Принцип Гюйгенса-Френеля

13. Принцип Гюйгенса-Френеля

Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждый элемент волновой поверхности S, служит источником вторичной сферической волны. Амплитуда вторичной волны зависит от амплитуды падающей волны a0, площади элемента поверхности dS, угла φ между нормалью к поверхности n и направлением в точку наблюдения P, а так же от расстояния между элементом поверхности и любой точкой наблюдения r. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний, взятых по всей поверхности S. Здесь Е - любая компонента электромагнитной волны, ω - циклическая частота света, k - волновое число, α- начальная фаза падающей волны, K(φ) - коэффициент, зависящий от угла φ и определяемый из решения уравнения Максвелла. Суть этого принципа в следующем: для определения амплитуды колебания в точке Р, лежащей перед некоторой поверхностью S, надо найти амплитуды колебаний, приходящих в эту точку от всех элементов dS поверхности S и затем сложить их с учетом амплитуд и фаз. При этом предполагается, что все элементы поверхности S взаимно когерентны - это необходимое условие для интерференции вторичных волн.

Гюйгенс предложил способ построения фронта распространяющейся световой волны. Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку, в которую пришла волна от источника, можно принять за центр вторичных сферических волн, распространяющихся во все стороны (см рис. 4.1). Результирующая волна рассматривается как наложение вторичных волн, и вводится понятие огибающей этих волн. Радиус каждой окружности зависит от скорости распространения электромагнитных волн.

Френель количественно дополнил принцип Гюйгенса учетом амплитуд и фаз вторичных волн и их соответствующим наложением и тем самым вложил в принцип Гюйгенса ясное физическое содержание. Он рассматривал полное световое поле как результат интерференции вторичных волн. При этом появляется возможность расчета распределения светового поля в пространстве. Физическое объяснение рецепта Гюйгенса состоит в следующем: к точкам на линии, огибающей все вторичные волны, приходят в одинаковых фазах. Каждый элемент волновой поверхности dS служит источником вторичных когерентных сферических волн (рис. 4.2). При этом амплитуда испускаемых волн пропорциональна площади dS. Напряженность dE, создаваемая элементарным участком dS в точке наблюдения P, пропорциональна напряженности поля E0 на самом участке dS и площади проекции dSn этого участка на плоскость, перпендикулярную вектору k, направленного от источника света в элемент площадки dS.

Вычисляя вклад участка dS в поле Ep, нужно учесть изменения амплитуды и фазы вторичной волны при её распространении от элемента dS к точке P. Это приводит к появлению в выражении для dEp множителя (или ), соответствующего распространению сферической волны, где волновое число, а r расстояние от dS до (·)P. В принципе, под косинусом (или в экспоненте) можно опустить часть зависящую от времени и начальную фазу в силу выбора начального момента рассмотрения (например, множитель ). Чтобы учесть зависимость амплитуды вторичных волн от угла α между вектором k и направлением на точку наблюдения P - вектором r, вводится некоторый коэффициент наклона K(α). Тогда полное электрическое поле, приходящее в точку P, представляет собой суперпозицию полей вторичных волн от всех элементов dS поверхности S отверстия в экране: или . В рассматриваемом приближении интеграл по поверхности S не зависит от формы этой поверхности.

14. Зоны Френеля -участки, на которые можно разбить поверхность световой (или звуковой) волны для вычисления результатов дифракции света (или звука). Суть метода такова. Пусть от светящейся точки Q (рис.) распространяется сферическая волна и требуется определить характеристики волнового процесса, вызванного ею в точке Р. Разделим поверхность волны S на кольцевые зоны; для этого проведём из точки Р сферы радиусами PO, Pa = PO + l/2; Pb = Pa + l/2, Pc = Pb + l/2, (О - точка пересечения поверхности волны с линией PQ; l - длина световой волны). Кольцеобразные участки поверхности волны, "вырезаемые" из неё этими сферами, и называется процесс в точке Р можно рассматривать как результат сложения колебаний, вызываемых в этой точке каждой З. Ф. в отдельности. Амплитуда таких колебаний медленно убывает с возрастанием номера зоны (отсчитываемого от точки О), а фазы колебаний, вызываемых в Р смежными зонами, противоположны. Поэтому волны, приходящие в Р от двух смежных зон, гасят друг друга, а действие зон, следующих через одну, складывается. Если волна распространяется, не встречая препятствий, то, как показывает расчёт, её действие (сумма воздействий всех З. Ф.) эквивалентно действию половины первой зоны. Если же при помощи экрана с прозрачными концентрическими участками выделить части волны, соответствующие, например, N нечётным зонам Френеля, то действие всех выделенных зон сложится и амплитуда колебаний Uнечёт в точке Р возрастёт в 2N раз, а интенсивность света в 4N2 раз, причём освещённость в точках, окружающих Р, уменьшится. То же получится при выделении только чётных зон, но фаза суммарной волны Uчёт будет иметь противоположный знак.

