РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010700.62 «Физика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова уравнения. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010700.62 «Физика», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 13 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk. *****., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования, д. ф.-м. н., доцент
© Тюменский государственный университет, 2011
© , 2011
1. Пояснительная записка
Требования ГОС к содержанию курса. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория устойчивости. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Уравнения в частных производных первого порядка.
Целью курса является изучение основ дифференциальных уравнений, необходимых для решения теоретических и практических задач физики; привитие навыков самостоятельного изучения специальной литературы. Задачей курса является обучение студентов методам решения основных типов дифференциальных уравнений и систем уравнений.
В результате изучения курса студент должен знать элементарные приемы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, некоторые приближенные методы их решения; методы решения дифференциальных уравнений высших порядков и систем уравнений; условия существования и единственности решения задачи Коши; начальные понятия теории устойчивости; приемы решения линейных уравнений в частных производных первого порядка. Полученные знания студент должен уметь применять при решении прикладных задач.
Студент должен иметь представления о дифференциальных уравнениях и системах дифференциальных уравнений как о математических моделях физических процессов и иных явлений природы и общества; о методах разработки и исследовании моделей в физике.
2.Тематический план курса
№ | Тема | Лекции, час. | Практические занятия, час. | Самостоятельная работа, час. | Итого часов по теме | Итого количество баллов |
Модуль 1 | ||||||
1 | Дифференциальные уравнения первого порядка | 12 | 18 | 12 | 42 | 0-30 |
Всего | 12 | 18 | 12 | 42 | 0-30 | |
Модуль 2 | ||||||
2 | Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной | 2 | 4 | 5 | 11 | 0-9 |
3 | Дифференциальные уравнения высших порядков | 8 | 12 | 8 | 28 | 0-21 |
Всего | 10 | 16 | 13 | 39 | 0-30 | |
Модуль 3 | ||||||
4 | Системы обыкновенных дифференциальных уравнений | 8 | 9 | 9 | 26 | 0-22 |
5 | Теория устойчивости | 3 | 6 | 8 | 17 | 0-10 |
6 | Уравнения в частных производных первого порядка | 3 | 5 | 8 | 16 | 0-8 |
Всего | 14 | 20 | 25 | 59 | 0-40 | |
Итого | 36 | 54 | 50 | 140 | 0-100 |
3. Содержание курса
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия и определения. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом Бернулли и методом вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Интегрирующий множитель. Геометрические и физические задачи.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых.
Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка : метод изоклин, метод последовательных приближений, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта.
Тема 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Параметрический метод решения дифференциальных уравнений. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия. Геометрическое и механическое истолкование уравнения второго порядка и его решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача о второй космической скорости.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, их свойства. Линейный дифференциальный оператор, его свойства.
Однородные линейные уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Признак линейной независимости решения линейного однородного уравнения. Формула Остроградского - Лиувилля. Фундаментальная система решений и построение общего решения однородного уравнения.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема о структуре общего решения уравнения. Интегрирование неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Геометрические и физические задачи. Уравнение Эйлера.
Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Краевые задачи.
Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения.
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения. Нахождение интегрируемых комбинаций.
Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Физические задачи. Построение общего решения однородной линейной системы по фундаментальной системе решений. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений, метод вариации произвольных постоянных. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
Тема 5. Теория устойчивости
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных.
Устойчивость по Ляпунову, основные понятия и определения.
Исследование на устойчивость по линейному приближению. Метод функций Ляпунова.
Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек покоя (особых точек) для системы двух уравнений.
Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка
Уравнения в частных производных первого порядка, основные понятия и определения. Теорема существования и единственности решения уравнений. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
4. Темы практических занятий
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
4. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
5. Существование и единственность решения задачи Коши.
6. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
7. Уравнения, допускающие понижение порядка.
8. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
10. Исследование на устойчивость решения задачи Коши.
11. Уравнения в частных производных первого порядка.
5. Контрольные вопросы к экзамену
1. Понятие дифференциального уравнения, его решения. Дифференциальные уравнения как математические модели физических процессов.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, их геометрическая интерпретация. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
4. Однородные дифференциальные уравнения.
5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом Бернулли.
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом вариации произвольной постоянной.
8. Уравнения Бернулли и Риккати.
9. Уравнение в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла.
10. Интегрирующий множитель уравнения. Примеры.
11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
12. Нахождение особых решений уравнения. Огибающая семейства интегральных кривых.
13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера.
14. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Параметрический метод решения уравнения.
15. Уравнения Лагранжа и Клеро.
16. Дифференциальные уравнения n-го порядка, его общее, частное и особое решения. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.
17. Дифференциальные уравнения второго порядка, его геометрическое и механическое истолкование.
18. Уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.
19. Однородные линейные уравнения n-го порядка, построение общего решения по фундаментальной системе решений.
20. Неоднородные линейные уравнения n-го порядка, их решение методом вариации произвольных постоянных.
21. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера.
22. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение уравнения вида 
методом неопределенных коэффициентов.
23.Нормальная система дифференциальных уравнений, ее механическое истолкование. Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения.
24. Фундаментальная система решений и построение общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений.
25. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера.
26. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость по первому приближению.
27. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость методом функций Ляпунова.
28. Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек покоя (особых точек) для системы двух уравнений.
29. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
6. Литература
Основная литература
1. , Васильева уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 20с.
2. Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 20с.
3. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление - М: УРСС, c.
4. Системы дифференциальных уравнений: Метод. указ. для студ. физич. фак-та. / Салова : Изд-во ТюмГУ, 20с.
5. Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: РХД, 20с..
Дополнительная литература
1. Понтрягин дифференциальные уравнения. М. : Наука, 19с.
2. Матвеев уравнения. М. : Просвещение, 19с.
7. Планирование самостоятельной работы студентов
№ | Модули и темы | Виды СРС | Неделя семестра | Объем часов | Кол-во баллов | |
обязательные | дополнительные | |||||
Модуль 1 | ||||||
1. | Дифференциальные уравнения первого порядка | работа с литературой, решение дом. задания | подготовка к контрольной работе | 1-6 | 12 | 0-9 |
Всего по модулю 1 | 12 | 0-9 | ||||
Модуль 2 | ||||||
2. | Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной | работа с литературой, решение дом. задания | 7 | 5 | 0-2 | |
3. | Дифференциальные уравнения высших порядков | работа с литературой, решение дом. задания | подготовка к контрольной работе | 8-11 | 8 | 0-7 |
Всего по модулю 2 | 13 | 0-9 | ||||
Модуль 3 | ||||||
4. | Системы обыкновенных дифференциальных уравнений | работа с литературой, решение дом. задания | подготовка к контрольной работе | 12-15 | 9 | 0-3 |
5. | Теория устойчивости | работа с литературой, решение дом. задания | 16-17 | 8 | 0-5 | |
6. | Уравнения в частных производных первого порядка | работа с литературой, решение дом. задания | 17-18 | 8 | 0-4 | |
Всего по модулю 1 | 25 | 0-12 | ||||
ИТОГО | 50 | 0-30 |
