Введение в теорию электромагнитного поля (стр. 2 )

Пример 13.1. Поле уединенного точечного заряда (рис. 13.2,а).

Это поле в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью обладает сферической симметрией (частный случай плоскомеридианного поля). И напряженность, и потенциал зависят лишь от радиальной координаты сферической системы. Поэтому при использовании теоремы Гаусса в интегральной форме (13.3б) легко можно взять интеграл. Действительно, если окружить точечный заряд q сферической поверхностью радиуса R, то поток вектора напряженности сквозь эту поверхность равен

. Отсюда

. (13.22)

Из определения градиента потенциала и формулы (13.12) следует . Тогда .

Постоянная интегрирования А определяется из условия . Обычно для уединенных тел полагают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. При получим и затем

. (13.23)

Пример 13.2. Поле проводящей сферы и проводящего шара.

Пусть одно из этих проводящих тел (например, шар) имеет радиус и заряд q, который, разумеется, равномерно распределен по поверхности тела. Очевидно, повторив рассуждения предыдущего примера, легко убедиться, что поле во всех точках, удаленных от центра шара на расстояние будет описываться формулами (13.22) и (13.23). Потенциал же самого шара окажется равным . Таким образом, расчет поля заряженного проводящего шара можно заменить расчетом поля точечного заряда соответствующей величины, помещенного в центре этого шара. Собственно, об этом сказано в следствии 2 из теоремы единственности.

В случае проводящей сферы как рассуждения, так и результаты расчета поля вне сферы аналогичны вышеприведенным (поле внутри, естественно, отсутствует). Картина поля показана на рис. 13.2,б. Между радиальными линиями напряженности одинаковые углы, а значит, и одинаковые потоки в трубках поля. Линии равного потенциала проведены так, чтобы выполнялось условие . При этом, очевидно, должна быть постоянной разность: .

Пример 13.3. Поле бесконечно длинной заряженной оси.

Это идеализация поля длинного тонкого заряженного проводника круглого сечения. Хотя заряд фактически распределен по поверхности, поле вне провода не изменится, если считать, что заряд равномерно распределен по его оси, что опять же следует из теоремы единственности. В этом случае вводится понятие линейной плотности заряда [Кл/м]:

.

Если эта величина постоянна , то в силу симметрии поля и потенциал, и напряженность поля зависят лишь от радиальной координаты цилиндрической системы. Поверхности равного потенциала представляют собой коаксиальные цилиндры, а линии напряженности – радиальные прямые.

Окружим отрезок оси длиной l соосным цилиндром радиуса r (в сечении, перпендикулярном оси, это выглядит также, как показано на рис. 13.2,а) и воспользуемся теоремой Гаусса (13.3б). Поток вектора напряженности сквозь поверхности оснований равны нулю, поскольку вектор касается этих поверхностей. Поэтому остается лишь поток сквозь боковую поверхность цилиндра :

. Отсюда

. (13.24)

Из формулы (13.12) следует , тогда

(13.25)

Следует иметь в виду, что в данном случае нельзя принять равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек. Должно быть дополнительное условие в задаче (например, соответствующее А = 0).

13.2.6.2. Применение принципа наложения

Пример 13.4. Поле двух параллельных бесконечно длинных осей.

Пусть оси (рис. 13.3) находятся на расстоянии 2b друг от друга и имеют одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, равномерно распределенные по длине . Для того, чтобы определить потенциал любой точки поля, воспользуемся принципом наложения и формулой (13.10), полагая в ней . Получим:

(13.26)

Здесь и – расстояния от заряженных осей до рассматриваемой точки. Уравнение линии равного потенциала

. (13.27)

В частности, плоскость равноудалена от обеих осей

Из курса математики известно, что геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (13.27), это окружность, центр которой лежит на прямой, проходящей через оси. Расстояние от центра до плоскости нулевого потенциала s и радиус окружности R определяются значением параметра семейства эквипотенциальных линий k. Можно показать [2], что между собой эти величины связаны простым соотношением:

. (13.28)

При заданной величине параметра k отсюда можно найти R и s. И наоборот, зная геометрические размеры, легко можно подсчитать значение k, а затем и потенциал.

