возможных причин такого возрастания удельной теплоемкости авторы считают термическую активацию фазонов в данной температурной области.

Изучение вклада фазонов в интенсивность диффузного рассеяния вблизи брэгговских рефлексов квазикристаллов показало, что анизотропное диффузное рассеяние, наблюдаемое экспериментально в квазикристаллах можно интерпретировать, рассматривая эффекты, связанные с присутствием «замороженных» фазонов, то есть фазонов, выпавших из термодинамического равновесия при понижении температуры [14].

Также с ростом температуры меняется и характер упругого поведения квазикристалла. Икосаэдрический квазикристалл при низкой температуре с точки зрения его упругих свойств эквивалентен изотропной среде. Однако, методом возбуждения высокочастотных собственных колебаний было обнаружено различие величин эффективных модулей сдвига моноквазикристалла Al‑Pd‑Mn, измеренных вдоль осей второго и пятого порядков, начиная с температуры порядка 700 ° С [15]. Наблюдаемую анизотропию можно объяснить влиянием фазонных степеней свободы на распространение звуковых волн. Если при однородном фазонном сдвиге упругая энергия квазикристалла не меняется подобно рассмотренному случаю в несоразмерном кристалле, то неоднородная фазонная деформация дает вклад в упругую энергию квазикристалла [16], что обуславливает специфический характер его упругих свойств. Более подробно влияние фазонов на упругие свойства квазикристаллов рассмотрено в следующем разделе.

5  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ФОНОН-ФАЗОННАЯ ДИНАМИКА КВАЗИКРИСТАЛЛОВ

Теория упругости квазикристаллов является обобщением классической теории упругости на N-мерные пространства (N > 3). Как уже было сказано, N‑мерное фазовое пространство E, в котором квазикристалл описывается периодической функцией плотности, распадается на два подпространства: физическое прямое пространство E|| размерности d, и его ортогональное дополнение E┴ размерности N – d. Деформация квазикристалла описывается N‑мерным вектором смещения , где u – вектор фононного смещения, размерности d, w – вектор фазонного смещения, размерности N – d. Упругая энергия представляется в виде суммы трех слагаемых: упругой энергии, соответствующей фононной степени свободы, упругой энергии, соответствующей фазонной степени свободы и упругой энергии фонон-фазонного взаимодействия [16,17]. Плотность упругой энергии раскладывается в ряд по степеням компонент тензоров обычной фононной деформации Eij = (¶jui + ¶iuj) / 2 и фазонной деформации wij = ¶j wi, начиная с квадратичных членов, где коэффициенты разложения Cijkl, Kijkl, Rijkl исполняют роль упругих модулей:

. (6)

Плотность упругой энергии для икосаэдрического квазикристалла в установке, соответствующей Рис. 2, полученная в работе [14] из условия инвариантности (6) относительно икосаэдрической группы симметрии, имеет вид:

(7)

Данная энергия содержит пять независимых упругих коэффициентов: λ, μ – упругие коэффициенты Ламэ, K1, K2 – коэффициенты фазонной упругости, R – коэффициент фонон-фазонного взаимодействия.

По аналогии с обычным тензором напряжений Pij = ¶F /¶Eij в обобщенной теории упругости для квазикристаллов вводится в рассмотрение тензор фазонных напряжений Hij = ¶F /¶wij [17], что позволяет сформулировать обобщенный закон Гука для квазикристаллов:

. (8)

На сегодняшний день существует три различных модели фонон-фазонной динамики [17,18,19]. Каждая модель представлена системой дифференциальных уравнений. Некоторые уравнения, принадлежащие различным моделям практически эквивалентны с точностью до переобозначений, но есть уравнения несовместимые друг с другом, что и отличает модели.

