Вычислительные методы механики сплошной среды

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

вычислительные методы механики сплошной среды

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки»,

профиль подготовки «Математическое и компьютерное моделирование»

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Зубков методы механики сплошной среды. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 15 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Вычислительные методы математической физики [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. *****., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,

д. ф.-м. н., доцент

© Тюменский государственный университет, 2011.

© , 2011.

1.  Пояснительная записка

1.1.  Цели и задачи дисциплины.

Продемонстрировать, что различные физические процессы, например, такие как сохранение химической компоненты, перенос энергии, течение жидкости и др., могут быть описаны одним обобщенным дифференциальным уравнением стандартного вида. Рассмотреть основные методы дискретизации, их преимущества и недостатки. Изучить наиболее распространенные и используемые в настоящее время численные схемы расчета задач гидродинамики.

1.2.  Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Вычислительные механики сплошной среды» – это дисциплина по выбору, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.

Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Комплексный анализ», «Уравнения в частных производных», «Дифференциальные уравнения в прикладных задачах естествознания».

Освоение дисциплины «Вычислительные методы математической физики» необходимо для написания выпускной квалификационной работы.

1.3.  Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями:

способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);

значительными навыками самостоятельной научно-исследовательской работы (ОК-7);

способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);

умением определять общие формы, закономерности, инструментальные средства отдельной предметной области (ПК-1).

умением понять поставленную задачу (ПК-2).

умением формулировать результат (ПК-3).

умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5).

умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6).

умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7).

умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8).

способностью передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-15).

умением извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет и т. п. (ПК-17).

владением методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19).

владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных и инженерно-технических проблем (ПК-20).

владением проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний (ПК-21).

умением увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат (ПК-22).

умением проанализировать результат и скорректировать математическую модель, лежащую в основе задачи (ПК-23).

владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе управленческих задач в научно-технической сфере, а также в экономике, бизнесе и гуманитарных областях знаний (ПК-24).

умением самостоятельно математически и физически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи и организовывать их решение в рамках небольших коллективов (ПК-25).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные типы задач математической физики;

– методы численного решения задач математической физики.

● Уметь:

– грамотно определять математическую постановку физической задачи.

– находить численное решение физических задач, описываемых уравнениями математической физики;

● Владеть

– навыками работы с вычислительной программы CONDUCT с физическими, математическими и вычислительными деталями;

– навыками численного решения задач математической физики.

2.  Структура и трудоемкость дисциплины

Дисциплина «Вычислительные методы механики сплошной среды» читается в седьмом семестре. Форма промежуточной аттестации – зачет и экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часа).

3.  Тематический план

Таблица 1.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Модуль 1
1	Определяющие дифференциальные уравнения	1	3	3	4	10	1	0-8
2	Методы дискретизации	2	3	3	4	10	2	0-8
3	Стационарная одномерная теплопроводность	3	3	3	4	10	2	0-14
	Всего		9	9	12	30	5	0-30
Модуль 2
4	Нестационарная одномерная теплопроводность	4	3	3	4	10	1	0-8
5	Дискретный аналог для задач конвекции и диффузии	5	3	3	6	12	2	0-8
6	Расчёт поля течения	6-7	6	6	8	20	2	0-14
	Всего		12	12	18	42	5	0-30
Модуль 3
7	Алгоритм SIMPLE	8	3	3	4	10	1	0-8
8	Алгоритм SIMPLER	9	3	3	4	10	2	0-8
9	Заключительные замечания	10	3	3	4	10	2	0-8
	Итоговая контрольная работа	10	0	0	6	6		0-16
	Всего		9	9	18	36	5	0-40
	Итого (часов, баллов):		30	30	48	108		0-100
	из них в интерактивной форме		7	8		15	15
	Курсовая работа

Таблица 2.

Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Итого количество баллов
собеседование	ответ на практическом занятии	контрольная работа	решение задач на практическом занятии	выполнение домашнего задания
1	2	3	4	5	6	7
Модуль 1
1. Определяющие дифференциальные уравнения	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
2. Методы дискретизации	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
3. Стационарная одномерная теплопроводность	0-1	0-1	0-6	0-1	0-5	0-14
Всего	0-3	0-3	0-6	0-3	0-15	0-30
Модуль 2
4. Нестационарная одномерная теплопроводность	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
5. Дискретный аналог для задач конвекции и диффузии	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
6. Расчёт поля течения	0-1	0-1	0-6	0-1	0-5	0-14
Всего	0-3	0-3	0-6	0-3	0-15	0-30
Модуль 3
7. Алгоритм SIMPLE	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
8. Алгоритм SIMPLER	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
9. Заключительные замечания	0-1	0-1		0-1	0-5	0-8
Итоговая контрольная работа			0-16			0-16
Всего	0-3	0-3	0-16	0-3	0-15	0-40
Итого	0-9	0-9	0-28	0-9	0-45	0-100

Таблица 3.

Планирование самостоятельной работы студентов

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6	7
Модуль 1
1	Определяющие дифференциальные уравнения	работа с литературой; выполнение домашнего задания		1	4	0-5
2	Методы дискретизации	работа с литературой; выполнение домашнего задания		2	4	0-5
3	Стационарная одномерная теплопроводность	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы		3	4	0-11
	Всего по модулю 1:	12	0-21
Модуль 2
4	Нестационарная одномерная теплопроводность	работа с литературой; выполнение домашнего задания		4	4	0-5
5	Дискретный аналог для задач конвекции и диффузии	работа с литературой; выполнение домашнего задания		5	6	0-5
6	Расчёт поля течения	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы		6-7	8	0-11
	Всего по модулю 2:	18	0-21
Модуль 3
7	Алгоритм SIMPLE	работа с литературой; выполнение домашнего задания		8	4	0-5
8	Алгоритм SIMPLER	работа с литературой; выполнение домашнего задания		9	4	0-5
9	Заключительные замечания	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к итоговой контрольной работе	10	4	0-5
	Итоговая контрольная работа	решение контрольной работы		18	6	0-16
	Всего по модулю 3:	18	0-31
	ИТОГО:	48	0-73

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8
1	Выпускная квалификационная работа	+	+	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины

Тема 1. Определяющие дифференциальные уравнения: сохранение химической компоненты, уравнение энергии, уравнение количества движения, усреднение по времени уравнения турбулентного течения, обобщённое дифференциальное уравнение, примеры.

Тема 2. Методы дискретизации: ряды Тейлора, вариационный метод, метод взвешенных невязок, метод контрольного объема, основные правила построения дискретных аналогов, примеры.

Тема 3. Стационарная одномерная теплопроводность: теплопроводность граней, контрольного объема, нелинейность, линеаризация источникового члена, граничные условия

Тема 4. Нестационарная одномерная теплопроводность: явная схема, схема Кранка-Николсона, полностью неявная схема.

Тема 5. Дискретный аналог для задач конвекции и диффузии: установившиеся одномерные конвекция и диффузия, схема против потока, точное решение, экспоненциальная схема, комбинированная схема, схема степенного закона, общая формулировка дискретного аналога

Тема 6. Расчёт поля течения: основная трудность определения поля скорости, методы основанные на решении уравнения для вихря, трудности расчета поля давления, аппроксимация градиента давления, аппроксимация уравнения неразрывности, шахматная сетка, уравнение количества движения, поправки скорости и давления, уравнение для поправки давления.

Тема 7. Алгоритм SIMPLE: структура алгоритма, обсуждение уравнения для поправки давления, граничные условия для уравнения поправки давления, относительный характер давления, примеры.

Тема 8. Алгоритм SIMPLER: cтруктура алгоритма, cравнение алгоритмов SIMPLER и SIMPLE, примеры.

Тема 9. Заключительные замечания: итерационный характер методики расчета, линеаризация источникового члена, нерегулярные геометрии, примеры

6.  Планы практических занятий

Тема 1. Определяющие дифференциальные уравнения (3 часа)

1)вывод обобщенного дифференциального уравнения.