Окружности, соответствующие расположены слева от плоскости, где , поэтому . А при окружности окажутся справа от плоскости нулевого потенциала . В свою очередь линии напряженности представляют собой дуги окружностей, которые проходят через оси. Их центры лежат в плоскости нулевого потенциала. Две такие линии, вместе составляющие окружность, также показаны на рис. 13.3.

Пример 13.4. Поле двухпроводной однородной линии.

Пусть известны радиусы проводов , расстояние между их осями d и заряды проводов на единицу длины ±t. Первое следствие из теоремы единственности позволяет утверждать, что поле такой линии аналогично полю двух разноименно заряженных осей. Нужно только определить положение этих электрических осей относительно плоскости нулевого потенциала. А то, что они лежат на линии, проходящей через геометрические оси проводов, не подлежит сомнению.

Если перейти к обозначениям предыдущего примера, то заданы радиусы двух симметрично расположенных эквипотенциалей и расстояния от их центров до плоскости . Тогда из (13.13) следует: .

Чтобы определить потенциалы проводов, нужно вычислить значения параметров семейства эквипотенциальных линий, соответствующих поверхностям проводов. Тогда из (13.2б) с учетом (13.28) получим:

. (13.29)

Знак «плюс» в этой формуле относится к положительно заряженному проводу, «минус» – к отрицательному. Напряжение между проводами

Картина поля двухпроводной линии показана на рис. 13.4. Чтобы поток вектора напряженности электрического поля был одинаков в каждой трубке поля, соседние линии напряженности (мысленно продолженные внутрь проводов) должны вблизи электрических осей образовывать равные углы. Чтобы обеспечить выполнение условия , нужно обеспечить постоянство отношения .

Заметим в заключение, что уже упоминавшееся следствие из теоремы единственности позволяет перенести решение примера 13.3 на задачи об электростатическом поле двух параллельных несоосных цилиндров разных диаметров.

13.2.6.3. Непосредственное интегрирование уравнения Лапласа

Оно может быть легко выполнено, если, как и в примерах 13.1 и 13.3, потенциал зависит лишь от одной координаты и заданы граничные условия.

Пример 13.5. Поле коаксиального кабеля.

Известны радиус внутреннего цилиндрического проводника (жилы кабеля) и внутренний радиус наружного проводника (оболочки кабеля), потенциалы этих проводников соответственно U и 0, а также абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции (рис. 13.5).

Определить потенциал и напряженность электростатического поля в диэлектрике, а также заряд единицы длины жилы кабеля.

Решение

В силу симметрии потенциал зависит лишь от радиальной координаты цилиндрической системы. В этом случае в уравнении Лапласа остается только одно слагаемое: . Дважды проинтегрируем это выражение. Сначала получим , затем .

Используем граничные условия:

Отсюда так что . Тогда

. (13.30а)

На поверхности жилы граничное условие позволяет подсчитать заряд единицы длины кабеля . Поэтому (13.30б)

Тот же результат можно было получить, используя теорему Гаусса (как в примере 13.3) и первое следствие теоремы единственности, что легко проверить.

13.2.7. Определение потенциала

по заданному распределению зарядов

Эта задача решается с помощью метода наложения с использованием результата, найденного в предыдущем разделе при расчете поля точечного заряда.

Пусть задано распределение зарядов в некоторой системе тел с известной геометрией, часть из которых показана на рис. 13.6.

Если среди них есть тела, которые можно рассматривать как точечные, то потенциал в произвольной точке N можно найти по формуле (13.8), просуммировав составляющие от действия каждого заряда в отдельности: .

Если в систему входят проводящие тела с зарядом, распределенным по поверхности, то, выделив на поверхности каждого элемент ds с зарядом , можно определить составляющую потенциала посредством интегрирования:

.

Если в некоторой области известно распределение объемной плотности заряда , то интегрирование придется выполнить по объему: .

Остается просуммировать найденные выше решения, тогда

. (13.31)

Фактически это общее решение уравнения Лапласа–Пуассона.

13.2.8. Метод зеркальных изображений

Метод основан на втором следствии теоремы единственности и применяется для расчета поля заряженных тел, расположенных вблизи границы раздела двух сред, имеющей правильную форму (плоскость, цилиндр, сфера). Рассмотрим принцип расчета на примере плоскопараллельного поля заряженного тела вблизи проводящей плоскости.