Впервые система эластодинамических уравнений для описания вязкоупругого поведения икосаэдрического квазикристалла была предложена Любенским и соавторами в работе [18]:

,

,

(9)

где r – плотность квазикристалла, g – массовая плотность потока вещества, ∂i – частная производная по i-той координате, hijkl – тензор коэффициентов вязкости, F – объемная плотность энергии квазикристалла, Гu и Гw – диссипативные кинетические коэффициенты, vi – компонента скорости данного элемента объема квазикристалла относительно лабораторной системы координат. Эти уравнения относятся к гидродинамическим. Первое уравнение системы (9) есть обычное уравнение непрерывности. Второе уравнение представляет собой вариант уравнения Навье-Стокса, правая часть которого отвечает упругой силе, действующей на единичный объем. В данной модели эта сила обуславливается как смещением рассматриваемого объема, так и изменением его плотности. Левая часть второго уравнения системы (9) эквивалентна утверждению, что часть приложенной упругой силы сообщает ускорение элементарному объему, а вторая часть идет на преодоление вязкости среды. Третье и четвертое уравнения описывают процессы фононной и фазонной релаксаций.

В экспериментальных работах последнего времени было показано, что вплоть до температур, близких к температуре плавления, упругое поведение квазикристаллических систем схоже с упругим поведением обычных металлических сплавов. Малая деформация всегда является упругой, а область пластической деформации (явление переноса массы) начинается с определенной критической величины нагрузки. Однако, фактически третье уравнение системы (9) несовместимо с представлением о квазикристалле как об упругом теле. В этом уравнении различается скорость элемента объема vi (очевидно понимаемая, как импульс объема, соответствующего единичной массе) и производная по времени от поля смещений. Подобное различие величин vi и ¶t ui хорошо известно и связано с протеканием вещества относительно неоднородной пространственной структуры. Например, у жидких кристаллов (смектиков и холестериков) протекание начинается при сколь угодно малой деформации рассматриваемого объема. Для упругого (кристаллического, или как показывают экспериментальные результаты квазикристаллического) вещества, подвергаемого деформации, также можно различать величины vi и ¶t ui. Однако это различие начинается только после того, как деформация становится немалой, приобретая пластический характер. Таким образом, система уравнений (9) описывает поведение аморфного вещества с икосаэдрической симметрией, которое по упругим свойствам несколько отличается от реальных квазикристаллов.

Далее рассмотрим распространение звука в квазикристаллах. В этом случае систему (9) можно сильно упростить. При решении задачи о распространении звука, деформацию среды следует считать малой и положить Gu = 0, фактически исключив третье уравнение из рассмотрения. При отсутствии пластической деформации также можно исключить из системы уравнение непрерывности и второе слагаемое правой части второго уравнения. Введенная таким образом модель эластодинамики квазикристаллов будет назваться минимальной.

Минимальную модель эластодинамики квазикристаллов можно переписать в тензорном виде (сравните с уравнением движения упругой среды [20, с. 124]), используя определенные выше тензоры фононных и фазонных напряжений. Чтобы учесть процессы диссипации энергии, возникающие при распространении звуковой волны и связанные с внутренним трением, т. е. учесть обычную вязкость, необходимо заменить тензор напряжений Pij суммой Pij + P'ij [20, с. 180], где – диссипативный тензор напряжений. Если принять Γw = 1/ D, где D – коэффициент объемного фазонного трения, то минимальная модель фонон-фазонной динамики квазикристалла сведется к следующей системе уравнений:

,

. (10)
Подставив выражения (8) для тензоров напряжений Pij, Hij с учетом P'ij в систему (10), получим систему взаимозависимых эластодинамических уравнений в частных производных для фононной u и фазонной w степеней свободы:

,
. (11)

Сформулированная выше система линейных дифференциальных уравнений решается обычным методом Фурье. Решение системы ищется в виде плоских затухающих фонон-фазонных волн. Для икосаэдрических квазикристаллов эти волны характеризуются шестимерным вектором поляризации U и обычным трехмерным волновым вектором q:

где – шестимерный вектор смещения, , r – радиус-вектор, w – частота колебаний, мнимая часть которой определяет затухание волны. Для плоских квазикристаллов вектор фазонного смещение двумерен, и поляризация затухающих фонон-фазонных волн является пятикомпонентной. Если константа фонон-фазонного взаимодействия мала, то можно различать волны с преимущественно фононной поляризацией и волны с преимущественно фазонной поляризацией.

В икосаэдрическом случае после подстановки решения дифференциальные уравнения фонон-фазонной эластодинамики сводятся к следующей системе из 6 алгебраических линейных уравнений по компонентам шестимерного вектора поляризации U:

, (12)
где k, j = 1,..,6; Ckj(q) – фонон-фазонная динамическая матрица [14]; Gkj(q) – матрица, соответствующая Фурье-образу тензора вязкости hijkl и имеющая ненулевые компоненты, если k, j £ 3, структура этой матрицы с точностью до коэффициента минус i ω и переобозначения констант совпадает с соответствующим блоком матрицы Ckj(q); Uj – шестикомпонентная поляризация, включающая два трехмерных вектора: обычной поляризации u0 и фазонной поляризации w0 (далее индекс 0 при обозначении поляризаций будем опускать); a(k) = rw2, если k = 1,2,3, и a(k) = iDw , если k = 4,5,6, где .

Для получения динамической матрицы Ckj(q) удобно выполнить Фурье преобразование плотности упругой энергии (7). Практически это преобразование можно свести к формальным заменам:

Eij(r) ® 1/2(qjui(q) + qiuj(q)), wij(r) ® qjwi(q);

здесь ui и wi – фононная и фазонная составляющие компоненты шестимерного вектора поляризации U, Вектор U(r) характеризует поле обобщенных смещений в прямом пространстве, а вектор U(q) определяет амплитуды этих же смещений в обратном пространстве. Здесь, как и ранее, Eij и wij – компоненты тензоров обычной и фазонной деформаций.

После Фурье преобразования плотность упругой энергии в обратном пространстве для икосаэдрического квазикристалла приобретает следующий вид:

, (13)
где l, m – коэффициенты Ламэ, К1, К2 – фазонные упругие постоянные, R – упругая постоянная, отвечающая фонон-фазонному взаимодействию, выражения для инвариантов Ij приведены ниже:

,

,

, ,.

Компоненты квадратичной по волновым векторам динамической матрицы Cij(q) могут быть получены как вторые производные плотности упругой энергии в обратном пространстве по компонентам обобщенной амплитуды:

.
Динамическую матрицу удобно представить в виде четырех блоков 3x3:

,
где С|||| – фонон-фононный блок, С^^ – фазон-фазонный блок, С||^ и С^|| – блоки, соответствующие фонон-фазонному взаимодействию, символы || и ^ обозначают соответственно фононную и фазонную составляющую.

Решениями системы (12) являются дисперсионные зависимости w (q) и соответствующие поляризации. Для произвольного направления волнового вектора получение аналитического решения системы (12) представляет большую трудность. Поэтому рассмотрим три частных случая, соответствующих волновым векторам, параллельным осям пятого (направление [1,t ,0]), третьего (направление [t 2,1,0]) и второго (направление [1,0,0]) порядка соответственно. Выбранная установка икосаэдрического квазикристалла соответствует работе [14]. Для этих направлений возможна диагонализация динамической матрицы, и система (12) сводится к рассмотрению трех независимых друг от друга линейных систем вида:

, (14)
где ν, I, K – эффективные константы фононной упругости, фонон-фазонного взаимодействия и фазонной упругости соответственно, ηeff – константа эффективной вязкости, пара коэффициентов (u, w) определяет относительные вклады фононной и фазонной составляющих в шестимерную поляризацию волны U. Направления векторов поляризации u и w определяются как собственные векторы соответственно фононного и фазонного блоков динамической матрицы, а коэффициенты n, K как соответствующие собственные числа, в предположении, что константа фонон-фазонного взаимодействия I мала.

