Задача № 2

Задача № 2.

2.3. В партии готовых изделий, содержащей 20 штук, имеется 4 бракованных. Партию делят на две части. Какова вероятность, что бракованные изделия разделяться поровну?

Решение. Событие А – бракованные изделия разделились поровну. Используя формулу классической вероятности,

,

где число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;

n − число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий,

получаем:

Ответ: 0,418.

2.31. Слово "Машина" составлено из букв разрезной азбуки. Определить вероятность того, что при произвольном извлечении без возвращения 4 букв в порядке их выхода образуется слово "шина".

Решение. Используя формулу произведения вероятностей, получаем:

Ответ: 0,006.

2.33. На карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например, 07, 14 и т. п. Найти вероятность того, что число будет четное.

Решение. Событие А – полученное число оказалось четным.

Четность числа определяется по его последней цифре, которая должны быть четной. Таким образом, искомая вероятность есть вероятность того, что на втором месте появится одно из чисел: 0, 2, 4, 6, 8:

Ответ: 0,556.

Задача № 3.

3.1. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама, король).

Решение. Определим события:

А – извлечение фигуры любой масти,

В – извлечение карты пиковой масти.

Согласно условию задачи, нас интересует вероятность суммы совместных событий А и В. По формуле суммы вероятностей получаем:

Ответ: 0,423.

3.3. Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке – 0,04, на втором – 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, ни одного не будет бракованного.

Решение. Определим события:

А – на первом станке, не будет бракованного ни одного бракованного изделия,

В – на втором станке, не будет бракованного ни одного бракованного изделия.

Вероятности каждого из событии А и В можем найти по формуле Бернулли:

Согласно условию задачи, нас интересует вероятность произведения независимых событий А и В. По формуле произведения вероятностей получаем:

Ответ: 0,537.

3.31. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, равна 0,5, второй – 0,7, третьей – 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

Решение. Введем события:

А − книга имеется в фондах первой библиотеки;

В − книга имеется в фондах второй библиотеки;

С − книга имеется в фондах третьей библиотеки.

Заметим, что противоположным к событию «Книга имеется в фондах хотя бы одной библиотеки» является событие «Книги нет в фондах ни одной библиотеки»

Тогда вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки равна:

Ответ: 0,91.

3.33. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42; 0,5; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение: Событие А – в результате трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина;

попадание при i-ом выстреле. i = 1,2,3.

Получаем:

Ответ. 0,942.

Задача № 4.

4.1. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике.

Решение. Событие А − извлечена стандартная деталь.

Гипотезы:

первоначально в ящике были 3 стандартные детали;

первоначально в ящике были 2 стандартные детали и 1 нестандартная деталь;

первоначально в ящике была 1 стандартная деталь и 2 нестандартная детали;

первоначально в ящике были 3 нестандартные детали.

Из условия о равновероятности всех возможных предположений о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике находим вероятности гипотез:

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,625.

4.3. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Событие А − из первой коробки извлечена стандартная лампа.

Гипотезы:

из второй коробки извлечена стандартная лампа;

из второй коробки извлечена нестандартная лампа.

Вероятности гипотез:

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,9.

4.31. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 2 черных шара, во второй - 3 белых и 3 черных шара и в третьей - 1 белый и 5 черных шаров. Из второй и третьей урны, не глядя, перекладывают по одному шару в первую урну. Шары в первой урне перемешивают и из нее наугад извлекают два шара. Найти вероятность того, что они белые.

Решение. Событие А − из первой урны извлечены два белых шара.

Гипотезы:

из второй и третьей урны в первую урну переложены два белых шара;

из второй и третьей урны в первую урну переложены 1 белый и 1 черный шар;

из второй и третьей урны в первую урну переложены два черных шара.

Вероятности гипотез:

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 0,164.

4.33. Конденсаторы поставляются тремя заводами, причем вероятность того, что данное изделие изготовлено на первом заводе, равна 1/5, на втором – 3/10 и на третьем – 1/2. Вероятность того, что при определенных условиях работы конденсатор сохранит работоспособность в течение времени Т, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,9; 0,92; 0,8. Чему равна вероятность того, что наудачу взяты конденсатор из имеющегося запаса сохранит работоспособность в течение времени Т. Известно, что конденсатор не выдержал условия установленного срока работы, и отказал. Какова вероятность того, что он был с первого завода?

Решение. Событие А − конденсатор не выдержал условия установленного срока работы.

Гипотезы:

конденсатор изготовлен на первом заводе;

конденсатор изготовлен на втором заводе;

конденсатор изготовлен на третьем заводе.