Такие зонные экраны (т. н. линзы Френеля) находят применение не только в оптике, но и в акустике и радиотехнике - в области , когда размеры линз получаются не слишком большими (сантиметровые радиоволны, ультразвуковые волны).

позволяет быстро и наглядно составлять качественное, а иногда и довольно точное количественное представление о результате дифракции волн при различных сложных условиях их распространения. Он применяется поэтому не только в оптике, но и при изучении распространения радио - и звуковых волн для определения эффективной трассы "луча", идущего от передатчика к приёмнику; для выяснения того, будут ли при данных условиях играть роль дифракционные явления; для ориентировки в вопросах о направленности излучения, фокусировке волн и т. п.

15. Дифракция Френеля электромагнитных волн на простейших препятствиях (на круглом отверстии, круглом диске, крае полуплоскости). Спираль Корно. Зоны Шустера.

Дифракция электромагнитных волн на круглом отверстии в плоском экране.

Пусть экран с отверстием радиуса расположен так, так что центр отверстия расположен на прямой, перпендикулярной плоскости экрана с отверстием, соединяющей точку наблюдения и точку источника (рис. 5.14). 'Разобьем' поверхность волнового фронта, падающего на отверстие, на зоны Френеля по отношению к точке наблюдения . Будем называть открытыми такие зоны Френеля, которые располагаются внутри отверстия. Соответственно зоны Френеля, попадающие на поверхность непрозрачного экрана, называются закрытыми.

Если размер отверстия во много раз меньше расстояний от экрана до источника и от экрана до точки наблюдения , то можно найти число открытых отверстием зон Френеля:

Применяя тот же подход, получим в точке наблюдения :

где - амплитуды волн от открытых отверстием зон Френеля, причём, знак плюс берётся для нечётных зон, а минус - для чётных.

Как отмечалось ранее, амплитуды волн зон Френеля при их небольшом числе можно считать примерно одинаковыми. По этой причине в точке будет либо максимум, либо минимум интенсивности дифрагированной волны от отверстия в зависимости соответственно от нечётности или чётности числа открытых зон Френеля.

Заметим, что без экрана с отверстием амплитуда поля в точке наблюдения равна . Таким образом, благодаря явлению дифракции света на экране с отверстием, открывающем небольшое нечётное число зон Френеля, наблюдается увеличение интенсивности падающего на него света почти в два раза.

Дифракция на диске.

Пусть свет из точки источника (рис.) освещает непрозрачный диск радиуса , за которым на прямой, перпендикулярной плоскости диска и проведенной через его центр, располагается точка наблюдения . Как и выше, будем считать, что размер диска во много раз меньше расстояний от диска до источника и от диска до точки наблюдения .

Предположим, что диск из точки наблюдения 'закрывает' зон Френеля. Тогда амплитуда света в точке наблюдения будет равна алгебраической сумме амплитуд волн открытых зон Френеля:

Учитывая, что амплитуды соседних зон Френеля примерно равны друг другу, однотипные выражение в скобках можно положить равными нулю, и тогда получим

Отсюда следует, что в центре дифракционной картины, создаваемой диском, всегда наблюдается светлое пятно, независимо от размеров диска.

Дифракционная картина от диска, наблюдаемая на экране, имеет характер чередующихся тёмных и светлых колец, в центре которых находится светлое пятно. Структура дифракционной картины света от непрозрачного диска имеет общие черты с дифракционной картиной света от отверстия того же диаметра в непрозрачном экране.

Пусть для определённости диск закрывает только одну зону Френеля. Тогда в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется разностью амплитуд волны источника, когда нет никакого экрана, и волны от отверстия, имеющего размер первой зоны Френеля. Учитывая, что амплитуда волны от первой зоны Френеля в два раза больше, чем амплитуда волны источника в точке наблюдения, получаем, что интенсивность волны за диском равна интенсивности волны источника в отсутствии диска.

Если же диск закрывает две зоны Френеля, то в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется амплитудой волны источника, когда нет никакого экрана, поскольку амплитуду волны, создаваемой отверстием того же диаметра, что и диск, приближённо можно полагать равной нулю. Проведенные рассуждения, очевидно, справедливы для диска, открывающего произвольное число (не очень большое) чётных или нечётных зон Френеля.

Таким образом, амплитуда волны в центре дифракционной картины от диска любого размера равна половине амплитуды волны от первой открытой зоны Френеля, что совпадает с результатом проведенных выше расчётов. На периферии дифракционной картины от диска распределение интенсивности в основном определяется амплитудой волны источника, на которую 'накладываются' затухающие по мере удаления от центра картины колебания волн от частично открытых зон Френеля отверстием в непрозрачном экране того же диаметра, что и рассматриваемый диск.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера диска. Если размер диска во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается практически равномерное освещение экрана - диск как бы не отбрасывает тени. Если размер диска закрывает 'много' зон Френеля, в центре дифракционной картины светлого пятна практически не видно т. к. , освещённость картины в области , а дифракционные кольца наблюдаются узкой области .