Пример 13.6. Поле прямолинейного провода над землей.

Известна линейная плотность заряда t провода с радиусом расположенного на расстоянии h от земли, чью поверхность будем считать плоской (рис. 13.7,а).

Определить потенциал провода и распределение индуцированного заряда по поверхности земли.

Решение

Очевидно, картина электростатического поля в воздухе будет такой же, как в верхней полуплоскости системы двух параллельных проводов с одинаковыми зарядами противоположного знака (рис. 13.7,б), поскольку граничные условия на плоскости нулевого потенциала одинаковы в обеих задачах. А решение последней уже найдено в примере 13.4.

В частности, после замены в формуле (13.29) d на 2h получим значение потенциала провода:

. (13.32)

Чтобы выяснить распределение индуцированного заряда по поверхности земли, воспользуемся граничным условием на поверхности раздела проводника и диэлектрика (13.21): , причем векторы E и D нормальны к поверхности земли. Найдем величину E в точке, отстоящей от проекции оси на расстоянии a (рис. 13.7,б), методом наложения, сложив составляющие напряженности электрического поля от действия реального и фиктивного зарядов. Каждая из этих составляющих может быть вычислена по формуле (13.24):

, где в данном случае . При сложении векторов E+ и E– их касательные составляющие уничтожают друг друга, а нормальные удваиваются. Поэтому .

Таким образом, чтобы рассчитать поле заряженного тела в диэлектрике вблизи плоской границы с проводящей средой, нужно заменить проводящую среду диэлектрической и разместить в ней зеркальное изображение этого тела с зарядом той же величины, но противоположного знака. При этом тело может иметь любую форму (разумеется, поле тогда может не быть плоскопараллельным). Метод применим и при наличии нескольких заряженных тел. Только каждое из них взамен проводящей среды должно получить свое зеркальное изображение с переменой знака заряда. А затем следует использовать метод наложения.

Метод зеркальных изображений может быть использован и в том случае, когда диэлектрик ограничен двумя проводящими плоскостями,

сходящимися под углом , где n – целое число. При этом, кроме реального заряженного тела, появятся несколько зеркальных изображений с одинаковыми зарядами и чередующимися знаками. Например, при расчете поля провода вблизи прямого двугранного угла, образованного проводящими плоскостями , заданную систему можно заменить четырьмя проводами в однородном диэлектрике (рис. 13.8).

Применение метода зеркальных изображений упрощает процедуру расчета поля и вблизи границы раздела двух диэлектриков [2].

13.2.9. Метод сеток

Этот численный метод основан на замене дифференциальных уравнений поля уравнениями в конечных разностях. При этом рассчитываются конкретные значения функции потенциала в дискретных точках области – в узлах, система которых образует сетку. Для каждого узла сетки записывается уравнение. Полученная таким образом система линейных алгебраических уравнений содержит большое количество неизвестных. Поэтому применение для ее решения определителей, последовательного исключения неизвестных, обращения матриц нецелесообразно. Вместо этого используются те или иные итерационные методы решения.

Рассмотрим принцип расчета на примере плоскопараллельного поля, хотя метод может быть использован и для расчета трехмерных полей. Заданная область мысленно покрывается сеткой, обычно равномерной с квадратными ячейками. Сетка располагается таким образом, чтобы крайние ячейки по возможности удачно вписывались в границы рассматриваемой области. Шаг сетки h (длина стороны ячейки) выбирается в соответствии с требуемой точностью расчета.

Предположим, что в заданной области, ограниченной плоской кривой нет зарядов (рис. 13.9,а), тогда для любой внутренней точки справедливо уравнение Лапласа:

.