Вероятности гипотез:

Условные вероятности , найдем из условия задачи и свойств вероятности:

По формуле полной вероятности получаем:

Используя формулу Байеса, можем узнать вероятность того, что конденсатор, не выдержавший условия установленного срока работы, был с первого завода:

Ответ: 0,144; 0,139.

Задача № 5.

5.1. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров не менее 36 выдержат гарантийный срок.

Решение. Имеем: вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок

Тогда искомую вероятность найдем, используя интегральную формулу Муавра-Лапласа:

где табулированная функция Лапласа.

Тогда:

Ответ: 0,9727.

5.3. Из 150 изделий, среди которых 50 штук первого сорта, отбирается 6 по схеме возвращенного шара. Найти вероятность того, что первосортная деталь появится 5 раз.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли:

Имеем: вероятность появления первосортной детали

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,016.

5.31. Десять рабочих время от времени используют энергию. В любой момент времени каждому рабочему с одной и той же вероятностью может потребоваться единица энергии, причем рабочий потребляет энергию в среднем 12 минут в течение часа. Известно, что рабочие используют электроэнергию независимо друг от друга. Найти вероятность перегрузки, если снабжение рассчитано на 6 единиц энергии.

Решение. Если каждый рабочий использует электроэнергию в среднем 12 минут в час, то следует положить .

Тогда используя формулу Бернулли:

получаем искомую вероятность:

Ответ: 0,00086.

5.33. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что:

а) в коробке не окажется бракованных сверл;

б) число бракованных сверл окажется не более 3-х.

Решение. Мы находимся в условиях применимости схемы Бернулли со следующими параметрами:

; n = 100;

Воспользуемся формулой Пуассона:

а)

б)

Ответ: а) 0,135; б) 0,857.

Задача № 6.

6.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: с вероятностью Р1 = 0,1 и , причем . Математическое ожидание М[X] = 5,8, дисперсия D[X] = 0,36.

Решение. Так как сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, то

Построим ряд распределения случайной величины Х:

Х	х1	х2
P	0,1	0,9

Следовательно, получаем систему уравнений:

Получили следующий закон распределения:

Х	4	6
P	0,1	0,9

6.3. Случайная величина Х – число попаданий мяча в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0,3. Найти математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию, второй начальный момент и третий центральный момент.

Решение. Данная случайная величина принимает два возможных значения: 0 и 1.

Таблица распределения имеет вид:

Х	0	1
P	0,7	0,3

Получаем:

Второй начальный момент равен:

Третий центральный момент равен:

Задача № 7.

7.1. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал и показать эту вероятность на графиках плотности и функции распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна:

Функция плотности распределения имеет вид:

Покажем найденную вероятность на графике функции распределения:

Покажем найденную вероятность на графике плотности распределения:

7.3. График плотности распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. По заданному графику плотности распределения найдем аналитическое выражение для функции плотности распределения:

Для определения параметра а воспользуемся условием нормирования плотности распределения, т. е. .

Тогда:

Функция плотности распределения примет вид:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, которая задана в интервале (-∞; +∞) определяется по формуле: .

Тогда получим:

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение

Задача № 8.

8.1. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Вероятность попадания при каждом броске равна P. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Так как по условию задачи происходит заданное (три) количество "однотипных испытаний", а вероятность "успеха" (попадание мяча в корзину) в каждом испытании постоянна, то "количество успехов" X (число удачных бросков) есть случайная величина, подчиненная биномиальному распределению с параметрами n = 3, p = Р.

Математическое ожидание случайной величины Х с биномиальным распределением равно , а дисперсия :

8.3. Система состоит из 4-х дублирующих блоков, надежность каждого их которых равна Р. Число блоков, отказавших за фиксированное время работы системы, есть случайная величина Х. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Так как по условию задачи происходит заданное (четыре) количество "однотипных испытаний", а вероятность "успеха" (блок отказал за фиксированное время работы системы) в каждом испытании постоянна, то "количество успехов" X (число блоков, отказавших за фиксированное время работы системы) есть случайная величина, подчиненная биномиальному распределению с параметрами:

n = 4, p = 1 – Р.

Математическое ожидание случайной величины Х с биномиальным распределением равно , а дисперсия :

Задача № 9.

9.1. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула

где функция Лапласа.

Поэтому искомая вероятность

Ответ: 0,8664 .

9.3. Определить среднее квадратическое отклонение случайной ошибки прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за переделы ±20 м.

Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула

где функция Лапласа.

Получаем:

Ответ: 15,625 .