2)решение уравнения количества движения для простейших случаев в декартовой и полярной системах координат.

3)обезразмеривание системы уравнений Навье-Стокса.

Тема 2. Методы дискретизации (3 часа)

1)составление дискретного аналога дифференциального уравнения теплопроводности с помощью разложения в ряд Тейлора.

2)составление дискретного аналога дифференциального уравнения теплопроводности вариационным методом.

3)составление дискретного аналога дифференциального уравнения теплопроводности методом взвешенных невязок и контрольного объема.

Тема 3. Стационарная одномерная теплопроводность (3 часа)

1)решение линейных алгебраических уравнений методом TDMA.

2)решение задач на линеаризацию источникового члена.

3)различные методы построения сетки.

Тема 4. Нестационарная одномерная теплопроводность (3 часа)

1)решение линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Зейделя.

2)решение линейных алгебраических уравнений построчным методом.

3)решение линейных алгебраических уравнений итерационным методом.

4)применение нижней и верхней релаксаций.

Тема 5. Дискретный аналог для задач конвекции и диффузии (3 часа)

1)численное решение задачи с помощью схемы против потока.

2)численное решение задачи с помощью экспоненциальной схемы.

3)численное решение задачи с помощью комбинированной схемы.

4)численное решение задачи с помощью схемы степенного закона.

5)сравнение с аналитическим решением.

Тема 6. Расчёт поля течения (6 часов)

1)численное решение задач при известном поле течения.

2)решение простейших задач на определение поля течения.

Тема 7. Алгоритм SIMPLE (3 часа)

1)численное решение задач с помощью метода SIMPLE

Тема 8. Алгоритм SIMPLER (3 часа)

1)численное решение задач с помощью метода SIMPLER.

2)сравнение эффективности алгоритмов SIMPLE и SIMPLER на примере решенных задач.

Тема 9. Заключительные замечания (3 часа)

1)численное решение задач с турбулентностью.

2)численное решение задач с периодически развитым течением.

7.  Примерная тематика курсовых работ

1.  Развивающееся течение в изогнутой трубе.

2.  Смешанная конвекция в горизонтальной трубе.

3.  Плавление около вертикальной трубы.

4.  Течение и теплообмен в трубе с внутренним оребрением.

5.  Исследование струи в поперечном потоке.

6.  Самоперемешивающаяся струя в эжекторе для увеличения тяги.

7.  Периодически полностью развитое течение в канале.

8.  Вибрационный нагрев совершенного газа.

9.  Полностью развитое течение в канале квадратного сечения с прямоугольной вставкой.

10.  Течение в трубе переменного радиуса.

8.  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

8.1.  Примерные задания для контрольной работы

1. Стационарная одномерная теплопроводность в твердом теле с переменным коэффициентом теплопроводности описывается уравнением

где S = 1. Граничные условия: dT/dx = 0 при x = 0 и T = 0 при x = 2. Для трехточечной сетки, показанной на рисунке для Задачи 2.1, значения коэффициента теплопроводности в расчетных точках задаются как k = (2 + x)3. Постройте дискретные уравнения для точек 1 и 2. Решите эти уравнения для получения T1 и T2. Напишите уравнение для половинного контрольного объема, содержащего точку 3. Используйте это уравнение для нахождения теплового потока через границу x = 2. Покажите, что этот поток равен количеству тепла, выделяющемуся в области.

2. Тепловой поток на границе задан через граничную температуру выражением qB = 10 – 6TB3. Напишите подходящие выражения для fC и fP в линеаризованной форме для потока через границу.

3. Стержень с коэффициентом теплопроводности k, диаметра D и длины L расположен между горячими поверхностями справа и слева с температурами TL и TR. Поверхность стержня охлаждается жидкостью при температуре Tf с коэффициентом теплоотдачи h. Используя равномерную сетку, состоящую из трех точек, отстоящих друг от друга на расстоянии L/2, получите дискретное уравнение для контрольного объема, содержащего центральную точку и построенного по

Подставьте приведенные ниже данные и посчитайте значения температуры в центральной точке. Используйте уравнения для приграничных контрольных объемов для нахождения тепловых потоков на концах стержня. Наконец покажите, что потоки на концах стержня равны отдаче тепла в окружающую жидкость и выполняется тепловой баланс. Значения параметров задачи следующие: TL = 150, TR = 200, Tf = 20, k = 120, h = 2.5, D = 0.1, L = 1.

4. Стационарная одномерная теплопроводность в стержне переменной площади поперечного сечения описывается уравнением

Получите дискретные уравнения, предполагая, что значения площади поперечного сечения А известны на гранях контрольных объемов. (Умножьте уравнение на А и проинтегрируйте по x.)

5. Одномерная теплопроводность в радиальном направлении в цилиндрической системе координат описывается уравнением

Получите соответствующие дискретные уравнения. (Умножьте уравнение на r и затем проинтегрируйте по r.)

6. Используя вывод для Задачи 5, решите следующую задачу одномерной стационарной теплопроводности в полом цилиндре с постоянными k и S. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах Ti и To. Отношение радиусов ro/ri равно 4. Источник задан выражением Sri2/[k(To–Ti)]=2.5. Используйте только несколько расчетных точек (например 5) и сравните с точным решением. Посчитайте граничные тепловые потоки (если необходимо, можете их обезразмерить) на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. Покажите, что тепловой баланс в точности выполняется даже для решения на грубой сетке.

7. Стационарная одномерная теплопроводность в полой сфере описывается уравнением

где k = 2 и S = 50. Граничные условия следующие:

(а) на внутренней поверхности r = 1: T = 100,

(b) на внешней поверхности r = 3: q = h(T – T¥), где h = 4, T¥= 5.

Используйте трехточечную равномерную расчетную сетку, поместив точки в r = 1, r = 2 и r = 3. Напишите уравнение для контрольного объема с точкой в r = 2. Посчитайте числовые значения коэффициентов в этом уравнении. Также напишите уравнение для половинного контрольного объема у внешней границы. Решите два этих уравнения для нахождения температур при r = 2 и r = 3.

8.2.  Примерные вопросы для подготовки к зачету

1.  Вывод дискретного аналога одномерного стационарного уравнения теплопроводности. Ряды Тейлора.

2.  Метод контрольного объёма.

3.  Трактовка источникового члена. Линеаризация источникового члена.

4.  Линеаризация граничных условий.

5.  Решение системы дискретных уравнений (TDMA).

6.  Переменная теплопроводность.

7.  Релаксации.

8.  Обобщённое дифференциальное уравнение.

9.  Представление граничных условий. Первый порядок аппроксимации. Трактовка более высокого порядка.

10.  Схема блок-коррекции.

11.  Течение и теплоперенос в каналах. Введение интегральных характеристик течения.

12.  Течение и теплоперенос в каналах. Математическая постановка для поля скорости. Основное уравнение. Безразмерная запись.

13.  Течение и теплоперенос в каналах. Математическая постановка для поля температуры. Дифференциальное уравнение.

14.  Полностью развитый теплообмен. Задание локального теплового потока на границе.

15.  Полностью развитый теплообмен. Постоянная температура вдоль канала и по периметру сечения.

16.  Полностью развитый теплообмен. Постоянный внешний коэффициент теплоотдачи.

17.  Задачи с пограничным слоем. Метод сращиваемых асимптотических разложений.

18.  Задачи с двумя пограничными слоями.

9.  Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Вычислительные методы механики сплошной среды» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

10.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

10.1.  Основная литература

1.  Патанкар решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: МЭИ, 2003. – 312 с.

2.  Патанкар методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. – 146 с.

10.2.  Дополнительная литература

3.  Вычислительные методы в динамики жидкостей. В 2-х т. М.: Мир, 1991. – 552 с.

10.3.  Программное обеспечение и Интернет – ресурсы

Интернет – ресурсы:

1.  Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. *****

2.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://*****

11.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием.