Задача 5.15

Задача 5.15.

В момент времени волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками имеет вид:

где - некоторая константа, - волновая функция основного состояния, а - равновероятная суперпозиция основного и второго возбужденного состояний. Найдите волновую функцию и среднее значение импульса частицы в данном состоянии.

Решение:

Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для стационарных состояний для области :

(1)

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

На волновую функцию вида (3) налагаются граничные условия. Из условия непрерывности следует:

(4)

Таким образом, собственные волновые функции имеют вид:

(5)

где - квантовое число. Найдём энергетический спектр частицы в потенциальной яме данного вида. Так как , то:

(6)

Таким образом, в потенциальной яме данного вида, значение энергии частицы может принимать одно из значений дискретного энергетического спектра (6). Определим постоянную в выражении для собственных волновых функций (5), используюусловие нормировки:

(7)

Значит, волновые функции собственных состояний имеют вид:

(8)

Волновая функция основного состояния частицы (при ), имеет вид:

(9)

Волновая функция второго возбуждённого состояния (при ), имеет вид:

(10)

Равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого состояний:

Таким образом, волновая функция имеет вид:

(11)