Дифракция плоской электромагнитной волны на полуплоскости.

Пусть плоская волна с длиной волны распространяется перпендикулярно непрозрачной полуплоскости, за которой на расстоянии находится плоский экран, параллельный полуплоскости (рис. 5.20).

Рассмотрим поле световой волны в точке наблюдения , находящейся на расстоянии от проекции края полуплоскости на экран.

Для расчёта поля волны в точке наблюдения можно использовать графический метод кольцевых зон Френеля, которые в случае плоского волнового фронта падающей волны, соответствуют источнику, находящемуся на бесконечности от точки наблюдения. Радиус - ой зоны Френеля , вычисляемый по формуле оказывается пропорциональным .

Учтём, что решаемая задача дифракции является двумерной ввиду её симметрии. В этом случае распределение интенсивности одинаково в любой плоскости перпендикулярной полуплоскости. Тогда кольцевые зоны Френеля 'вырождаются' в зоны Френеля (рис. 5.21) в виде полос (отрезков) , расположенных справа от точки , и , расположенных слева от точки . 'Полосатые' зоны Френеля получили название зон Шустера. Очевидно, размер зон Шустера определяется следами пересечения кольцевых зон Френеля плоскостью, перпендикулярной волновому фронту волны и содержащей точку наблюдения (рис. 5.21). По этой причине

В дальнейшем будем называть зоны Шустера - левыми, а зоны Шустера - правыми.

Амплитуда волны от - ой зоны Шустера определяется, пренебрегая зависимостью убывания амплитуды волн от расстояния, пройденного до точки , в основном её размером:

де - размер первой зоны Френеля.

Для больших значений следует, что

Таким образом, амплитуды волн от соответствующих зон Шустера убывают с ростом в соответствии с последовательностью числового ряда:

Для расчёта дифракции волн на полуплоскости используется, как и выше, спираль Корно (рис. 5.22), с помощью которой можно найти амплитуду волны и фазу волны для произвольного числа открытых или закрытых полуплоскостью зон Шустера. Характерной особенностью этой кривой является наличие двух фокусов, на которые 'наматываются' витки спирали.

Левый фокус с координатами (-0.5, -0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера, находящимся левее точки наблюдения , а правый фокус (0.5, 0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера справа от . Амплитуда волны в отсутствии полуплоскости представляется на спирали Корно в виде вектора единичной длины, соединяющего её левый и правый фокусы (рис. 5.23a), который соответствует амплитуде волны , падающей на полуплоскость.

При наличии полуплоскости в точке наблюдения , находящейся на границе свет-тень (), амплитуда волны определяется вектором, соединяющим точку с правым фокусом спирали Корно, поскольку все левые зоны Френеля закрыты.

При перемещении точки наблюдения в зону геометрической тени, создаваемой полуплоскостью (), амплитуда волны уменьшается, т. к. она определяется вектором (рис. 5.23b), соединяющим точку , смещённую по спирали правее из точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть левых зон Френеля закрыта.

По мере смещения точки наблюдения в зону геометрической тени амплитуда волны сначала будет уменьшаться монотонно, а затем уменьшение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

При перемещении точки наблюдения в освещённую область экрана () амплитуда волны увеличивается, т. к. она определяется вектором (рис. 5.23c, d, e), соединяющим точку , смещённую по спирали левее точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть правых зон Френеля открывается. По мере смещения точки наблюдения в освещённую область экрана амплитуда волны сначала будет увеличиваться монотонно, а затем увеличение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

Общий характер изменения интенсивности на экране как функции положения точки наблюдения приводится на рис. 5.24. Обращает внимание наличие освещённости экрана в зоне тени. Это свойство дифракции волн на препятствии дало основание определять дифракцию света, как явление, в котором наблюдается отклонение от закона его прямолинейного распространения. Понятно, что такое определение явления дифракции света основано на представлениях о природе света, не учитывающих его волновой характер.

16. Дифракция Фраунгофера - случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. Расстояние должно быть таким, чтобы можно было пренебречь в выражении для разности фаз членами порядка (p2/zλ), что сильно упрощает теоретическое рассмотрение явления. Здесь z - расстояние от отверстия или преграды до плоскости наблюдения, λ - длина волны излучения, а ρ - радиальная координата рассматриваемой точки в плоскости наблюдения в полярной системе координат. Иными словами, дифракция Фраунгофера наблюдается тогда, когда число зон Френеля F<<1, при этом приходящие в точку волны являются практически плоскими. При наблюдении данного вида дифракции изображение объекта не искажается и меняет только размер и положение в пространстве. В противоположность этому, при дифракции Френеля изображение меняет также свою форму и существенно искажается.

Дифракционные явления Фраунгофера имеют большое практическое значение, лежат в основе принципа действия многих спектральных приборов, в частности, дифракционных решёток. В последнем случае для наблюдения светового поля «в бесконечности» используются линзы или вогнутые дифракционные решетки (соответственно, экран ставится в фокальной плоскости).

Математическое описание

В скалярной теории дифракция Фраунгофера определяется следующим интегралом:

17. Дифракционная решетка

является важнейшим спектральным прибором, предназначенным для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации. Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Пусть ширина каждой щели равна b, а период решетки - d.

При освещении решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и наблюдается система достаточно узких максимумов

Главные максимумы

В середину дифракционно-интерференционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна А1; а число щелей в решетке N, то результирующая амплитуда А и соответствующая ей интенсивность I будут определяться формулами

А = A1N, I = I1N2.(ПЕРЕПРАВЕРИТЬ!)

Такой же результат получается и при углах дифракции θ, для которых оптическая разность хода Δ колебаний от соседних щелей (см. рис. 5.25, б) равна целому числу длин волн:

dsin θm=±mλ m=0, 1, 2,..., (5.21)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке (θ0=0): при знаке «+» угол θm>0, а при знаке «-» угол θm<0.

В направлениях θm, определяемых этим уравнением, возникают максимумы, интенсивность которых в. N2 раз превосходят интенсивность от каждой щели в том же направлении. Их называют главными максимумами m-го порядка, а уравнение (5.21) - условием главных максимумов

dsinθ=±(m/N)λ (5.25)

Это выражение представляет собой условие для интерференционных минимумов (при целочисленных значениях m', кроме 0, N, 2N,..). Оно же содержит и условие (5.21) для главных максимумов (при m' = 0, N, 2N,...). Между двумя соседними главными максимумами расположены N-1 интерференционных минимумов. А между последними, в свою очередь, - добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом числе N штрихов решетки пренебрежимо мала.

В отличие от условия (5.21), которое дает только положения главных максимумов, соотношение (5.25) позволяет опреде­лить и их угловую ширину. В самом деле, при переходе от главного максимума к соседнему минимуму (рис. 5.28) m' меняется на единицу, например от N до N+1. Тогда при достаточно большом N угловую полуширину δθ главного максимума 1-го порядка можно найти, взяв дифференциал уравнения (5.25) с учетом того, что m при этом меняется на единицу (δm' = 1). Тогда dcosθ*δθ = λ N, откуда δθ=λ / Ndcosθ=λ / hcosθ (5.26)

Обращает на себя внимание тот факт, что δθ зависит не от d и N в отдельности, а от их произведения, которое есть не что иное как ширина решетки b - Nd. С ростом угла дифракции θ ширина главных максимумов увеличивается. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки b и меньше угол дифракции θ.

Кроме интерференционных минимумов, необходимо иметь в виду и дифракционные минимумы: bsinθm = ±mλ, m = 1,2,...,

где b — ширина каждой щели.

18. Дифракция рентгеновских лучей

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов получила развитие в двух направлениях: рентгеновская спектроскопия (исследование спектрального состава этого излучения) и рентгеноструктурный анализ (изучение структуры кристаллов).

Спектральный состав излучения, т. е. измерение его длин волн, можно определить с помощью формулы (5.36), найдя направления на максимумы при дифракции на кристалле с изве­стной структурой.

В рентгеноструктурном анализе разработаны два метода:

1.  Метод Лауэ, в котором узкий пучок рентгеновского излучения направляется на исследуемый монокристалл. Для каждой системы кристаллических плоскостей в излучении находится длина волны, при которой выполняется условие (5.36). В результате на помещенной за кристаллом фотопластинке получается система пятен-максимумов, так называемая лауэграмма. Взаимное расположение пятен отражает симметрию кристалла. А по расстояниям между максимумами и их интенсивности можно расшифровать структуру данного кристалла.

2.  Метод Дебая-Шерера, в котором используется узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения и образец в виде поликристалла. Исследуемый кристалл предварительно измельчают в порошок (очень мелкие кристаллики), и из него прессуется образец в виде стерженька. В большом количестве беспорядочно ориентированных кристалликов найдется множество таких, для которых условие (5.36) окажется выполненным, и дифрагированный пучок будет образовывать конус направлений - свой для каждой системы межплоскостных расстояний d и порядка дифракции т. Рентгенограмма образца, полученная по этому методу - дебайграмма - имеет вид системы концентрических колец. Ее расшифровка также позволяет определить структуру кристалла.