Заменим в этом уравнении бесконечно малые величины конечными разностями. Для любого внутреннего узла сетки будет справедлива следующая запись: , где Здесь приращение потенциала вдоль оси абсцисс около данного узла сетки вычисляется дважды: слева и справа от рассматриваемого узла. Соответственно приращение потенциала вдоль оси ординат подсчитывается тоже два раза: сверху и снизу от того же самого узла. А затем подсчитываются разности этих приращений и . Например, для узла 0, окруженного узлами 1, 2, 3, 4 (рис. 13.9,б), получим:

левая разность правая разность

горизонтальная разность

верхняя разность нижняя разность

вертикальная разность

Подстановка этих величин в разностное уравнение дает:

, откуда

(13.33)

С помощью этой формулы организуется циклический вычислительный процесс. Вначале потенциалы внутренних узлов задаются произвольно (нулевое приближение). Затем в соответствии с выбранным порядком обхода внутренних узлов принятые значения уточняются по формуле «одной четвертой» (13.33) – это первое приближение. По этим значениям вычисляется второе приближение и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока отличие значений потенциалов узлов в двух последующих приближениях не окажется меньше заданной точности расчета.

Пример 13.9. Расчет распределения потенциала методом сеток.

Известно распределение потенциала (в вольтах) по периметру квадратной области (рис. 13.9,в).

Определить потенциалы внутренних узлов с точностью до 3 %.

Решение

Пусть в нулевом приближении  В,  В,  В,  В.

По формуле (13.33) В. Аналогичным образом подсчитаем  В, В, В. Дальнейшие вычисления сведены в табл. 41.1, где k – номер приближения, а значения потенциалов даны в вольтах.

Таблица 13.3

k
0	70	50	30	30
1	65	55	35	25
2	67,5	52,5	32,5	27,5
3	66,25	54,25	33,75	26,25
4	67	54	33,1	27

Различие чисел в третьем и четвертом приближениях начинается с третьей значащей цифры, что вполне укладывается в заданную степень точности.

13.2.10. Расчет электрических емкостей

Понятие емкости имеет строгий смысл лишь в двух случаях. Это либо уединенное тело, тогда емкость – коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом тела. Либо конденсатор – система двух тел, имеющих заряды, одинаковые по величине, но противоположные по знаку. Тогда емкость – коэффициент пропорциональности между зарядом и напряжением между обкладками.

Емкость уединенного тела вычисляется по формуле

C = q/j, (13.34)

где q и j – заряд и потенциал тела, причем должна быть определена область с потенциалом, равным нулю.

Пример 13.7. Емкость проводящего шара.

Подставив в формулу (13.34) значение потенциала из выражения (13.23), получим известное соотношение , где R – радиус шара. Обычно эту формулу используют для иллюстрации единицы измерения емкости – фарады, вычисляя емкость Земли. Если принять средний радиус Земли равным 6370 км, то ее емкость равна:

 мкФ.

Пример 13.8. Емкость единицы длины прямолинейного провода вблизи поверхности Земли.

Воспользовавшись формулами (13.32) и (13.34), куда вместо q следует подставить величину заряда единицы длины провода t, получим:

.

Если, как это часто бывает, , то .

Емкость конденсатора вычисляется по формуле

C = q/U, (13.35)

где U – напряжение между обкладками, q – заряд каждой из них.

В разделе 1 [6] по этой формуле была вычислена емкость плоского конденсатора: , где d – расстояние между обкладками, S – площадь каждой из них. Добавим еще несколько примеров.

Пример 13.9. Емкость единицы длины двухпроводной линии.

Если расстояние до поверхности земли существенно превышает расстояние между проводами d, то можно использовать формулы (13.29) и (13.35) опять же с заменой q на t. Тогда

. (13.36)

Часто и тогда .

Пример 13.10. Емкость коаксиального кабеля на единицу длины.

Из формул (13.30б) и (13.35) следует: .

Определение емкости по картине плоскопараллельного поля

Это нетрудно сделать, если картина плоскопараллельного поля конденсатора с произвольной конфигурацией обкладок построена в соответствии с правилами, сформулированными в разделе 13.2.5. Должна быть одинаковой разность потенциалов между соседними эквипотенциалями . И должен быть одним и тем же поток вектора напряженности в каждой трубке поля на единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости картины поля .

Если число интервалов между эквипотенциалями N, то напряжение между обкладками U = N×Dj . Если число трубок M, то в соответствии с теоремой Гаусса заряд каждой из обкладок (опять же на единицу длины) . Тогда емкость по формуле (13.35) равна: