Лабораторная работа №2 Основы статистики для идеальной гауссовой цепи

Лабораторная работа №2

Основы статистики для идеальной гауссовой цепи

Ф. И.О. студента гр. № Факультет

Цель работы: ознакомиться с использованием компьютера на примерах решения задач, наиболее часто встречающихся в статистической физике полимерных цепей

.

Введение

Удовлетворительное объяснение отличительных свойств полимеров было получено из представления о гибкости их цепных молекул. Благодаря гибкости цепные макромолеку­лы могут иметь различные пространственные (геометриче­ские) формы, называемые конформациями. Различные конформации цепной молекулы можно ха­рактеризовать как расстоянием между ее концами, так и длиной молекулы. Эти характеристики будут определять упругие свойства полимеров. Рассматривая линейную мо­лекулу как идеальную полимерную цепь, в которой пренебрегают взаимодействиями мономерных звеньев, далеко расположенных друг от друга в цепи, можно найти распределение молекул полимера по длинам (вектора на рис. 1).

Рис. 1 Идеальная свободно - сочлененная цепь из N звеньев длиной l). - вектор между концами цепи.

Дейст­вительно, если, например, фиксировать положение неко­торого звена свободно сочлененной цепи, то положения других звеньев а, следовательно, и длина молекулы, будут совершение случайными. Поэтому значение , и размер макромолекулы можно характеризовать величиной Таким образом, конформация идеальной цепи далека от вытянутой и независимо от характера модели, величина всегда пропорциональна. Траектория цепи аналогична траектории броуновской частицы, и поэтому распределение вероятностей для вектора между концами свободно - сочлененной цепи из сегментов - гауссово распределение:

Для других моделей, поскольку корреляции ориентаций вдоль цепи убывают по экспоненциальному закону, гауссово распределение остается справедливым. Эта форма не зависит от конкретной модели. Таким образом, величина испытывает сильные флуктуации. Кроме того, для выполняется соотношение , где - распределение вероятностей для проекций вектора (k = x, y, z). Тогда вероятность найти длину проекции молекулы на любое направление (k) в интервале от до + dбудет равна

(1)

Этот закон будет выполняться тем точнее, чем из большего числа звеньев состоит молекула полимера. Согласно этому распределению вероятность найти мо­лекулу с определенной длиной проекции уменьшается по мере роста этой длины (рис 2, кривая I). Действительно, самой большой длине проекции молекулы будет соответствовать всего одна конформация, когда все звенья молекулы максимально вытянуты вдоль одного направления. Чем короче проекция молекулы, тем больше различных конформаций может ей соответствовать, а следовательно, и больше будет вероят­ность иметь меньшую длину.

Рис. 2. Кривые распределения проекций длины (I) и расстоя­ния между концами (II) линейной макромолекулы из N звеньев.

Если рассматривать распределение молекул по абсолют­ной длине в любом направлении, то из независимости рас­пределений длин проекций, получим функцию распределения расстоя­ния R между концами линейной макромолекулы из N звеньев длиной l (рис 2, кривая II).

(2)

Функция распределения ( ) удовлетворяет условию нормировки

(3)

Доля макромолекул Dn с расстоя­нием между ее концами в интервале R от R до R + D R численно равна площади DS, заштрихованной криволинейной трапеции (рис 2) или интегралу .

Среднее расстоя­ние между концами макромолекулы вычисляется по формуле

(4)

Среднеквадратичное расстоя­ние между концами макромолекулы вычисляется по формуле

(5)

Наиболее вероятным называется расстоя­ние , при которой функция распределения имеет максимум.

Таким образом, из приведенных формул следует, что длинные молекулы в полимерах в

основном находятся в со­стояниях с некоторой средней длиной, представляя сложные пространст-

венные ломаные линии. При воздействии на полимер внешних растягивающих усилий молекулы

будут вытягиваться в направлении сил, лишь изменяя свою конформацию. Этим объясняются

большие обратимые деформации, присущие полимерам. Различные длины молекул в полимере со-

ответствуют раз­личной энтропии, но не различной энергии. При снятии растягивающих усилий

молекулы полимера будут переходить в состояния с большей вероятностью, т. е. с меньшей дли-

ной, которой соответствует большее число конформаций. Так как длина молекул будет уменьшаться,

поли­мер постепенно примет свою первоначальную форму. Таим образом, свойства полимеров

объясняются ста­тистическими закономерностями и, следовательно, свойства полимеров имеют ста-

тистическую природу.

Вопросы для допуска к работе

1.  Назовите главные факторы, которые определяют физические свойства полимеров. Назовите основные типы полимерных молекул

2.  В чем различие между конфигурацией и конформацией полимерной цепи?

Назовите основные типы конформаций полимерных цепей.

3.  Что такое конформеры? Назовите их типы и укажите их пространственное расположение.

4.  Объясните механизм гибкости полимерных цепей в модели вращательных изомеров

5.  Для каких полимеров реализуется персистентный механизм гибкости? Дайте определение персистентной длины полимерной цепи и объясните ее микроскопический смысл.

6.  Сформулируйте модель свободно-сочлененной цепи. Дайте определение длины сегмента Куна полимерной цепи и объясните его физический смысл.

7.  Назовите основные возможные физические состояния для полимерных материалов и приведите примеры.

8.  Назовите основные модели идеальной полимерной цепи.

Порядок выполнения работы.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9
l* 10– 10 м	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Задание 1: Составьте программу и получите на экране монитора зависимости функции распределения расстоя­ния R между концами линейной макромолекулы при различном числе N звеньев длиной l (N =10 6, N =105 и N =10 4).

Для проверки правильности работы программы с помощью компьютерных вычислений проверьте вначале выполнение условия нормировки (3).

Задание 2: Вычислите контурную длину цепи L = N * l, наиболее вероятное (), среднее () и среднеквадратичное () расстоя­ния между концами макромолекулы по формулам (4) и (5), а также сегмент Куна и степень свернутости гауссового клубка при различных числе N звеньев. Результаты вычислений занесите в таблицу. Проанализируйте полученные результаты.

	L				A
N =10 6
N =105
N =10 4

Покажите полученные значения расстоя­ний на построенном графике функции распределения при N =105

Задание 3: Какой процент макромолекул обладает размерами, отличающимися от наиболее вероятного не более чем на 10%? Ответьте на тот же вопрос относительно среднего квадратичного расстояния.

Вопросы для сдачи работы

Объясните связь (переход) между формулами (1) и (2) Выведите формулу для среднеквадратичного расстоя­ния между концами макромолекулы для модели свободно-сочлененной цепи. Выведите формулу для среднеквадратичного расстоя­ния между концами макромолекулы для модели с фиксированным валентным углом. Объясните энтропийный механизм свернутости полимерного клубка. Почему его называют «рыхлым»? Почему распределение вероятностей для вектора между концами свободно - сочлененной цепи является гауссовым. Для каких цепей оно справедливо и почему? Проанализируйте, как изменятся зависимости функции распределения расстоя­ния R между концами линейной макромолекулы а)при увеличении числа N звеньев, б)при учете, что максимальное значение расстояния между концами равно контурной длине цепи L = N * l. Выполняется ли условия нормировки (3), при учете, что максимальное значение расстояния между концами равно контурной длине цепи L = N * l. Объясните соотношение между наиболее вероятным (), средним () и среднеквадратичным () расстоя­ниям между концами макромолекулы

© 2005г. Каф. физики ЧГУ.