Во всех трех частных случаях можно говорить о продольных и поперечных волнах. Волна называется продольной (поперечной), если фононная часть ее вектора поляризации параллельна (перпендикулярна) волновому вектору.

Для продольных волн ν = λ + 2μ, а для поперечных ν = μ. Вязкость в минимальной модели определяется изотропным для случая икосаэдрической симметрии тензором hijkl. После выполнения соответствующей диагонализации имеем для продольных волн heff =h ||, а для поперечных heff =h ^, где h || и h ^ – два независимых коэффициента тензора вязкости. В таблице 2 содержатся необходимые коэффициенты для составления уравнений типа (14). Первая колонка задает направление волнового вектора, вторая и третья колонки задают нормированные фононные и фазонные составляющие вектора поляризации волны. Следующие две колонки содержат выражения для эффективных констант K и I. Последняя колонка содержит нормировочный коэффициент. Константа объемного фазонного трения D и плотность r остаются неизменными в процессе диагонализации.

Таблица 2 Эффективные упругие константы икосаэдрического квазикристалла K и I в зависимости от направления волнового вектора q и поляризации звуковой волны u

q	u	w	K	I	N
q<1,t,0>/	u<1,t,0>/N	w<t,-1,0>/N	K1- 4/3K2	-2R
u<0,0,1>	w<0,0,1>	K1+2/3K2	0	1
u<-t,1,0>/N	w<1,t,0>/N	K1+2/3K2	0
q<t2,1,0>/	u<t 2,1,0>/N	w<1,t 2,0>/N	K1+4/3K2	2/3R
u<0,0,1>	w<0,0,1>	K1-2/3K2	- 4/3R	1
u<-1,t 2,0>/N	w<t 2,-1,0>/N	K1-2/3K2	- 4/3R
q<1,0,0>	u<1,0,0>	w<1,0,0>	K1-1/3K2	R	1
u<0,1,0>	w<0,1,0>	K1+(t -1/3)K2	R/t	1
u<0,0,1>	w<0,0,1>	K1+(2/3 -t )K2	-t R	1

Однородная система (14) имеет решение, если ее определитель равен нулю. Данное равенство задает одновременно два закона дисперсии w(q) для волн фононного и фазонного типов. Без учета фонон-фазонного взаимодействия и при условии малости коэффициента вязкости законы дисперсии имеют вид:

, (15)

. (16)
Закон дисперсии (15) соответствует распространению фононной волны. Из закона дисперсии (16) видно, что фазонная мода является затухающей. Если коэффициент объемного фазонного трения стремится к бесконечности, то фазоны замерзают, время их релаксации также уходит в бесконечность.

Приближенные законы дисперсии с учетом фонон-фазонного взаимодействия, а также приближенные выражения для пары чисел u и w можно найти в длинноволновом пределе. Такие выражения без учета вязкости были найдены в работе [21] и исследованы для поперечных мод с учетом вязкости в работе [19].

Из минимальной модели вытекает несколько важных физических следствий:

1)  Эффективное фонон-фазонное взаимодействие и эффективная константа фазонной упругости, в отличие от эффективной фононной упругости, анизотропны и имеют икосаэдрическую симметрию.

2)  Дважды вырожденная поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси пятого порядка, не взаимодействует с соответствующей фазонной модой.

3)  Учет фонон-фазонного взаимодействия снимает вырождение поперечной волны, распространяющейся вдоль оси второго порядка.

В заключение данного раздела кратко обсудим некоторые ограничения на область применения минимальной модели и рассмотрим ее некоторые обобщения.

Во-первых, квазикристаллы имеют дискретную атомную структуру. В кристаллическом случае и в случае непрерывной изотропной среды нормальные моды классифицируются по их частотам и волновым векторам. В квазикристаллическом случае подобная классификация возможна только для начала акустических ветвей вблизи центров зон Бриллюэна. Для мод с достаточно большой частотой нельзя определить точное значение волнового вектора. Атомное движение в этом случае представляется как суперпозиция волн с близкими волновыми векторами. Следовательно, конечная ширина акустических дисперсионных кривых определяется не только конечным временем жизни фононов, вычисляемым из мнимой части зависимости wphn(q), но также дискретной атомной структурой квазикристаллов. Этот эффект невозможно учесть в рамках модели, развитой в приближении сплошной среды. Поэтому минимальная модель применима только при распространении звуковых волн с достаточно большой по сравнению с межатомными расстояниями длиной волны.

Во-вторых, как известно, распространение звуковых волн сопровождается появлением областей локального изменения плотности, температура которых отличается от средней температуры среды. Поэтому, чтобы более точно проанализировать распространение акустических волн, кроме упругих напряжений нужно учесть тепловые, вызванные изменением температуры. Вышеупомянутый механизм ведет к дополнительному затуханию звуковой волны за счет превращения упругой энергии в тепловую. Для случаев икосаэдрической симметрии и изотропной среды подобное затухание проявляется только для продольных волн и дает вклад в константу фононной упругости l.

Третьим, интересным расширением минимальной модели является учет нелинейной пространственной дисперсии акустических мод. Даже в простейшей модели линейной атомной цепочки с одним типом атомов акустическая дисперсионная ветвь линейна только вблизи узлов обратного пространства. В работе [21] показано, что уже члены динамической матрицы четвертой степени по волновому вектору отличают икосаэдрический квазикристалл от изотропной среды. Для квазикристаллов фононный блок динамической матрицы имеет один дополнительный независимый коэффициент по отношению к изотропному случаю. Это означает, что даже в низкотемпературной области, где фазоны заморожены, дисперсия акустических фононов в икосаэдрическом квазикристалле изотропна только в длинноволновом пределе.

Задание 3:

а)  На основе выражения для Фурье-образа упругой энергии икосаэдрического квазикристалла (13) получить матрицу Ckj(q).

б)  Воспользовавшись принципом инвариантности энергии получить явный вид фонон-фазонной энергии (6) для плоского октагонального квазикристалла. Записать для рассматриваемого случая систему (11) и решить ее для вектора q, направленного вдоль оси x.

Замечание. При построении инвариантов упругой энергии удобно перейти к комплексным функциям. Фононные и фазонные смещения удобно взять в виде u1 – i u2, u1 + i u2, w1 – i w2, w1 + i w2. Операторы дифференцирования тоже следует заменить комплексными операторами: ∂1 – i∂2, ∂1 + i∂2. Вид матриц генераторов представлений группы С8V (приведенный в таблице 1) станет проще. Однако поле фононных смещений и операторы дифференцирования будут, как и раньше преобразовываться по представлению R5, а поле фазонных смещений преобразовываться по представлению R7. Найдите явный вид соответствующих представлений в новом комплексном базисе. Далее следует разложить по полученным неприводимым представлениям компоненты пространственных производных обеих полей смещений и построить из полученных функций инвариантную упругую энергию. Заметим, что базисные функции данных комплексных представлений будут комплексно-сопряженными. Поэтому квадратичным инвариантом данных представлений будет произведение комплексно-сопряженных базисных функций.

