9 класс

9 класс

1.  Из некоторой точки пола длинной прямой галереи запускают маленький упругий мячик. Начальная скорость мяча v0 = 13 м/с направлена под углом α () к горизонту. Все удары мяча о потолок, пол и торцевую стенку галереи абсолютно упругие. Движение мяча происходит в плоскости, показанной на рис.1. Расстояние от точки запуска до торцевой стенки галереи L = 37,5 м, высота галереи H = 5,4 м. Ускорение свободного падения g считайте равным 10 м/с2.

1)  Через какое время t0 после начала движения мячик в первый раз ударится о потолок?

2)  На каком расстоянии d от точки запуска мяч в первый раз ударится о пол?

3)  Через какое время T после начала движения мяч ударится о торцевую стенку?

4)  На какой высоте h пролетит мяч над точкой запуска после отражения от торцевой стенки?

Примечание. При абсолютно упругом ударе скорость мяча не меняется по модулю, а угол падения равен углу отражения (рис.2).

Решение.

1)  Проекции начальной скорости мяча на оси X и Y:

Зависимость координаты y мяча от времени при движении до первого удара о потолок:

при

Ответ:

2)  Связь между проекциями скорости мяча до и после удара о потолок:

.

Таким образом, траектория движения мяча от пола до пола является частью параболы, «обрезанной» снизу (y<0) и сверху (y>H). Из симметрии движения с постоянным ускорением по параболе вверх и вниз, время движения мяча от пола до потолка равно времени его движения от потолка до пола. Тогда время движения мяча от момента запуска до первого удара о пол:

Проекция перемещения мяча на ось X за это время:

Ответ:

3)  При ударах мяча о пол, также как и при ударах о потолок, проекция скорости мяча на ось X не изменяется. Поэтому от точки запуска до торцевой стенки галереи мяч перемещается вдоль оси X c постоянной скоростью, равной vox.

Время от начала движения до удара о торцевую стенку:

Ответ:

4)  Число циклов движения мяча «от пола до пола» за время движения до торцевой стенки:

При ударе мяча о торцевую стенку не меняется проекция скорости на ось Y, а проекция скорости на ось X меняет только знак. Таким образом, если отобразить траекторию движения мяча зеркально относительно торцевой стенки, можно увидеть, что движение в обратном направлении тоже будет содержать N циклов. Общее число циклов за время движения мяча туда и обратно: 2N = 12,5. Иными словами, до прохождения мяча над точкой запуска пройдет 12 полных циклов и еще половина цикла. Половина цикла соответствует движению от пола до потолка. Следовательно, мяч пройдет над точкой запуска на высоте

Ответ:

2.  В сообщающиеся сосуды налита вода. В одно из колен бросили кусочек льда и добавили несмешивающуюся с водой жидкость, плотность которой меньше плотности воды. Известно, что при этом лед оказался погруженным в воду на 60% своего объема (рис.3). Плотность воды ρв = 1000 кг/м3, плотность льда ρл = 900 кг/м3. Начальная масса кусочка льда m = 4,5 г, начальная высота столбика жидкости над водой h = 8 см. Колена сосудов представляют собой одинаковые цилиндрические трубки с площадью сечения s = 3 см2. Считайте, что лед плавает свободно, не задевая стенок сосуда.

1)  Чему равна плотность жидкости ρж?

2)  Насколько уровень воды в левом колене hл первоначально выше, чем hпр в правом?

3)  Куда и насколько переместятся уровни воды hл и hпр в левом и правом коленах после таяния всего льда?

Решение.

1)  Лед плавает свободно, если действующая на него сила тяжести FТ уравновешена силой Архимеда FA.

Пусть объем всего кусочка льда равен V, тогда объем части, находящейся в воде

V1 = 0,6V, в неизвестной жидкости – V2 = 0,4V.

Сила тяжести, действующая на лед,

Сила Архимеда действует на лед, как со стороны воды, так и со стороны неизвестной жидкости: .

Т. к. , то

2)  Условие равновесия жидкостей в сосудах связано только с уровнями их свободных поверхностей и границы раздела жидкостей и не зависит от присутствия льда:

.

Первоначальная разность уровней воды в левом и правом колене:

Ответ:

3)  Т. к. общая масса содержимого сосудов при таянии льда не изменяется, давление на их дно остается неизменным. Следовательно, уровень воды в левом колене при таянии льда не меняется!

Это значит, что вода, включая ее часть, образовавшуюся при таянии льда, из правого колена в левое не перетекает. Масса воды, добавившейся при таянии льда, равна первоначальной массе кусочка льда m. Ее объем Первоначальный объем льда

Изменение уровня воды в правом колене:

Ответ: уровень воды в левом колене не изменится;

в правом колене уровень воды повысится на 0,5 см.

3.  Юному физику Вове поручили измерить сопротивление резистора, снабдив его для этих целей вольтметром, миллиамперметром и идеальным источником питания (всегда выдает одинаковое напряжение). Для измерения сопротивления Вова по очереди собрал две схемы и снял показания приборов (рис.4). По результатам измерений, проведенных Вовой, определите:

1) сопротивление резистора R;

2) сопротивление вольтметра Rv;

3) напряжение на источнике питания U.

Решение.

1) Заметим, что показания вольтметра в первом и во втором случае отличаются незначительно. Это значит, что амперметр можно считать идеальным (его сопротивление пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением резистора). Тогда в первой цепи показания вольтметра с большой степенью точностью соответствуют напряжению на резисторе. Сопротивление резистора .

Ответ: R = 770 Ом.

2) Во второй цепи ток через миллиамперметр равен сумме токов через вольтметр и резистор.

Ток через резистор .

Ток через вольтметр .

Сопротивление вольтметра .

Ответ: RV = 575 Ом.

3) Т. к. источник питания идеальный, то напряжение на нем равно показаниям вольтметра в первой цепи: .

Ответ: U = 2,31 В.

4. В теплоизолированный сосуд налита вода массой M = 100 г при температуре tнач = 20ºС. Воду хотят охладить до температуры tкон = 5ºC, для этого в неё каждую минуту бросают кубик льда массой m = 1г при температуре tл = 0ºC.

1) Определите, через какое время вода в сосуде охладится до нужной температуры, если сосуд достаточно большой и вода из него не выливается.

2) Каким будет ответ, если сосуд изначально был заполнен водой до краев, и при добавлении льда излишки воды выливаются?

Удельная теплоемкость воды , удельная теплота плавления льда , плотность льда , плотность воды . Считайте, что за 1 минуту в сосуде успевает установиться тепловое равновесие.

Решение.

1)  Пусть общая масса льда, которая понадобится для охлаждения воды равна mобщ.

Количество теплоты, которое необходимо отобрать у имеющейся вначале воды,

равно количеству теплоты , которое пойдет на плавление всего льда и нагревание образовавшейся воды до температуры .

;

Общая масса льда .

Т. к. количество N1 кубиков льда должно быть целым, то , а время, которое потребуется для охлаждения воды – 18 мин (если считать время до установления теплового равновесия в сосуде после опускания в него последнего кубика).

Ответ: 18 мин.

2)  Плавающий лед вытесняет количество воды, равное по массе собственной массе льда (закон Архимеда!). Поэтому при опускании в воду каждого нового кусочка льда из сосуда будет выливаться вода массой m. При таянии льда вода через край не выливается! Найдем изменение температуры воды за первую минуту. Пусть t1 – температура в сосуде в конце первой минуты. Составим уравнение теплового баланса:

Решив это уравнение, получим:

.

Если учесть, что , то .

Аналогично, можно выразить температуру t2 в конце второй минуты через t1:

и т. д.

Составим таблицу изменения температуры поминутно:

мин.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
t, oС	19,00	18,01	17,03	16,06	15,10	14,15	13,21	12,27	11,35	10,44	9,53	8,64	7,75	6,87	6,01	5,15

Таким образом, к концу 16-ой минуты температура воды приблизится к 5оС, а к концу 17-ой – станет меньше.