Совместная оценка, фильтрация и управление
в динамических системах
Ефремов
Россия, Санкт-Петербург
Октябрь 10, 2009 г.
С классической точки зрения считается, что математическая задача решена, если это решение выражено формулой. Однако подставить числа в формулу — это вовсе не простая задача. Ключ для понимания и овладения этой проблемой следует искать в способе рассуждения, при котором новые результаты выводятся логическим путем от общих положений к частным выводам. Линейная теория фильтрации и предсказания определяет основу для сравнения реального и желаемого поведения динамических систем в движении. Следовательно, задача в теории самонастраивающихся систем в процессе стабилизации и регулирования движением состоит в изучении свойств дифференциального уравнения. Рассмотрим эти свойства на примере двух независимых математических подходов.
Первый подход изложим на основе теоретических принципов Гаусса — Винера — Калмана.
Модель изменения вектора состояния задана линейным дифференциальным уравнением
[A. A.1] (1)[A. A.2]
где 
— состояние системы,
— шум системы,
и 
— известные матрицы.
Наблюдению и обработке доступны значения аддитивной смеси линейного преобразования вектора состояния и шума наблюдения
,[A. A.3] (2)
где 
— вектор наблюдения,
— вектор шума наблюдения,
— известная матрица измерений.
Алгоритм фильтра имеет вид [20]
,[A. A.4] (3)
— оптимальная оценка состояния.
Подставим (2) в (3), получим
.[A. A.5] (4)
Для определения ошибки фильтрации вычтем (4) из (1)
.[A. A.6] (5)
Введем обозначения
,[A. A.7]
[A. A.8]
.
С учетом независимости всех векторов, входящих в значение (5), и принимая во внимание особенность введенных обозначений, получим
[A. A.9]
. (6)
[A. A.10]
[A. A.11]
Дифференцируя (6) по 
и приравнивая результат нулю, получим[A. A.12]
. (7)
Подставляя (7) в (6), получим дисперсионную матрицу минимальной ошибки
(8)[A. A.13]
Второй подход рассмотрим на основе совместного решения системы уравнений Гамильтона — Эйлера — Лагранжа — Бюси.
Требуется определить значения 
, которые минимизируют критерий качества
(9)[A. A.14]
при ограничении
.[A. A.15] (10)
Это стохастическая задача оптимизации, для решения которой применимы совместные стандартные детерминированные методы. Для соотношений (9) и (10) Гамильтониан системы примет вид
(11)[A. A.16]
(12)
Проведя операции дифференцирования в (9) и (11) в соответствии с (12) с учетом того, что все значения матриц и векторов есть функции времени, получим
.[A. A.17] (13)
Подставляя (13) в (10)
[A. A.18] (14)
и далее
, (15)
[A. A.19] 
. (16)
Соотношения (11) — (16) являются условиями экстремума. Обозначим решение двухточечной краевой задачи (13) — (16), через
и 
Учитывая, что двухточечная краевая задача линейна, решение можно получить различными методами. Если использовать метод прогонки, то решение 
может быть представлено по аналогии с (16) в виде
[A. A.20] (17)
которое справедливо на всем интервале 
, где 
и 
подлежат определению. Дифференцируя (17) и учитывая (14) и (15), получим
или
Таким образом, если потребовать, чтобы , удовлетворяли уравнениям с условием минимума дисперсии, то
[A. A.21] (18)
(19)
и тогда (17) становится тождеством.
Сравнивая выражения (8) и (19), (3) и (18) с учетом (7) убеждаемся в их абсолютном тождестве.
Нельзя изучать эти удивительные и совершенно различные теории, не испытывая временами странного чувства, как будто в уравнениях и формулах есть своя собственная жизнь, как будто они умнее нас, умнее даже основоположников этих теорий, как будто получаем от них больше, чем было в них вложено сначала. И действительно, при 
мы имеем
Функцию можно вычислить, интегрируя назад уравнение
(20)
начиная с , тогда как уравнения (18), (19) интегрируются вперед. Зная , из формулы (13) можно найти 
а из формулы (17) найдем 
.
В зависимости от вкладываемого физического смысла выражения (8) и (19) имеют названия:
1. нелинейное дифференциальное уравнение корреляционной матрицы ошибки оптимальной линейной оценки, называемое корреляционным уравнением;
2. нелинейное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ковариационная матрица вектора ошибок;
3. нелинейное дифференциальное уравнение дисперсионной матрицы минимальной ошибки;
4. нелинейное дифференциальное уравнение типа Риккати минимальной ошибки.
Различные подходы получения выражения (8), (19) можно найти в работах [3, 4, 10, 11, 19, 20], изучение которых создает общий колорит этой проблемы.
Если объединить результаты, полученные в этой статье, с результатами, полученными в работе [9], то получим критерий качества, отражающий явно телеологический принцип [6], [15].
(21)[A. A.22]
Реальная история системы обращает эту величину в минимум, а дифференциальное уравнение оптимальной оценки состояния принимает вид
[A. A.23] (22)
,
,
где
— матрица формирования допустимых оптимальных значений параметров фазового пространства процесса управления на всем интервале интегрирования [9];
— решение дисперсионного уравнения, по формуле (8) или (19);
— матрица, представляющая линейный оператор преобразования вектора состояния фазовых координат в вектор функций, указывающий скорость их изменения;
— матрица стабилизационного преобразования параметров вектора функций скорости изменения фазовых координат;
— матрица ограничений на параметры оптимального управления [9];
— ковариационная матрица шума наблюдений;
— матрица формирования внутренних допустимых максимальных значений параметров фазового пространства на интервале интегрирования;
— ковариационная матрица шума системы;
{U*(t) Î E
| t0 £ t£ tf } — оптимальное управление по замкнутому контуру;
— фазовая траектория, соответствующая оптимальному принципу управления;
— фазовая траектория, соответствующая стохастическому принципу управления;
— совместная фазовая траектория, соответствующая телеологическому принципу управления;
— совместный вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых координат, соответствующий телеологическому принципу управления.
Заключение
Выражения (21) и (22) в совокупности с работами [7, 8] представляют собой расширенное понятие о линейной задаче с квадратичным функционалом, где учитываются совместная оценка состояния, фильтрация, предсказание и управление в подвижных динамических системах.
Библиографический список
1. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 19с.
2. Процессы регулирования с адаптацией. - М.: Наука, 19с.
3. Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 19с.
4. Bucy R. S. Two-point boundary value problems of linear Hamiltonian Systems, — J. SIAM. Appl. Math. Vol. 15, N 6, November, 1967, Printed in USA p. p. .
5. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, with Engineering Applications. — The Technology Press and Willy, New York, 19p.
6. Данилов фон Нейман. - М.: Знание, 19c.
7. Ефимов о совместном стремлении избежать столкновение двух воздушных судов по принципу максимаксимума // Методы и модели автоматизации процессов УВД: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1989. С.50-56.
8. Ефимов разведения конфликтующих воздушных судов в пространстве и их совершенствование.// Теория и практика совершенствования системы УВД: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1990. С.49-54.
9. Ефимов качества принципа максимума в задачах управления воздушным движением по минимуму энергии. // Проблемы рациональной организации воздушного движения: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1991. С.38-45.
10. Kalman R. E. Contributions to the Theory of Optimal Control Bol. Soc. Mat. Mex. Vol. 5, 1960, p. p. 102-119.
11. , Бюси результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. — Техническая механика, том 83. N1. Март 1961, с.123-141.
12. , , Арбиб по математической теории систем. - М.: Мир, 19с.
13. Е Идентификация систем с шумами. - Успехи математических наук, 1985, т. 40, вып. 4(244), с. 27-41.
14. Колмогоров понятия теории вероятностей. - Изд. 2-е. М.: Наука, 19с.
15. Von Neumann J. The Role of Mathematics in the Sciences and in Society. Graduate Alumni, Tune 1954; Collected Works, Vol. VI, pp. 477-490.
16. Орловский принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 19с.
17. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука, 19с.
18. Понтрягин теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 19с.
19. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 19с.
20. , , III. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 19с.
[A. A.1]
[A. A.2]
[A. A.3]
[A. A.4]
[A. A.5]
[A. A.6]
[A. A.7]
[A. A.8]
[A. A.9]
[A. A.10]
[A. A.11]
[A. A.12]
[A. A.13]
[A. A.14]
[A. A.15]
[A. A.16]
[A. A.17]
[A. A.18]
[A. A.19]
[A. A.20]
[A. A.21]
[A. A.22]
[A. A.23]