6  ПРОСТЕЙШАЯ ТЕОРИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СТРУКТУРНОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ КВАЗИКРИСТАЛЛ – КРИСТАЛЛ НА ПРИМЕРЕ ОКТАГОНАЛЬНОЙ И ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ ФАЗ СПЛАВА CrNiSi

Системы, в которых наблюдается квазикристаллическое состояние, являются в основном металлическими сплавами. В тех же самых системах широко представлены и кристаллические фазы, в том числе и родственные квазикристаллам так называемые кристаллические аппроксиманты. При превращении квазикристалла в родственную кристаллическую структуру векторы bi функции плотности (1) становятся соразмерными вследствие их неоднородной относительной деформации. При этом амплитуды волн плотности приблизительно сохраняются. При любом неоднородном изменении базисных векторов найдется сколь угодно много узлов обратного пространства, которые сдвинутся сколь угодно далеко. Однако, как было показано в работе [22] смещения узлов, соответствующих амплитудам волн плотности, дающих существенный вклад в (1), всегда ограничены. Иными словами, превращение квазикристалл – кристалл не приводит к появлению новых волн плотности (сверхструктуры), а лишь немного подправляет волновые вектора существовавших ранее волн плотности, делая их соразмерными друг другу. Более того, структурные амплитуды, дающие существенный вклад в функцию плотности, остаются практически неизменными. Поэтому, в первом приближении, кристаллическая и квазикристаллическая функции плотности могут быть получены из единой N-мерной функции плотности, а сечение, соответствующее кристаллической фазе в N-мерном фазовом пространстве является рациональным, что гарантирует периодичность кристаллической фазы.

Экспериментальные данные, собранные для нескольких систем, в том числе для сплавов Al‑Co‑Ni и Cr‑Ni‑Si, показывают значительное число промежуточных несоразмерных структур, возникающих в результате отжига при разных температурах, либо в различных областях одного и того же образца. Поэтому наиболее правдоподобной представляется теория, рассматривающая превращение квазикристалл – кристалл через непрерывную последовательность несоразмерных фаз, соответствующих промежуточным значениям bi.

Фазовый переход квазикристалл – кристалл, связанный с согласованным изменением базисных векторов обратного пространства bi эквивалентен возникновению линейной зависимости фазонных степеней свободы w от пространственных координат r. Данную деформацию фазового пространства можно назвать сдвиговой. Для одномерного случая она представлена на рис. 9 а.

Рис. 9 – Деформированное состояние фазового пространства. Сопряженные концы атомных поверхностей соединены пунктирными линями;

а – без учета изменения длины атомной поверхности. Пунктирные линии больше не параллельны направлению E||. Сдвиговая деформация ведет к появлению дефекта – дополнительного типа расстояний D;

б – с учетом изменения длины атомной поверхности

Неприводимые линейные зависимости w от пространственных координат r в литературе называются линейными фазонами. Амплитуда линейного фазона определяется величиной искажения векторов bi. При достижении линейным фазоном определенной амплитуды векторы bi становятся соразмерными и фазонно-модулированная структура превращается в периодическую аппроксиманту. Деформация чистого сдвига приводит к появлению лишних или дефектных ячеек, типа ячейки D, показанной на рис. 9 а. Однако в одномерном случае и в некоторых других [23] от возникновения подобных дефектов легко избавиться, предположив, что размер атомной поверхности немного меняется, оставаясь во время деформации равным проекции одной ячейки фазового пространства на новое направление E┴ (рис. 9 б).

В качестве классического примера фазонного сценария превращения рассмотрим переход октагональный квазикристалл – тетрагональная периодическая аппроксиманта в сплаве Cr-Ni-Si. Координаты узлов октагональной сетки – целочисленные линейные комбинации векторов ai (2). Векторы ai^ (i = 0,..,3) выбираются в соответствии с рис. 5 б, в этом случае ai^ = a(3i) mod 8. Структура сплава Cr-Ni-Si в работе [24] интерпретируется на основе укладки, состоящей из квадратов и 450 ромбов (см. рис. 6 б). Узел с координатами

(17)

принадлежит данной укладке, если его перпендикулярные координаты

(18)

удовлетворяют условию rj^  S, где S – атомная поверхность, а w – константа, соответствующая фазонной степени свободы. Вводимый линейный фазон соответствует возникновению линейной зависимости w(r). Для примера рассмотрим аппроксиманту, структура которой также интерпретируется на основе периодической укладки квадратов и ромбов, а перпендикулярные координаты определяются следующим выражением

, (19)

где nij – целые числа, M – тензор линейной фазонной деформации: M11= M22= 0, M12= M21= t 3, здесь ; c1 и c2 – произвольные константы, изменение величины которых приводит к различным антифазным доменам (относительно квазикристаллических трансляций) кристаллической фазы. Будем считать, что координаты позиций в промежуточных несоразмерных фазах и в конечной кристаллической аппроксиманте определяются выражением (17).

Линейная фазонная деформация приводит к изменению длин и направлений векторов в перпендикулярном пространстве в соответствии с формулой (19). Выражение (19) задает и изменение координат вершин атомных поверхностей (см. рис. 10).

Рис. 10 – Изменение формы атомной поверхности (АП) при рассматриваемой линейной фазонной деформации. Координаты центральной АП в четырехмерном фазовом пространстве Е выбраны в виде (0,0,0,0). Центрам восьми АП, сопряженных с ней, соответствуют перпендикулярные проекции следующих векторов: V1=(1,0,0,0), V2=(0,0,0,1), V3=(0,0,-1,0), V4=(0,1,0,0), V4+j = -Vj. Вершинам центральной АП соответствуют перпендикулярные координаты следующих точек пространства Е: K=(1/2,1/2,1/2,1/2), L=(-1/2,-1/2,-1/2,1/2), M=(1/2,1/2,-1/2,-1/2), N=(-1/2,1/2,1/2,1/2).

а – промежуточное изменение формы АП, соответствующее несоразмерной фазе;

б – форма АП, соответствующая рассматриваемой кристаллической фазе

Как видно из рис. 10 а деформация перпендикулярного пространства происходит таким образом, что пары атомных поверхностей, связанных векторами Vj, остаются сопряженными, и соединяющая их поверхность всегда параллельна текущему направлению пространства E||. При определенных значениях линейной фазонной деформации перпендикулярные проекции векторов Vj оказываются соразмерными, что соответствует образованию периодических структур. Одна из этих структур будет предельной (рис. 10 б). При такой величине линейной фазонной деформации атомная поверхность превращается в правильный квадрат, а получаемая при этом укладка соответствует экспериментально наблюдаемой структуре периодической фазы в сплаве Cr‑Ni‑Si.

Задание 4:

а)  Выполните все подстановки и найдите явный вид уравнения гиперплоскости (19). Определите минимальные трансляции фазового пространства, параллельные гиперплоскости (19).

б)  Используя явный вид формул (18) и (19), а также форму атомной поверхности, показанную на рис. 10 б, постройте структуру рассматриваемой аппроксиманты.

в)  В плоском октагональном квазикристалле векторы обратного параллельного и перпендикулярного пространств можно выбрать так, что bi = ai/2 и bi^ = ai^/2. Покажите, что при таком выборе bi изменение векторов обратного пространства при фазовом переходе определяется выражением Dbi = – Mbi^, где M – тензор фазонной деформации, фигурирующий в (19).

ЛИТЕРАТУРА

1  Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Mettalic phase with long range orientational order and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. – 1984. – Vol. 53. – P. 1951 – 1954.

2  Шаскольская : Учеб. Пособие для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1984. – 376 с.

3  Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals: a new class of ordered structures // Phys. Rev. Lett. – 1984. – Vol. 53. – P. 2477 – 2480.

4  Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals. I. Definition and structure // Phys. Rev. B. – 1986. – Vol. 34. – P. 596 – 616.

5  Wolff P. M. The pseudo-symmetry of modulated crystal structures // Acta Cryst. A. – 1974. – Vol. 30. – P. 777 – 785.

6  Wang N., Chen H., Kuo K. H. Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry // Phys. Rev. Lett. – 1987. – Vol. 59. – P. 1010 – 1013.

7  , Леванюк основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах. – М.: Наука, 1983. – 240 с.

8  Currat R., Janssen T. Excitations in incommensurate crystal phases // Solid State Phys. – 1988. – Vol. 41. – P. 201 – 302.

9  Lyonnard S., Coddens G., CalvayracY., Gratias D. Atomic (phason) hopping in perfect icosahedral quasicrystals Al70.3Pd21.4Mn8.3 by time-of-flight quasielastic neutron scattering // Phys. Rev. B. – 1996. – Vol. 53. – P. 3150 – 3160.

10  Edagawa K., Suzuki K., Takeuchi S. High resolution transmission electron microscopy observation of thermally fluctuating phasons in decagonal Al-Cu-Co // Phys. Rev. Lett. – 2000. – Vol. 85. – P. 1674 – 1677.

11  Francoual S., Livet F., de Boissieu M., Yakhou F., Bley F., Letoublon A., Caudron R., Gastaldi J. Dynamics of phason fluctuations in the i-AlPdMn quasicrystal // Phys. Rev. Lett. – 2003. – Vol. 91. – P. – .

12  Lubensky T. C., Socolar J. E.S., Steinhardt P. J., Bancel P. A., Heiney P. A. Distortion and peak broadening in quasicrystal diffraction patterns // Phys. Rev. Lett. – 1986. – Vol. 57. – P. 1440 – 1443.

13  Edagawa K., Kajiyama K. High temperature specific heat of Al-Pd-Mn and Al-Cu-Co quasicrystals // Mater. Sci. Eng. A. – 2000. – Vol. 294–296. – P. 646 – 649.

14  Jaric M. V., Nelson D. R. Diffuse scattering from quasicrystals // Phys. Rev. B. – 1988. – Vol. 37. – P. 4458 – 4472.

15  Feuerbacher M., Weller M., Urban K. Mechanical spectroscopy of Al-Pd-Mn single quasicrystal // Quasicrystals. Proc. 6th Int. Conf. / edited by S. F. Takeuchi. – Singapore: World Scientific, 1998. – P.521 – 524.

16  Levine D., Lubensky T. C., Ostlund S., Ramaswamy S., Steinhardt P. J. Elasticity and dislocations in pentagonal and icosahedral quasicrystals // Phys. Rev. Lett. – 1985. – Vol. 54. – P. 1520 – 1523.

17  Ding D., Yang W., Hu C., Wang R. Generalized elasticity theory of quasicrystals // Phys. Rev. B. – 1993. – Vol. 48. – P. 7003 – 7009.

18  Lubensky T. C., Ramaswamy S., Toner J. Hydrodynamics of icosahedral quasicrystals // Phys. Rev. B. – 1985. – Vol. 32. – P. 7444 – 7452.

19  Rochal S. B., Lorman V. L. Minimal model of the phonon-phason dynamics in icosahedral quasicrystals and its application to the problem of internal friction in the i‑AlPdMn alloy // Phys. Rev. B. – 2002. – Vol. 66. P. – .

20  , Лифшиц упругости. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

21  Rochal S. B. Second order terms of phonon-phason dynamic matrix of an icosahedral quasicrystal: Diffuse intensity and the profile shape around the Bragg peaks // Phys. Rev. B. – 2001. – Vol. 64. – P. 144204 – 144214.

22  Socolar J. E.S. Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. – 1989. – Vol. 39. – P. 10519 – 10551.

23  Rochal S. B., Kozinkina Y. A. Theory of the defect-free phason strain in quasicrystals // Phys. Rev. B. – 2005. – Vol. 72. – P. – .

24  Mai Z. H., Xu L., Wang N., Kuo K. H., Jin Z. C., Cheng G. Effect of phason strain on the transition of an octagonal quasicrystal to a beta-Mn-type structure // Phys. Rev. B. – 1989. – Vol. 40. P. 12183–12186.