Задача № 5.143

Задача № 5.143.

Электрон атома водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией , где и - некоторые постоянные. Найти значения:

а) нормировочного коэффициента ;

б) энергии электрона и (с помощью уравнения Шредингера).

Решение:

Постоянную определим из условия нормировки волновых функций:

(1)

Отсюда получим, что нормировочный коэффициент равняется:

(2)

Тогда волновая функция примет вид:

(3)

Электрон в атоме водорода находится в потенциальном поле ядра, которое имеет вид:

(4)

где . Уравнение Шредингера в нашем случае имеет вид:

(5)

где - радиальная составляющая оператора Лапласа, так как в нашем случае пси-функция зависит только от координаты . Таким образом, уравнение Шредингера примет вид:

(6)

Найдём первую и вторую производную по от выражения (3):

(7)

(8)

Подставим (3), (7) и (8) в уравнение Шредингера (6) и получим:

(9)

Разделим обе части уравнения (9) на :

(10)

Уравнение (10) должно выполнятся для любых значений , поэтому:

(11)

Подставим значение во второе уравнение (11) и найдём значение энергии частицы в этом состоянии:

(12)

Ответ: а) значение постоянной в выражении для пси-функции равняется: ;

б) постоянная равняется: , энергия частицы в данном состоянии: .