Устойчивость и колебания нелинейных систем

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

БУТАКОВА Н. Н.

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов направления 010100.68 «Математика»,

магистерская программа «Математическое моделирование»,

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Бутакова и колебания нелинейных систем. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.68 «Математика», магистерская программа «Математическое моделирование», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 12 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Устойчивость и колебания нелинейных систем [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. *****., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,

д. ф.-м. н., доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1.  Пояснительная записка

1.1.  Цели и задачи дисциплины

Цель курса: показать студентам, как можно распознавать в сложных, на первый взгляд, колебательно-волновых процессах в конкретных задачах физики или техники основные - элементарные колебательные явления и свести исходную проблему к анализу этих моделей. Основные задачи курса: изучить основные колебательно-волновые явления на простых моделях и системах; познакомить студентов с основными методами теории колебаний.

1.2.  Место дисциплины в структуре ООП магистратуры

Дисциплина «Устойчивость и колебания нелинейных систем» – это дисциплина по выбору, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения дисциплин ООП бакалавриата. Освоение дисциплины «Устойчивость и колебания нелинейных систем» необходимо для написания выпускной квалификационной работы.

1.3.  Требования к результатам освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими общекультурными и профессиональными компетенциями:

способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху (ОК-6);

самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4);

умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе (ПК-7).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные модели колебательно-волновых явлений;

– определения и свойства математических объектов в этой области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложения.

● Уметь:

– строить математические модели колебательных процессов;

– обосновать метод решения поставленной задачи.

● Владеть

– приемами и методами решения задач.

2.  Трудоемкость дисциплины

Дисциплина «Устойчивость и колебания нелинейных систем» читается в третьем семестре. Форма промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).

3.  Тематический план

Таблица 1.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Формы контроля
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Динамические системы	1-2	2	2	12	16	3	контрольная работа
2	Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем	3-6	4	4	15	23	2	контрольная работа
3	Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы	7-10	4	4	15	23	3	контрольная работа
4	Автоколебательные системы	11-14	4	4	15	23	2	контрольная работа
5	Резонансное взаимодействие осцилляторов	15-18	4	4	15	23	2	контрольная работа
	Итого:		18	18	72	108	12
	Из них в интерактивной форме		6	6			12

Таблица 2.

Планирование самостоятельной работы студентов

№	Темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6
1	Динамические системы	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	1-2	12
1	2	3	4	5	6
2	Резонансное взаимодействие осцилляторов	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	3-6	3
3	Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы	подготовка к контрольной работе	7-10	15
4	Автоколебательные системы	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	11-14	15
5	Резонансное взаимодействие осцилляторов	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	15-18	15
	ИТОГО:	72

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5
1	Выпускная квалификационная работа	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины

Тема 1. Динамические системы. Предмет и содержание теории колебаний. Понятие динамической системы и фазового пространства, системы с непрерывным и дискретным временем, грубой динамической системы. Динамические системы на прямой. Грубые состояния равновесия. Основные бифуркации. Использование пакета символьной математики Maple при исследовании динамических систем.

Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем. Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков. Простейшие динамические системы с дискретным временем.

Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы. Линейный и нелинейный осцилляторы. Фазовый портрет. Резонанс в нелинейном осцилляторе. Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости. Грубые предельные циклы, основные характеристики. Использование пакета символьной математики Maple при исследовании динамических систем.

Тема 4. Автоколебательные системы. Система с одной степенью свободы. Физические примеры. Динамика сверхпроводящего Джозефсоновского контакта. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Метод разрывных колебаний. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи). Автогенератор с двумя степенями свободы.

Тема 5. Резонансное взаимодействие осцилляторов. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью. Соотношение Мэнли-Роу. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.

6.  Планы практических занятий

Тема 1. Динамические системы (2 часа).

1) системы с непрерывным и дискретным временем;

2) грубые динамические системы;

3) грубые состояния равновесия;

4) основные бифуркации.

Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с непрерывным и дискретным временем (4 часа)

1) устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость;

2) устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков;

3) простейшие динамические системы с дискретным временем.

Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы (4 часа)

1) линейный и нелинейный осцилляторы;

2) резонанс в нелинейном осцилляторе;

3) качественная теория и теория бифуркаций динамических систем на плоскости;

4) грубые предельные циклы.

Тема 4. Автоколебательные системы (4 часов)

1) система с одной степенью свободы;

2) уравнение Ван-дер-Поля;

3) уравнение Рэлея;

4) метод разрывных колебаний;

5) метод Ван-дер-Поля.

Тема 5. Резонансное взаимодействие осцилляторов (4 часа)

1) взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью;

2) соотношение Мэнли-Роу;

3) резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.

7.  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

7.1.  Примерные задания для контрольной работы

1.  Исследуйте устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова

2.  Простейший генератор электромагнитных колебаний, содержащий электронную лампу, описывается уравнением Ван-дер-Поля . Укажите возможный тип особых точек. При каком значении параметра происходят изменения их типа?

3.  Простое механическое устройство, способное генерировать автоколебания, представляет собой груз массы , находящийся на ленте транспортера, которая движется равномерно со скоростью . Тело прикреплено к стене пружиной с жесткостью (см. рис.). Сила трения между грузом и лентой зависит от относительной скорости движения по закону

где , – параметры. Покажите, что при определенной скорости ленты уравнение движения груза может быть приведено к уравнению Рэлея. Оцените амплитуду колебаний, при которой справедливо уравнение Рэлея.

7.2.  Примерные вопросы для подготовки к зачету

1. Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость.

2. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков.

3. Простейшие динамические системы с дискретным временем.

4. Линейный и нелинейный осцилляторы.

5. Резонанс в нелинейном осцилляторе.

6. Бифуркации динамических систем на плоскости.

7. Грубые предельные циклы, основные характеристики.

8. Автоколебательные системы с одной степенью свободы.

9. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея.

10. Метод разрывных колебаний.

11. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи).

12. Автогенератор с двумя степенями свободы.

13. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью.

14. Соотношение Мэнли-Роу.

15. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией

8.  Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Устойчивость и колебания нелинейных систем» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Устойчивость и колебания нелинейных систем» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

9.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

9.1.  Основная литература

1.  Анищенко с нелинейной динамикой. 4-е изд. – М.: Изд-во ЛКИ, 2013. – 224 с.

2.  Неймарк системы и управляемые процессы. 2-е изд. – М.: Изд-во ЛКИ, 2010. – 336 с.

3.  Неймарк точечных отображений в теории нелинейных колебаний. 2-е изд. – М.: Изд-во ЛКИ, 2010. – 472 с.

9.2.  Дополнительная литература

1.  , Михлин динамика упругих систем. Модели, методы, явления. Т.1. М.: URSS, 2010. – 560 с.

2.  , , Хайкин колебаний. – М.: Наука, 19с.

3.  , , Кузнецов по курсу теории колебаний. – М.: Изд-во физического факультета МГУ, 2010. – 58 с.

4.  Бабаков колебаний. М.: Дрофа, 2004 – 592 с.

5.  Бидерман теория механических колебаний. – М.: Высшая школа, 1c.

6.  , , Слезко координаты. Учебно-методическое пособие для студентов математических направлений. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2012. – 50 с.

7.  Бутенин колебаний. – М.: Высшая школа, 19c.

8.  Гантмахер по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2c.

9.  , , Сандалов по теории колебаний, устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – 48 с.

10.  , Боголюбов в нелинейную механику. Приближенные и асимптотические методы нелинейной механики. – Ижевск: РХД, 2004. – 351 с.

11.  Моисеев методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969. – 378 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib. *****/books/1564

12.  Стрелков в теорию колебаний. – СПб: Лань, 2005 –
437 с.

13.  Уиттекер динамика. - М.: УРСС, 2с.

9.3.  Программное обеспечение и Интернет – ресурсы

Интернет – ресурсы:

1.  Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. *****

2.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://*****

Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или выше).

10.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс для практических занятий.

ПРИЛОЖЕНИЕ

КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ»

НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 – МАТЕМАТИКА

профили подготовки: «Математическое моделирование».

код	Формулировка компетенции	Результат обучения в целом	Результаты обучения по уровням освоения материала	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный	базовый	повышенный
ОК-6	способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху	Знает: практические примеры применения методов исследования нелинейных динамических систем	основные направления исследований в области нелинейных динамических систем	практические примеры применения методов исследования нелинейных динамических систем (дополнительно к минимальному уровню)	возможные сферы приложения методов исследования нелинейных динамических систем в самостоятельной профессиональной деятельности (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: выбирать методы решения задач, представлять и интерпретировать полученные результаты	применять типовые алгоритмы при решении простейших задач	применять основные прикладные методы теории нелинейных динамических систем при решении стандартных задач (дополнительно к минимальному уровню)	выбирать методы решения задач, представлять и интерпретировать полученные результаты (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: приемами и методами построения и исследования математических моделей колебательных процессов	типовыми алгоритмами решения простейших задач	приемами и методами решения стандартных задач (дополнительно к минимальному уровню)	приемами и методами построения и исследования математических моделей колебательных процессов (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
ПК-4	самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач	Знает: простейшие модели колебательно-волновых явлений, методы и приемы их исследования	основные понятия и определения теории устойчивости и колебаний нелинейных систем	простейшие модели колебательно-волновых явлений, методы и приемы их исследования (дополнительно к минимальному уровню)	основные модели колебательно-волновых явлений; формулировки важнейших утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложения (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: самостоятельно проанализировать и объяснить характер поведения колебательных систем с применением важнейших теорем и их следствий	пользоваться основными определениями и понятиями	интерпретировать результаты исследования простейших задач (дополнительно к минимальному уровню)	самостоятельно проанализировать и объяснить характер поведения колебательных систем с применением важнейших теорем и их следствий (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: навыками интерпретации результатов исследования простейших задач	навыками использования определений и понятий	навыками интерпретации результатов исследования простейших задач (дополнительно к минимальному уровню)	навыками анализа и объяснения характера поведения колебательных систем с применением важнейших теорем и их следствий (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
ПК -7	умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе	Знает: типовые алгоритмы исследования задач теории колебаний с помощью систем компьютерной математики	о возможности применения компьютерной математики при исследовании задач теории колебаний	типовые алгоритмы исследования задач теории колебаний с помощью систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному уровню)	математическую теорию, лежащую в основе алгоритмов аналитического и численного исследования задач теории колебаний с помощью систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: самостоятельно разрабатывать алгоритмы аналитического и численного исследования нелинейных систем с помощью современных систем компьютерной математики	применять системы компьютерной математики при решении простейших задач	пользоваться при аналитическом и численном исследовании нелинейных систем с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному уровню)	самостоятельно разрабатывать алгоритмы аналитического и численного исследования нелинейных систем с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: методами и приемами построения алгоритмов аналитического и численного исследования нелинейных систем с помощью современных систем компьютерной математики	навыками применения систем компьютерной математики при решении простейших задач	навыками использования возможностей современных систем компьютерной математики для аналитического и численного исследования нелинейных систем (дополнительно к минимальному уровню)	методами и приемами построения алгоритмов аналитического и численного исследования нелинейных систем с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет

Дополнения и изменения в рабочей программе

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

в список основной литературы добавлено

1.  Анищенко с нелинейной динамикой. 4-е изд. – М.: Изд-во ЛКИ, 2013. – 224 с.

В список дополнительной литературы добавлено

1.  , , Слезко координаты. Учебно-методическое пособие для студентов математических направлений. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2012. – 50 с.

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры __№5__24.01.2013 г.

Заведующий кафедрой ___________________/___________________/

О.